С.Ю. Никитин, С.С. Чесноков - Механика

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТим. М.В. ЛОМОНОСОВАФакультет вычислительной математики и кибернетикиПРАКТИЧЕСКИЕЗАНЯТИЯПО ФИЗИКЕДЛЯ СТУДЕНТОВМАТЕМАТИКОВПод редакциейпрофессора В.А. МакароваЧАСТЬ IС.Ю. Никитин,С.С. ЧесноковМЕХАНИКАМосква2006УДК 530.1 (075.8)ББК 22.2Н62Печатается по решению Редакционно-издательского советаФакультета вычислительной математики и кибернетикиМосковского государственного университета им.

М.В. ЛомоносоваРецензенты:заведующий кафедрой общей физикифизического факультета МГУ, профессор А.М. Салецкий,заведующий кафедрой физики и прикладной математикиВладимирского госуниверситета, профессор С.М. АракелянПод редакцией профессора В.А. МакароваH62Никитин С.Ю., Чесноков С.С.Механика: Учебно-методическое пособие. – М.: Издательский отделфакультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова (лицензия ИД N 05899 от24.09.2001 г.), 2006. – 300 с.: ил. (Практические занятия по физике длястудентов-математиков.

Под ред. В.А. Макарова. Часть 1)ISBN 5-89407-263-8Пособие составлено в соответствии с программой раздела "Механика" курса физики по специальности "Прикладная математика". В начале каждого параграфа даются краткие теоретические сведения по рассматриваемой теме. Затем приводятсярешения и подробный анализ пяти – семи типовых задач, достаточно полно раскрывающих тему.

В конце параграфов предлагаются задачи для самостоятельногорешения. Все задачи тщательно отобраны с целью обеспечения минимума сведений и навыков, которые необходимо приобрести студентам при самостоятельномизучении механики. Всего в пособие включено около 280 задач, из которых свыше80 снабжено решениями.Пособие предназначено для студентов математических специальностей классических университетов. Оно может оказаться также полезным преподавателям высших учебных заведений при подготовке и проведении практических занятий пофизике со студентами различных специальностей. Отдельные задания можно использовать в курсах теоретической механики и статистической физики.Ил.

193.УДК 530.1(078.5)ББК22.2ISBN 5-89407-263-8© Факультет вычислительной математики икибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова, 2006© С.Ю. Никитин, С.С. Чесноков, 2006Оглавление3ОглавлениеПредисловие редактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4§1. Кинематика материальной точки . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .7§2. Кинематика твердого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23§3. Кинематика относительного движения . . . . . . . . . . . . . . . . .36§4. Динамика материальной точки. Законы Ньютона . . . . . . .47§5. Законы сохранения импульса и энергии . . . . .

. . . . . . . . . . .64§6. Релятивистская механика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80§7. Неинерциальные системы отсчета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93§8. Момент инерции твердого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106§9. Динамика твердого тела . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115§10. Закон сохранения момента импульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133§11. Динамика систем со связями. Уравнения Лагранжа иГамильтона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .144§12. Статика. Равновесие механической системы . . . . . . . . . . . . .159§13. Малые колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173§14. Механика жидкостей и газов . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .195§15. Статистическая механика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209§16. Численный анализ в механике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .239§17. Задачи повышенной трудности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .276Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .283Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .299Предисловие редактора4Предисловие редактораНастоящий том открывает серию учебных пособий, которая является обобщением более чем тридцатилетнего опыта преподавания физикидля студентов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУим. М.В. Ломоносова. Курс физики для специальности "Прикладная математика" сочетает феноменологию и индуктивный подход общего курса сдедуктивным подходом теоретической физики. Высокий уровень преподавания этого курса базируется на достаточно хорошей математической подготовке студентов-математиков, которой они обладают на момент началаизучения физики.Значительное внимание в курсе уделяется роли математическихмоделей в физике, единству современной физики и прикладной математикив интерпретации физических явлений.

Пособие ориентировано на то, чтобынаучить студентов приемам и методам моделирования реальных или идеализированных явлений с помощью математики. При этом моделируемыеявления могут быть в конечном счете любыми, не обязательно физическими, а, например, экономическими, социальными и др. Поскольку методыматематического моделирования едины, проще всего их осваивать на примере физических систем, как наиболее наглядных и хорошо изученных.Поэтому особое значение в преподавании физики студентам-математикамимеют практические занятия, пособием для которых и является данная серия.Серия состоит из пяти томов: "Механика", "Молекулярная физика итермодинамика", "Электродинамика", "Волновые процессы и оптика","Квантовая механика". Каждый том включает в себя специально подобранные задачи, как оригинальные, составленные авторами, так и известные,методически ценные, но разбросанные по разным изданиям. Кроме того, вкаждом томе помещены задачи повышенной сложности, решение которыхтребует знаний по всему разделу курса, а также задания, отражающие при-Предисловие редактора5родные явления и современные достижения науки и техники.

Среди последних есть качественные задачи, не имеющие точного, выраженногоформулой решения, но развивающие умение построить математическуюмодель явления и сделать численные оценки.Во всех томах серии используется единый методический подход кобучению студентов практическим навыкам решения и анализа физическихзадач, построения математических моделей в физике. В начале каждой темыраздела курса дается краткое изложение теории в объеме, необходимом длярешения задач, далее приводится подробное решение и анализ несколькихтиповых задач, затем сформулированы задания для самостоятельной работыс ответами и необходимыми указаниями.

