С.Ю. Никитин, С.С. Чесноков - Механика, страница 35

l =mruI + mr 2L3..L121+LMпри M ≤ 2m ; l =при M > 2m .2m10.9. Точкой, находящейся на расстоянии10.10. v =2l от рукоятки сабли.3Ml2 glϕsin .m(l − a) 3210.11. v0 = h2g2g, v = h0.h + h0h + h010.12. v0 = sin θ10.13. v0 =2 gl2 gl, v = sin θ 0.cos θ 0 + cos θcos θ 0 + cos θGM r⋅ , v=r + r0 r0GM r0⋅ .r + r0 rОтветы29110.14. A =⎛ mR 2 ⎞1⎟.mR 2ω 20 ⎜⎜1 +I ⎟⎠2⎝10.15. Κ =m v02 ⎛2mM v027m ⎞≈⎜1 −⎟.7 m + 4M2 ⎝ 4M ⎠10.16. S =πL.3§11. Динамика систем со связями. Уравнения Лагранжа и Гамильтона11.6.

L =ml 2 θ& 2 mgl⋅−sin θ ,3 223g&&θ + cos θ = 0 .2l⎛l 2 ⎞ ϕ& 2l2− mg R 2 − (1 − cos ϕ) ,11.7. L = m ⎜⎜ R 2 − ⎟⎟6⎠ 24⎝⎛l2 ⎞l2&& + mg R 2 − sin ϕ = 0 .m ⎜⎜ R 2 − ⎟⎟ ϕ6⎠4⎝ϕ& 2+ mg(l0 + v0t ) cos ϕ ,22v0g&& +ϕϕ& +sin ϕ = 0 .l0 + v0tl0 + v0t11.8. L = m(l0 + v0t ) 211.9. L =()1 2 &2ml ϑ + ϕ& 2 sin 2 ϑ + mgl cos ϑ .2()11.10. L =ml 2& & cos(ϕ − ψ) + mgl(2 cos ϕ + cos ψ ) .2ϕ& 2 + ψ& 2 + 2ϕψ211.11. L =ml 2 ⎛ 4 2 1 231& + ϕψ& & cos(ϕ − ψ )⎞⎟ + mgl⎛⎜ cos ϕ + cos ψ ⎞⎟ .⎜ ϕ& + ψ⎠⎝2⎠2 ⎝33211.12. L = (M + m)11.13. H =p22ml 2x& 2ϕ& 2+ ml 2+ mlx& ϕ& cos ϕ + mgl cos ϕ .22− mgl cos ϕ .Ответы29211.14. H =⎛p2 ⎞⎜ pθ2 + ϕ ⎟ − mgl cos θ .sin 2 θ ⎟⎠2ml 2 ⎜⎝11.15.

H =11px2 + p2y + pz2 + 24mml1()(⎛p2 ⎞⎜ pθ2 + ϕ ⎟ .⎜sin 2 θ ⎟⎠⎝)2m⎡ 2x& + y& 2 + z x′ x& + z ′y y& ⎤⎥ − mgz( x , y) ,⎢2⎣⎦2⎡ ⎛x⎞ ⎤xxyx⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ x&& + 2 ( x& 2 + y& 2 ) + 2 &&y + g = 0 ,⎝⎠aaaa⎢⎣⎥⎦⎡ ⎛ y⎞2⎤yxyy⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ &&y + 2 ( x& 2 + y& 2 ) + 2 x&& + g = 0 .⎝⎠aaaa⎢⎣⎥⎦11.16. L =§12. Статика. Равновесие механической системы12.6. x ≥a(μ − 1). При μ ≤ 1 сила может быть приложена в любой точке.2μsin ( π / 6 − α ) − 3 sin α12.7. μ min =1 + cos( π / 6 − α ) + sin α, где sin α =1и μ min ≈ 0,028 для6цилиндрического желоба; α = 0 и μ min ≈ 0,27 для плоскойопоры.b212.8.

tg ϕ = ctg α −.a(a + 2b) sin α12.9. tg α =L ( M − m).l(4M + 3m)12.10. tg α =12.11. μ ≥12.12. k =m1 − m23 ( m1 + m2 )2 sin α cos α1 + 2 sin 2 αsin β= 2.sin α..Ответы29312.13. На расстоянии x ñ =12.14. На расстоянии x c =(R r22 R 2 − r2)слева от центра диска.4Rот центра диска.3π12.15. На расстояниях x c =2R2R 2l2 2R; xc =; xc =от центраsinπl2Rπдуги.§13. Малые колебания2g.3(R − r)13.6.

