Г.М. Сисоев - Механика сплошных сред

Г.М. СисоевМеханика сплошных средПрактический курсМосковский Государственный Университет им. М.В. ЛомоносоваМеханико–математический факультет2ОглавлениеIОсновные соотношения71 Криволинейные системы координат1.1 Локальный базис и дифференцирование векторов .1.2 Метрический тензор . . . . . . . . . .

. . . . . . . .1.3 Взаимный базис . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4 Тензоры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5 Важнейшие операции над векторами . . . . . . . .1.6 Физические компоненты тензоров . . . . . . . . . .II................................................Механика жидкости и газа2 Электродинамика сплошной среды2.1 Основные уравнения . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .2.1.1 Уравнения Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.2 Уравнения движения сплошной среды . . . . . . .2.1.3 Условия на границах раздела . . . . . . . . . . . .2.2 Магнитная гидродинамика . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.1 МГД–течение между паралелльными плоскостями2.2.2 Магнитогидродинамические волны . . .

. . . . . .III......19...................................Механика деформируемого твердого тела3 Линейно-упругое тело3.1 Основные соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.1 Тензор деформаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.2 Уравнения совместности . . . . . . . .

. . . . . . . . . .3.1.3 Уравнение неразрывности в лагранжевых координатах3.1.4 Уравнения Ламе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.5 Постановка задачи в перемещениях . . . . . . . . . . . .3.2 Одноосное растяжение . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .3.2.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3991011131516212121222324242633................353535373838393939Оглавление43.33.43.2.2 Равновесие вертикально стоящего стержня . . . . . . . . .

.3.2.3 Равновесие троса с грузом . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.4 Равновесие вращающегося цилиндра . . . . . . . . . . . . .3.2.5 Равновесие висящего стержня переменного сечения с грузом3.2.6 Равновесие вращающегося стержня переменного сечения .Изгиб . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .3.3.1 Изгиб балки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.2 Методы сопротивления материалов в задаче об изгибе балки3.3.3 Изгиб пластины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Кручение . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4.1 Цилиндрический стержень . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4.2 Кручение круглых валов переменного диаметра . . . . . . .4 Плоские задачи теории упругости4.1 Основные соотношения . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .4.2 Функция напряжений Эри . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3 Плоская задача в полярных координатах . . . . . . . . . . . . . . .4.3.1 Уравнения равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.2 Функция Эри в полярной системе координат . .

. . . . . .4.3.3 Осесимметричные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.4 Равномерное растяжение пластинки с круглым отверстием4.3.5 Чистый изгиб кривого бруса . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.6 Вращающийся диск . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .5 Волны в линейно–упругих телах5.1 Основные виды волновых движений . . . . . . . . . . . .5.1.1 Уравнения Ламе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.1.2 Волны расширения и сдвига . . . . . . . . . . . . .5.1.3 Поверхностные волны Рэлея . . . . . . . . . . . . .5.1.4 Поперечные волны на границе полупространства и5.1.5 Распространение волн в слое конечной толщины .5.1.6 Отражение волн от жестко закрепленной стенки .5.1.7 Сферические волны . . .

. . . . . . . . . . . . . . .5.2 Волны в стержнях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2.1 Продольные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2.2 Поперечные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.3 Волны в тонких пластинах . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.3.1 Продольные и поперечные волны . . . .

. . . . . .5.3.2 Изгибные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .полосы. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .40434344454545495759596367677074747576777981858585868889909295959599101101103A Дополнительные материалы107A.1 Кривизна поверхности z = h (x, y, t) . . . . . .

. . . . . . . . . . . . 107ОглавлениеЛитература51086ОглавлениеЧасть IОсновные соотношения7Глава 1Криволинейные системы координат1.1Локальный базис и дифференцирование векторовПусть x1 , x2 , x3 и ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 — декартова и криволинейная система координат,связанные соотношениями1xj = xj (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ), j = 1, 2, 3;ξ k = ξ k (x1 , x2 , x3 ), k = 1, 2, 3.(1.1)Обозначим через ~r радиус вектор точки пространства в декартовой системекоординат.

Тогда (1.1) можно записать как~r = ~r(ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ).Введем векторы локального базиса~ei =∂~r,∂ξ ii = 1, 2, 3,зависящие от точки пространства. Введенные векторы можно продифференцироватьпо любой криволинейной координате ξ j ; полученные векторы также можноразложить по локальному криволинейному базису:∂~ei= Γkij ~ek ,∂ξ ji, j = 1, 2, 3,где предполагается суммирование по повторяющимся индексам. Здесь введенысимволы Кристофеля Γkij , симметричные по нижним индексам. Это следует изсоотношенийΓkij ~ek =1∂ 2~r∂~ej∂~ei=== Γkji~ekjiji∂ξ∂ξ ∂ξ∂ξ[4], глава 2, §3,4,8, глава 4, §39Глава 1.

