Диссертация (Математическое моделирование переориентации орбитального космического аппарата со сферическим солнечным парусом), страница 12

В реальных же условияхвсегдавозникаютвозмущения или погрешности управления, отклоняющие движение от s  0 . Поэтому для обеспечения попаданияза конечный интервал времени, а затем удержания движения вдольповерхности скольжения при действующих внешних возмущениях,вводится компонента управления uп , представленная какuп  1s   2 sgn( s ) ,(4-7)0 0 11 0  21где 1   0 12 0  и  2   0  22 0 00 13 00 0  – диагональные 23 матрицы с положительными компонентами,а вектор–функция sgn(s )  sgns1 , sgns2 , sgns3 T имеет вид85 1, si  0,sgn( si )   0, si  0 1, si  0.(4-8)Для доказательства возникновения скользящего режима привыбореприведенногоуправления,рассмотримположительноопределенную функцию Ляпунова: 1 V s   s T Js (4-9)2Ее производная в силу системы уравнений (4-1) имеет вид     V s   s T   J  u  d  JM  (4-10)Допустим, что имеется неопределенность в величине моментовинерции в пределах J , и ограничена величина возможногонеизвестного возмущения d .

Возможная ошибка uэкв тогда  оценивается как u экв   J  JM   .Сучетомвозможныхнемоделируемыхнеопределенностей имеем: V s   s T  1s   2 sgn( s )  u экв  dвозмущенийи(4-11)Модули компонент вектора D  u экв  d ограничены своимимаксимально возможными значениями max Di  Li .33V s    si Di  1i si   2i sgn( si )   si Di sgn( si )  1i si   2i i 1i 1Если 1i si   2i  Li , то выполняетсяV s   0(4-12)Следуя принципу Лассаля, это означает возможность попадания на поверхность скольжения s  0 за конечный интервал времени [43].86 Когда достигнуто попадание на поверхность скольжения s  0 ,система остается на ней все оставшееся время маневра.

Используя этоусловие для системы (4-1), перейдем к уравнениюdk    , решение которого можно записать в видеdt4(4-13) t   ek (t tп ) / 4 tп где tп время, за которое было достигнуто попадание на поверхность скольжения s  0 из начального положения в момент времени t  0 .Из полученного решения следует, что lim   0 и lim   0 .t  t  Одной из хорошо известных проблем синтеза управленияметодом скользящих режимов является ситуация, при которойвозникаетпереключениеуправлениясбесконечнойчастотой(“chattering” – эффект). Применительно к рассматриваемой задаче,придостижениикакой–либоповерхностиуправление uпi  1i si   2i sgn( si )согласноскольжения si  0 ,введеннойформулестановится равным нулю. В действительности, из–за воздействиянеучтенныхвнешнихвозмущений,неточностиизмеренийиуправляющих механизмов, временных задержек, равенство si  0 небудет выполнено никогда.

Компонента управления uпiбудетвызывать скачкообразное изменение состояний между si  0 и si  0 сочень большой частотой, которая при устремлении амплитудывнешних возмущений к нулю будет стремиться к бесконечности.Разумеется, для реальных механизмов подача таких управляющихвоздействий невозможна. Одним решений является замена функцииsgn( si ) на другую сглаживающую функцию с параметром  s  0 :87 1, если si   sssat ( si ,  s )   i , если si   s s1, если si   s(11)Очевидно, что эта функция будет совпадать с функцией sgn( si ) ,если si   s . А при сближении с поверхностью скольжения менее чемна  s , функция sat ( si ,  s ) будет убывать по модулю обратнопропорционально  s , что позволит регулировать переходы с однойстороны поверхности на другую более плавно.4.2Принципы выбора параметра k и параметра α2 дляминимизации времени маневраСледующим этапом является применение описанного методадля стабилизации паруса из шести шаров.

Так как решать задачуэкономии топлива или энергии не требуется, основной целевойфункцией является минимум времени на маневр. Интуитивно ясно,что для этого необходимо максимально задействовать все имеющиесяресурсы – пиксели.Из рассмотренных в главе 2 примеров можно сделать вывод,что главной особенностью паруса как двигательной системы являетсявозможность создавать только малые по величине управляющиевоздействия. Так же была выявлена зависимость максимальноговращающего момента вокруг фиксированной оси от ориентациисолнечного паруса, вызванная возможным затенением шаров.Предположим, что используя методы из главы 2, былиопределены все параметры паруса, обеспечивающие управляемость назаданной орбите.