ω =g.(2 3 + π)D13.7. ω = 213.8. ω =1 3 2g.2l13.9. ω =13.10.( m + M )( k1 + k 2 ).mMωx=ωyl.l − l013.11. ω = (R + r)k2mr + I13.12. ω =3( mg + kl).2ml13.13. ω =2μgl13.14. ω1 =k, ω1 =m.k + 2k1; α11 = 1, α12 = 1; α 21 = 1, α 22 = −1 .mОтветы29413.15. ω1,22⎫⎧kg ⎪1 ⎡⎛ m ⎞ g k ⎤⎪ 1 ⎡⎛ m ⎞ g k ⎤−++1= ⎨ ⎢⎜+ 1⎟ + ⎥ m⎟⎜⎬⎢⎠ l M ⎥⎦⎠ l M⎦Ml ⎪4 ⎣⎝ M⎪ 2 ⎣⎝ M⎭⎩При M = m, k =α11 = 1, α12 =mgl3− 5(ω1,2 = Ω 0)l 5 −13m 5, где Ω0 =2; α 21 = 1, α 22 = −3+ 5l()5 +112.k=M.§14. Механика жидкостей и газов⎛ M + m⎞ 514.6. H = h⎜1 + 1⎟ = h = 25 см.M2 ⎠ 2⎝14.7.

β =(1 − α / 100%)ρ в (ρ а − ρ л )⋅100% = 51%.(ρ а − αρ в / 100%)(ρ в − ρ л )14.8. h =mπρR 214.9. A =2+ R.3ρgl 2 S 2 ⎛ 11⎞⎜ + ⎟.2 ⎝ S1 S 2 ⎠2h( n2 − 1)≈ 180 с. Указание. Воспользуйтесь решениемgзадачи 14.4.14.10. τ =14.11. h = H / 2 .ω 2r 2, где z – расстояние по вертикали от уровня2gповерхности воды на оси сосуда, r – расстояние от осиρω 2 r 2.вращения; б) p = p0 +2d2 −d218ηh⋅ 2 2 21 ≈ 225 с.14.13. τ =(ρ св − ρ гл ) g d1 d 214.12. а) z =g;lОтветы2952 gΔh14.14. Q = S1S 2S12 − S 22.14.15.

v = 2 g(H − 4atg α ) ≈ 0,755 м/с.§15. Статистическая механика∞15.12. w(u) =∫∞w1 ( x ) ⋅ w2 (u − x )dx , w(v) =−∞−∞115.13. w(u) =∫ w1( x ) ⋅ w2 ( x − v)dx .σu⎛ u2 ⎞⋅ exp ⎜⎜ − 2 ⎟⎟ , где σ 2u = 2σ 2 .2π⎝ 2σ u ⎠15.14. w( τ) = υ ⋅ exp( − υτ) .15.15. < v > =15.16. w(Κ) =15.17. < u > =15.18. < z > =8kT≈ 470 м/с.πm2π( πkT ) 3 / 2⋅ Κ ⋅ exp( −Κ / kT ) .m1m28kT, где μ =.m1 + m2πμ6kTπg (ρ − ρ 0 )d3≈ 2 ⋅10 −5 м.⎛ μgh ⎞,15.19. α = exp ⎜.⎟ ≈ 1001⎝ RT ⎠15.20. λ =kTπ 2 pd15.21.

T (r) = T0 +2≈ 10 −7 м.ρI 24 π 2 κ ⋅ r04()⋅ r02 − r 2 .Ответы296§17. Задачи повышенной трудности17.1. v0 = g(2h + l) ≈ 15,34 м/с,⎞ll⎛h≈ 69°18′ , a = ⎜⎜ 4 + 1 − 1⎟⎟ ≈ 4,94 м.2⎝l4h + 2l⎠α = arccos17.2. a =1⎛⎜ D − D 2 − L2 ⎞⎟ = 2 м.⎠2⎝17.3. v0 =17.4. h =v1 ± (4v22 − v12 ) / 326 ±1м/с, v01 ≈ 1,72 м/с, v02 ≈ 0,72 м/с.2=2mm g ⎛ βv ⎞m ⎛ βv ⎞v0 − 2 ln ⎜1 + 0 ⎟ , τ = ln ⎜1 + 0 ⎟ .ββ ⎝mg ⎠mg ⎠⎝β17.5. v max = Bμg≈ 40,3 км/ч.A⎛sin β17.6. α = arctg ⎜⎜2⎝ cos β + 1 + m sin β / M⎞⎟.⎟⎠⎛ S ⎞ 2π.17.7. β = π − 2 arcsin ⎜ ⎟ =⎝ 2R ⎠317.8. α =17.9.