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ10и линейной независимости векторов ~ek .Разложим по векторам локального базиса ~ei произвольное векторное поле ~v~v = v i~ei ,и вычислим производную по переменной ξj∂~v∂v iei∂v ii ∂~=~e+v=~ei + v i Γkij ~ek =i∂ξ j∂ξ j∂ξ j∂ξ j∂v k+ v i Γkij ~ek .∂ξ j!Таким образом∂~v∂v kkk=∇v~e,∇v=+ v i Γkij .jkjjj∂ξ∂ξЭдесь символ ∇j v k обозначает j–ю ковариантную производную от контравариантнойкомпоненты v k .1.2Метрический тензорМетрическим тензором называется симметричный тензор второго ранга, ковариантныекомпоненты которого определяются согласно(1.2)gij = (~ei , ~ej ) , i, j = 1, 2, 3.Символы Кристофеля выражаются через компоненты метрического тензора.Дифференцирование (1.2) дает∂gij=∂ξ k!∂~ej∂~ei, ~ej + ~ei , kk∂ξ∂ξ!= (Γmem , e~j ) + ~ei , Γmem .jk~ik~Таким образом,∂gijm= Γmik gmj + Γjk gim .∂ξ k(1.3)С помощью циклической перестановки индексов можно получить∂gkim= Γmkj gmi + Γij gkm .j∂ξ(1.4)∂gjkm= Γmji gmk + Γki gjm .i∂ξ(1.5)и1.3.

ВЗАИМНЫЙ БАЗИС11Складывая (1.4) и (1.5) и вычитая (1.3) можно получить∂gki ∂gjk ∂gij+− k =∂ξ j∂ξ i∂ξmmmmm= Γkj gmi + Γij gkm + Γmji gmk + Γki gjm − Γik gmj − Γjk gim =mmmmmm= Γmkj − Γjk gmi + (Γki − Γik ) gjm + Γij + Γji gkm = 2Γij gkm .После умножения на матрицу ||g kl ||, обратную к ||gkm ||:g kl gkm = δ l m ,находимΓlij1.31∂gki ∂gkj∂gij= g kl+−2∂ξ j∂ξ i∂ξ k!.(1.6)Взаимный базисВекторы контравариантного базиса вводятся согласноe~i = g ik~ek .Рассмотрим скалярные произведенияe~i , ~ej = g ik e~k , ~ej = g ik gkj = δ i j .Таким образом, e~1 ⊥ ~e2 , ~e3 ; e~2 ⊥ ~e1 , ~e3 ; e~3 ⊥ ~e1 , ~e2 . Тогдаe~1 = αe~2 × e~3 ;после скалярного умножения этого равенства на e~1 получаемα=1(~e1 , ~e2 × ~e3 ).Аналогичные соотношения могут быть получены для других компонент.

Следовательно,e~1 =~e2 × ~e3~e3 × ~e1~e1 × ~e2, e~2 =, e~3 =.(~e1 , ~e2 × ~e3 )(~e1 , ~e2 × e~3 )(~e1 , ~e2 × ~e3 )(1.7)Справедливы также обратные формулы:~e1 = e~3 × e~1e~1 × e~2e~2 × e~3, ~, ~.e2 = e3 = e~1 , e~2 × e~3e~1 , e~2 × e~3e~1 , e~2 × e~3(1.8)Глава 1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ12Из разложений вектора по ковариантному и контравариантному базисамv k~ek = vi e~i = vi g ik~ek .следует, чтоv k = vi g ik и vl = glk v k .Для вычисления ковариантной производной ковариантных компонент векторапредварительно вычислим ∂ e~i /∂ξ k . Для этого продифференцируем соотношениеПолучаемe~i , ~ej = δ i j .∂ e~i ∂~ej, ~ej + e~i , kk∂ξ∂ξили!=0∂ e~i , ~ej + Γijk = 0∂ξ kПусть∂ e~i= Aikm e~m ,∂ξ kгде Aikm — некоторый тензор. Скалярно умножая это соотношения на вектор ~ejи учитвая предыдущее, получаемСледовательно,Aikm e~m , ~ej = Aikm δ mj = Aikj = −Γikj .∂ e~i= −Γikj e~j .∂ξ kС использованием этого соотношния легко вычислить производную вектора,заданного контравариантными компонентами∂~v∂ e~i∂vi ~i∂vi=e+v= j e~i − vi Γikj e~k =ijjj∂ξ∂ξ∂ξ∂ξСледовательно,∂~v= ∇j vk e~k ,∂ξ j∇j v k =!∂vk− vi Γikj e~k .∂ξ j∂vk− vi Γikj .∂ξ j1.4.

ТЕНЗОРЫ1.413ТензорыВводится понятие полиадного произведения векторов ~a и ~b, обозначаемое как~a~b и обладающее свойством линейности:(λ1 a~1 + λ2 a~2 ) ~b = λ1 a~1~b + λ2 a~2~b.Тогда можно написать~a~b = ai bj ~ei~ej ,где ai и bj — контравариантные компоненты векторов ~a и ~b. Таким образом,величины ai bj суть компоненты полиадного произведения векторов ~a и ~b вбазисе ~ei~ej .Пусть имеется инвариантный объект, называемый тензором и представимыйсвоими разложениями в двух системах криволинейных координат ξ m и ξ nT = T ij ~ei~ej = T ′ij e~′ i e~′ j .Найдем связь компонент тензора в разных системах координат.