Задача состоит в том, чтобы с применением методаэквивалентного управления выполнить маневр КА из начальной88ориентации,которуюможнозадатькватерниономqˆ 0  q10 , q20 , q30 , q00 , со стабилизацией в нулевой точке qˆ  0,0,0,1T иT  0,0,0T . Начальная ориентация представлена как поворот на угол вокруг некоторой оси с направляющим вектором m  m1 , m2 , m3  :qˆ 0  q10 , q20 , q30 , q00T m1 sin  / 2, m2 sin  / 2, m3 sin  / 2, cos / 2T.Начальная угловая скорость  0  0,0,0T .

Необходимо найти такиепараметры управления k, 1 ,  2 , которые бы давали минимумвремени s  наманеврприповерхностискольжениявидаk0. 1   TНе будем пока рассматривать гравитационный момент иликакое–либо условное неизвестное воздействие. Проверка робастностиуправления будет проведена позднее. Однако, даже без добавлениянеизвестных возмущений и неопределенностей в моментах инерции,модель уже содержит неидеальности в виде несоответствия междуцелевым управляющим моментом, определенным из метода, иреальным приближением к нему момента от пикселей.Подберем параметр k для поверхности скольжения вида ks  0, а так же параметры 1 и  2 составляющей 1   Tуправления uп  1s   2 sgn( s ) .

При этом можно расширитьмножестводоступныхвлюбоймоментвремениуправленийпредположением, что 1  1t  и  2   2 t  . В течение маневранеобходимо обеспечивать отрицательность производной функцииЛяпунова (4-10), учитывая при этом ограниченность доступныхресурсов управления. Действительно, в каждый момент времени пометоду будет определяться целевое управление u , к которому нужно89будет строить реально действующее приближение M от пикселей.Если модуль u оказался слишком большим, то получить хорошееприближение может не получиться, что может нарушить условияметода.Приведемважный пример, когда критически важнообеспечить управление u ресурсами. При достижении поверхности скольжения, величина момента u  uэкв  uп скачкообразно теряетсоставляющую uп .

Следуя методу, после этого необходимо использовать управление u  uэкв . Если ресурсов управления в этотмомент времени окажется недостаточно, с формальной точки зренияпредлагаемый метод будет нарушен.Рассмотрим вращение строго вокруг одной из главных осей.Системаиз–за равенства нулю квадратичного члена по угловой скорости    J . У направляющеговектора оси вращения m  m1, m2 , m3 T – только одно mi равно(4-1)приэтомупрощаетсяединице, а остальные равны нулю. Тогда в любой момент временивектор угловой скорости  сонаправлен с m , т.е. должно бытьвыполнено   m1  , m2  , m3   .

После упрощения системы (4-1) ииспользования главных моментов инерции получимJidi ui , i  1, 2, 3dt(4-14)Очевидно, что в данных предположениях вектор управляющегомомента u так же всегда сонаправлен с m .При достижении поверхности переключения, после скачка uпк нулю останется только составляющая эквивалентного управления  u  uэкв . Все время после достижения s  0 ресурсов управлениядолжно быть достаточно для обеспечения u экв . Ограничением u вкаждыймоментвременислужатлишьдвазначения–90противоположно направленные максимальные по модулю моментывдоль оси. Обозначим их U   U  t  и U   U  t  соответственно понаправлению оси m и против него для времени мавра t . Допереключения маневр следует вести с максимальным моментом, т.е.при t  tп u  U  t  .Выполним маневр вращения вокруг главной оси от угла 0 до  0 без переключений и с максимальным по модулю вращающиммоментом вдоль главной оси.

Параметр k и вектор uэкв t  при этом неопределены и влияния на результат поворота не оказывают. Однако сначала маневра c течением времени можно отслеживать, чему бы онибыли равны, если бы поверхность скольжения была достигнута вданный момент времени. Из условия s t   0 в момент времени tнаходится коэффициент k t  :1   t   t   t k t   T i t i(4-15)где i соответствует главной оси вращения. По формуле (4-6) с учетомупрощения (4-14) вычисляется uэкв t  .

