С.Ю. Никитин, С.С. Чесноков - Механика, страница 9

Например, рассматривая материальную точку массой m в однородном поле тяжести вблизи поверхности Земли, удобноотсчитывать потенциальную энергию относительно земной поверхности. Вэтом случаеΠ = mgh ,(5.17)где h – высота над поверхностью Земли, g – ускорение свободного падения.Эту же формулу можно использовать и для тел конечного размера, понимаяпод h высоту центра масс тела над поверхностью Земли. Потенциальнаяэнергия упруго деформированной пружиныΠ=1 2kx ,2(5.18)где k – коэффициент упругости пружины, x – величина деформации, т.е.разность длины пружины в деформированном состоянии и длины свободной пружины.Потенциальная энергия материальной точки массой m в поле силытяготенияΠ=−GM m,r(5.19)§5.

Законы сохранения импульса и энергии69где G – гравитационная постоянная, M – масса силового центра, r – расстояние от силового центра до материальной точки. Как видно из приведенной формулы, Π( ∞) = 0 , т.е. начало отсчета потенциальной энергии выбрано в бесконечно удаленной точке.Полной энергией системы называется сумма ее кинетической и потенциальной энергийE = Κ+Π.(5.20)Изменение полной механической энергии системы равно работе непотенциальных сил:dE = dAнп(5.21)Это утверждение называется законом изменения полной механическойэнергии. Из него следует закон сохранения полной механической энергии:если работа непотенциальных сил равна нулю, то полная механическаяэнергия системы сохраняется:E = const .(5.22)В рассматриваемых ниже задачах используются понятия абсолютноупругого и абсолютно неупругого ударов.

Напомним, что абсолютно упругим называется удар, при котором кинетическая энергия взаимодействующих тел не меняется. Абсолютно неупругим называется удар, в результатекоторого скорости сталкивающихся тел становятся равными друг другу(тела слипаются).Примеры решения задачПример 5.1. Два упругих шарика массами m1 и m2 движутся навстречу другдругу вдоль линии, соединяющей их центры. Начальные скорости шариковv1 и v2. Найти скорости шариков после удара. Считать удар абсолютно уп-70§5. Законы сохранения импульса и энергииругим.Решение.

Поскольку система является изолированной, в ней выполняетсязакон сохранения импульсаm1 v1 + m2 v2 = m1v1′ + m2 v2′ ,(5.23)где v1′ и v2′ – скорости шариков после удара. При абсолютно упругом ударе сохраняется кинетическая энергияm v12 m v22 m v1′ 2 m v2′ 2.+=+2222(5.24)По условию задачи удар является центральным, поэтому скорости шариковдо и после взаимодействия расположены на одной прямой. Направим осьOX вдоль линии, соединяющей центры шаров. Проектируя на эту ось векторное равенство (5.23), получимm1v1x + m2 v2 x = m1v1′x + m2 v2′ x .(5.25)Равенство (5.24) можно представить в видеm1v12x − m1v1′x2 = m2 v2′ 2x − m2 v22x .(5.26)Уравнения (5.25)–(5.26) позволяют определить искомые величины v1x′ иv2x′ .

Перепишем эти уравнения следующим образом:m1 (v1x − v1′x ) = m2 ( v2′ x − v2 x ) ,(5.27)m1 ( v1x − v1′x )( v1x + v1′x ) = m2 ( v2′ x − v2 x )( v2′ x + v2 x ) .(5.28)Система (5.27), (5.28) имеет два решения. Первое из них§5. Законы сохранения импульса и энергии71v1′x = v1x , v2′ x = v2 xсоответствует отсутствию удара между шариками. Если же удар происходит, то v1′x ≠ v1x , v2′ x ≠ v2 x .

В этом случае можно разделить уравнение(5.28) на уравнение (5.27). Тогда получимv1′x + v1x = v2′ x + v2 x .(5.29)Решая совместно линейные уравнения (5.27) и (5.29), находимv1′x =m1v1x + m2 (2v2 x − v1x )m v + m1 (2v1x − v2 x ), v2′ x = 2 2 x.m1 + m2m1 + m2Пример 5.2. Шайба массой m и гладкая “горка” массой M, изображенные нарис. 5.1, могут перемещаться без трения по горизонтальной пло-скости.Шайба скользит по плоскости с начальной скоростью v0 и попадает нагорку. При движении поРис.

5.1горке шайба не отрывается от ее поверхности.Найти скорости обоих тел после того, как шайба покинет горку.Решение. Направим ось OX вдоль горизонтальной плоскости, как показанона рис. 5.1. Обозначим через v и u скорости шарика и горки, которые будутиметь эти тела после того, как шарик покинет горку. Так как трения междугоркой и горизонтальной плоскостью нет, внешние силы в горизонтальномнаправлении отсутствуют. Следовательно, в направлении оси OX импульссистемы сохраняется:m v0 = m v x + M ux .(5.30)§5. Законы сохранения импульса и энергии72Так как трение между шариком и горкой также отсутствует, выполняетсязакон сохранения энергииm v02 m v 2x M ux2.=+222(5.31)Система уравнений (5.30), (5.31) имеет два решения (см.