Там, где это целесообразно, приведены примеры применения численных методов в физике.Естественно, что глубокое изучение физики должно базироватьсяна проверенных временем классических университетских учебниках. Помещенные в пособие краткие теоретические сведения ни в коей мере не могут их заменить, а призваны в первую очередь заинтересовать студентов,побудить их к самостоятельной и серьезной работе над рекомендованнымиучебниками.Пособие предназначено для студентов математических специальностей классических университетов. Оно может оказаться также полезнымпреподавателям высших учебных заведений при подготовке и проведениипрактических занятий по физике со студентами различных специальностей.Отдельные задания можно использовать в специальных курсах по теоретической механике, статистической физике, электродинамике, оптике, теорииволн, спектральному анализу и другим дисциплинам.В соответствии с программой по физике для специальности "Прикладная математика" первая часть серии включает в себя механику материальной точки, механику твердого тела, элементы аналитической механики,механику жидкостей и газов, начала статистической механики.

Более чемтридцатилетний опыт преподавания этого курса позволил авторам в сжатойи лаконичной форме дать читателям представление об основных разделахмеханики.6Предисловие редактораНам выпало счастье пройти великолепную школу преподаванияфизики, созданную профессорами С.П. Стрелковым, С.А. Ахмановым, доцентами Г.Я. Мякишевым, Б.Б.

Буховцевым. Заложенные ими педагогические традиции бережно сохраняются по сей день на кафедре общей физикии волновых процессов физфака МГУ и обеспечивают успешное обучениефизике студентов математических специальностей.Со дня основания ВМК МГУ руководство факультета постоянноуделяло и уделяет большое внимание преподаванию физики. Усилиями деканов факультета академика А.Н. Тихонова, член-корреспондента РАН Д.П.Костомарова, академика Е.И. Моисеева, а также профессоров М.М.

Хапаева, Е.В. Шикина, доцентов В.Г. Сушко и Б.И. Березина, занимавших в разные годы должности заместителей декана по учебной работе, сформировался весьма высокий уровень требований к обучению физике студентов ВМК.От лица авторов пособия выражаю благодарность всем коллегам,преподающим физику на мехмате и ВМК МГУ, за плодотворное сотрудничество. Глубоко признателен профессорам А.М.

Салецкому и С.М. Аракеляну, взявшим на себя труд по рецензированию пособия и высказавшим рядценных критических замечаний.В.А. Макаров§1. Кинематика материальной точки7§1. Кинематика материальной точкиКраткие теоретические сведенияМеханическим движением тел называется изменение взаимногорасположения тел, их размеров и формы, происходящее с течением времени. Для описания механического движения необходимо выбрать системуотсчета, т.е. указать какое-либо конкретное тело (тело отсчета), относительно которого наблюдается движение других тел, а также связать с теломотсчета координатную систему и часы.Математическое описание движения в кинематике базируется наразличных моделях физических тел.

Простейшая модель тела – материальная точка. Так называется тело, размерами которого можно пренебречь. Этамодель применима, когда размеры тела малы по сравнению с характернымиразмерами области его движения, а также когда твердое тело совершаетпоступательное движение.Положение материальной точки в пространстве определяется положением изображающей ее геометрической точки. Оно задается радиусвектором точки r, соединяющим начало координат с материальной точкой.Рассмотрим наиболее часто применяемые на практике системы координат.Прямоугольные (декартовы) координаты: проекции x, y, z радиус-вектора rточки P на три взаимно перпендикулярные оси OX, OY, OZ (рис. 1.1, а).Полярные координаты в плоскости XOY: расстояние ρ от точки P до полюсаO и полярный угол ϕ (рис.

1.1, б).Цилиндрические координаты: полярные координаты ρ, ϕ проекции точки Pна плоскость XOY и проекция z радиус-вектора r точки P на ось OZ (рис.1.1, в).Сферические координаты: длина r радиус-вектора r точки P, долгота ϕ иширота θ (рис. 1.1, г).§1. Кинематика материальной точки8(а)(б)(в)Рис. 1.1. Системы координат(г)Для описания движения точки используют следующие кинематические характеристики:Перемещение материальной точки из положения 1 в положение 2 –это векторΔr = r2 − r1 ,(1.1)проведенный из начального положения точки в конечное (рис. 1.2).

Проекции вектораперемещения на декартовы координатныеоси могут быть выражены через разностикоординат его конца и начала:Рис. 1.2. Перемещение точкиΔx = x 2 − x1, Δy = y2 − y1, Δz = z2 − z1 .(1.2)Эти величины называют перемещениями точки вдоль соответствующихкоординатных осей. В соответствии с этим вектор перемещения может бытьпредставлен в виде:Δr = iΔx + jΔy + kΔz(1.3)§1. Кинематика материальной точки9где i, j, k – единичные векторы в направлении осей OX, OY, OZ соответственно.Путь точки равен сумме расстояний, пройденных ею вдоль траектории, и всегда является неотрицательной величиной. Пути, пройденныеточкой за последовательные промежутки времени, складываются арифметически. Модуль Δr = Δx 2 + Δy 2 + Δz 2 перемещения точки в общем случае не равен пути, пройденному точкой за данный промежуток времени.Эти величины совпадают только при движении точки по прямой в одномнаправлении.Средняя скорость точки в данной системе отсчета на интервалевремени (t, t + Δt ) есть вектор v ср , равный отношению вектора перемещения Δr = r(t + Δt ) − r(t) к величине интервала времени Δ t (рис.