α =m0v0ln= 4,5 ⋅10 −3 рад.m0 − mvΚрΚг=x2(xe − 1+ x2)≈ 45% , где x =vотн=4.v017.10. v = 2v0 .17.11. v = v0 ln17.12. μ(t ) =17.13. η =m0− gt , vЗ = 112,7 м/с, vЛ = 194,7 м/с.m0 − μt()m0 g − gt / v0e, m = m0 1 − e − gt0 / v0 ≈ 105,2 кг.v0v2Κ=≈ 13% .Q 2q ev / v0 − 1()Ответы297217.14. A =mgk ⎛ v0 ⎞1+⎜ ⎟ ≈ 1,3 см.kM +m⎝ g ⎠17.15. v = L (L − l)17.16. cos β =(2km L2 − l 2.)cos α222cos α + p sin α, где p =mR 2I + mR 2=3, m – масса мяча,52mR 2 – момент инерции мяча относительно3центра. Указание: считать, что в момент удара радиус мячаостается неизменным.R – его радиус, I =17.17. a =17.18.

T =mg sin 2α(3M + m 1 + 2 sin 2 α1v0 .2Κ0= e2μΔϕ .Κ17.22. tg ϕ =vc =.2 3mg ≈ 0,266 mg .1317.20. v ∞ =17.21. n =)α sin 2θ, v1 = v c 1 + α 2 − 2α cos 2θ , v2 = 2v c cos θ , где1 − α cos 2θmv, α= 2 .m11+ α()mg11 βx; начало отсчетаe + e −βx − 2 = (ch βx − 1) , где β =2ββlT0выбрано на левом конце цепи.17.23. y( x ) =μmgk ⎛ μmg ⎞. В противном случае брусок⎟ , если l >⎜l −k ⎠m⎝kне сдвинется с места.17.24. v max =Ответы2983k1k1, ξ1 = (x1 − x3 ) ; ω 2 =, ξ 2 = ( x 1 − 2x 2 + x 3 ) ;m6m21ω3 = 0 , ξ 3 = ( x1 + x 2 + x 3 ) ; где x1, x 2 , x 3 – смещения тел3относительно положений, в которых пружины не напряжены.17.25.

ω1 =17.26. I =17.27. R =(m R 4 − r 4 − 2r 2 a2(2 R 2 − r2α22 − α2)), xc=ar 22R − r2r0 ≈ 15, r0 , где α = 1 +.n= 1095,.100%3110mg , Py = m g , P =mg ≈ 0,79mg , где Px и Py –444горизонтальная и вертикальная проекции силы реакции, P –ее модуль.17.28. Px =17.29. t1 = (t + 273° C) ⋅17.30. < v z ⋅ v′z > =m ⎛ PH ⎞⋅ ⎜1 +⎟ − 273° C = 16,8° C .Vρ ⎝p0V ⎠2< v z2 > , где < v z2 > = kT / m .317.31. B(τ) = < v z2 > ⋅ exp(− υτ / 3) , где < v z2 > = kT / m .2⎛ 2E ⎞17.32. E1 = E 0 ⎜ 2 ⎟ = 4 ⋅104 эВ.

Указание: перейти в систему отсчета,⎝ mc ⎠движущуюся со скоростью электрона до столкновения; учестьчто E 0 << mc2 .Литература299Литература1. С.П. Стрелков. Механика. М.: Наука, 1975, С.-Пб.: Лань, 2005.2. А.Н. Матвеев. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа",1986.3. Д.В. Сивухин. Общий курс физики. Том I. Механика.

М.: Наука, 1989.4. Ч. Киттель, У. Найт, М. Рудерман. Механика. М.: Наука, 1983.5. И.И. Ольховский. Курс теоретической механики для физиков.М.: Изд-во МГУ, 1978.6. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Механика. М.: Наука, 1965.Учебное изданиеПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ФИЗИКЕДЛЯ СТУДЕНТОВ-МАТЕМАТИКОВПод редакцией профессора В.А. МакароваЧАСТЬ I.НИКИТИН Сергей Юрьевич,ЧЕСНОКОВ Сергей СергеевичМЕХАНИКАОригинал–макет: Чесноков С.С.Издательский отделфакультета вычислительной математики и кибернетикиМГУ им. М.В. ЛомоносоваЛицензия ИД № 05899 от 24.09.01119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им.

М.В. Ломоносова,2-й учебный корпусНапечатано с готового оригинал-макетав издательстве ООО «Макс Пресс»Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г.Подписано к печати 29.05.2006 г.Формат 60х90 1/16. Усл. печ. л. 18,75. Тираж 650 экз. Заказ 404.119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова,2-й учебный корпус, 627 к.Тел. 939-3890, 939-3891. Тел./Факс 939-3891.