задачу 5.1):v x = v0 , ux = 0 , и v x = −v0 ⋅M −m2m, ux = v0 ⋅. (5.32)M +mM +mПервое из них соответствует скатыванию шайбы справа от горки, второе –скатыванию шайбы слева от горки. Остается определить условия, при которых реализуется тот или иной случай.Пусть шайба достигает верхней точки горки и дальше перемещается вместе с ней как одно целое с некоторой скоростью U (модель неупругого взаимодействия). Обозначив соответствующую начальную скоростьшайбы через V, имеем из законов сохранения импульса и энергииmV = (M + m)U иmV 2 (M + m)U 2=+ mgh .22Отсюда находимm⎞m⎛V = 2 gh⎜1 + ⎟ , U =⋅V .⎝ M⎠M +mПри неупругом взаимодействии кинетическая энергия в системе не сохраняется.

Часть этой энергии переходит в другие формы (в данном случае запасается в виде потенциальной энергии шайбы). Если начальная скоростьшайбы удовлетворяет условию v0 < V , то шайба не достигнет верхней точ-§5. Законы сохранения импульса и энергии73точки горки и после взаимодействия соскользнет с левой стороны. Если жеv0 > V , то шайба преодолеет верхнюю точку и соскользнет по правой стороне горки.Пример 5.3. На гладком столе лежит доска массы M, на краю которой покоится шайба массой m (рис. 5.2).

Между доской и столом трение отсутствует, а между шайбой и доской трениеесть, причем коэффициент трения раРис. 5.2вен μ. Какую минимальную скорость нужно сообщить шайбе, чтобы пройдяпо доске путь до уступа и обратно, она упала на стол? Длина доски до уступа равна l. Удар шайбы об уступ считать абсолютно упругим.Решение. Направим ось OX вдоль начальной скорости шайбы, как показанона рис. 5.2. Сила трения между шайбой и доской является внутренней силойи не может изменить импульс системы; внешние силы в горизонтальномнаправлении на систему не действуют.

Обозначим через v0 такое значениеначальной скорости шайбы, при котором она, пройдя путь до уступа и обратно, будет двигаться вместе с доской, находясь на самом ее краю. Из закона сохранения импульса следуетm v 0 = ( M + m) v x .Так как в системе действует непотенциальная сила (сила трения междушайбой и доской), кинетическая энергия системы не сохраняется.

Ее изменениеΔΚ =( M + m)v x2 mv02−= Aтр ,22где Aтр – работа силы трения. Эта величина определяется произведениемсилы трения скольжения F = μmg на путь шайбы относительно доскиS = 2l . Учитывая, что сила трения направлена всегда против относительно-§5. Законы сохранения импульса и энергии74го перемещения трущихся поверхностей, можно записатьAтр = −2μmgl .Объединяя записанные равенства, находимm⎞⎛v0 = 2 μgl⎜1 + ⎟ .⎝ M⎠В силу определения скорости v0 шайба упадет с доски, если ее начальнаяскорость превысит величину v0.Пример 5.4. По гладкой горизонтальной плоскости движется тележка массой M со скоростью u0 (рис. 5.3). Вмомент времени t = 0 в ее переднююстенку начинает бить горизонтальнаяструя воды, имеющая скорость v0.Площадь поперечного сечения струи S,Рис.

5.3плотность воды ρ. Найти, как будетменяться со временем скорость тележки ux(t). Взаимодействие струи с тележкой считать абсолютно неупругим.Решение. Направим ось OX вдоль начальной скорости тележки. Рассмотримвзаимодействие тележки с элементом струи массы dm. Поскольку взаимодействие неупругое, скорости тележки и воды после соударения совпадают.На основании закона сохранения импульса, можно записатьM ux − v0 dm = (M + dm)(ux + dux ) ,(5.33)где dux – приращение скорости тележки в результате взаимодействия с данным элементом струи.

Из уравнения (5.33) с точностью до членов первогопорядка малости находим§5. Законы сохранения импульса и энергииM dux = −(ux + v0 )dm .75(5.34)Масса элемента струиdm = ρS dx ,(5.35)где dx – длина данного элемента. Она равна произведению скорости водыотносительно тележки vотн на время взаимодействия dt:dx = vотн ⋅ dt .(5.36)Согласно правилу сложения скоростей,vотн = v0 + u x .(5.37)Из уравнений (5.34) – (5.37) следует, чтоdux = −β(v0 + ux ) 2 dt ,(5.38)где введено обозначениеβ=ρS.M(5.39)По условию задачиux (0) = u0 .(5.40)Интегрирование уравнения (5.38) с учетом начального условия (5.40) даетuxdux∫ (v0 + ux )2u0откудаt∫= −β dt ,0§5. Законы сохранения импульса и энергии76ux (t ) = − v0 +u0 + v0.1 + (u0 + v0 )βtГрафик зависимости скорости тележки от времени представлен нарис.

5.4. На этом графике время t0 есть время, спустя которое тележка начнет двигаться в обратном направлении. Это время определяется формулойt0 =u0.(u0 + v0 )βv0Рис. 5.4Рис. 5.5Пример 5.5. Движущаяся частица испытывает упругое нецентральное столкновение спокоящейся частицей такой же массы. Найти угол, под которым разлетятся частицыпосле удара (рис. 5.5).Решение. Для решения задачи удобно перейти в систему отсчета, связанную с центром масс частиц.