При выборе поверхности k0скольжения в виде s   траектория движения (4-13) по 1   Tметоду эквивалентного управления не достигает нулевой точки законечное время, а лишь асимптотически стремится к ней. Поэтому заоптимальное решение примем то, при котором за минимальное времяt f достигается фиксированная окрестность    t f нулевой точки.Согласно формуле (4-13), время достижения требуемой окрестности вэтом случае определяется выражениемt f  tп t4ln  fk tп   tп (4-16)91В дополнение к этому, можно так же оценивать время уменьшениямодуля угловой скорости до определенной величины.Анализ выражений (4-15) и (4-13) позволяет заключить, чтоперевод  в требуемую окрестность будет тем быстрее, чем позднеебудет произведено переключение с U  на U  . Действительно, пустьtп1 и tп 2 два допустимых варианта времени переключения, tп1  tп 2 .Им соответствуют два k1 и k 2 , и два варианта изменения параметра 1 t  и  2 t  .

В случае выполнения переключения в момент времениt  tп 2придлявариантабудемиметьtп1 , 1 t 1tп2   ek1 (tп 2 tп1 ) / 41tп1  . Спустя еще промежуток времени t впервом случае получим 1tп2  t   ek1 (tп 2 tп1  t ) / 41tп1  .

В случаепереключения в момент времени tп 2 и через t после переключения,длявтороговариантаизмененияпараметраимеем 2 tп2  t   ek2 (tп 2  t ) / 4 2 tп2  . Для соответствующего оси вращенияi выполнено 1i tп1   2i tп 2  и  2i t п 2    1i t п1  , т.к. при болеепозднем переключении модуль угловой скорости оказывается большепо модулю, а  t  ближе к нулевой точке. При этих условиях 2 tп2   ek1 (t п 2 t п1 ) / 4 tп1  , а из выражения (17) следует k1  k2 .Тогда 2 tп 2  t exp k2 (tп 2  t ) / 4 2 tп 2 1tп 2  t  exp k1(tп 2  tп1  t ) / 4 tп1 exp k2 (tп 2  t ) / 4 exp k1 (tп 2  tп1 ) / 4  tп1 exp k1 (tп 2  tп1  t ) / 4  tп1 exp  k2tп 2  k1  k2 t  1 .Приведенные оценки означают, что переключение в болеепоздний момент времени оказывается эффективнее в смысле92минимизации затраченного времени.

При этом после переключениянеобходимо обеспечить u экв ресурсами управления при всех t  tп ,чтобы не нарушить метод. По причине зависимости U  и U  оториентации, можно было бы просто не допускать использованиеэквивалентного управления, превышающего по модулю минимум U для всевозможных ориентаций поворота вокруг m на угол  ,0    0 . Однако это может оказаться далеко от оптимальногорешения, что существенно снизит эффективность метода.Вообще говоря, u экв может и превысить ограничение U  сусловием, что в момент переключения вернется вновь в его пределы.Например, солнечный парус может принять в процессе маневраориентацию с большой долей затененных пикселей, но увеличитьресурс в дальнейшем после выхода в более эффективное положение.В случае вращения точно вокруг главной оси m с максимальновозможным моментом может быть получена кривая зависимости U от угла поворота  , а так же кривая рассчитываемого по ходу маневраuэкв от угла  , которое будет действовать в случае переключения.Если в процессе маневра без переключения uэкв   достигает кривуюU   ,томоментвремениtпвыполненияравенстваuэкв tп   U  tп  является кандидатом для времени попаданиянаповерхностьскольжения.Однакотеоретическивозможныследующие ситуации:1.

Выход системы в более эффективное состояние в дальнейшеевремя маневра. Другими словами, не стоит совершать переключениеперед выходом u экв   за пределы U   , так как это можно сделатьпозднее после увеличения U  . Тогда в некоторый следующий момент93времени tп*вновьопределенноеэтимобеспечиваетсявсевыполненоусловием    uэкв  tп*  U   tп*эквивалентноеоставшеесявремя,ивновьуправлениереальногоu'эквманевраспереключением. В этом случае t п* становится новым кандидатом наоптимальное переключение.2. Противоположная ситуация.