С.Ю. Никитин, С.С. Чесноков - Механика, страница 5

Известна матрица поворота твердого тела S$ =|| sij || . Построить матри-§2. Кинематика твердого тела35цу обратного поворота T$ =|| t ij || .2.13. Написать шесть уравнений, которые в общем случае связывают междусобой элементы матрицы поворота твердого тела sij .2.14. Пусть поворот тела из положения 1 в положение 2 описывается матрицей S$ (1) , а поворот тела из положения 2 в положение 3 описывается мат-рицей S$ (2) . Построить матрицу S$ , описывающую поворот тела из положения 1 в положение 3.2.15. Известны декартовы компоненты скорости и ускорения материальнойточки vi и ai ( i = 1, 2, 3 ) относительно системы координат S.

Известна такжематрица S$ =|| sij || , описывающая поворот системы S к системе S'. Найти декартовы компоненты скорости и ускорения материальной точки v i′ и ai′относительно системы S'.36§3. Кинематика относительного движения§3. Кинематика относительного движенияКраткие теоретические сведенияНа практике часто возникает необходимость связать систему отсчета с каким-нибудь движущимся или вращающимся телом. Так, физическиеявления на борту космической станции удобно рассматривать в системеотсчета, связанной с самой станцией. Движения тел вблизи земной поверхности естественно рассматривать относительно поверхности Земли. Междутем сама земная поверхность движется вследствие суточного вращения Земли, а также за счет движения Земли по орбите вокруг Солнца.

Возникаетвопрос: какие особенности приобретают физические явления, если их рассматривать относительно движущейся системы отсчета? Изучение этихособенностей целесообразно начать с установления связей между кинематическими характеристиками движения точки (радиус-вектором, скоростью, ускорением), взятыми по отношению к двум разным системам отсчета: неподвижной и движущейся.Пусть S – неподвижная, а S' – движущаяся система отсчета (рис.3.1). Будем считать, что начало отсчетаподвижной системы совершает произвольное движение, а сама эта системавращается с постоянной угловой скоростью ω = const . Рассмотрим материальную точку M, которая совершаетпроизвольное движение относительнодвух указанных систем отсчета.

ОбоРис. 3.16. Неподвижная изначим через r, v, a соответственно радвижущаяся системы отсчетадиус-вектор, скорость и ускорение точки относительно системы S, через r′, v′, a ′ – ее радиус-вектор, скорость иускорение относительно системы S'. Радиус-вектор, скорость и ускорениеначала отсчета подвижной системы по отношению к неподвижной системе§3. Кинематика относительного движения37обозначим соответственно через r0 , v0 , a 0 . Кинематические соотношениямежду перечисленными величинами имеют вид:r = r0 + r′ ,(3.1)v = v0 + v′ + [ω, r′ ] ,(3.2)a = a 0 + a ′ + [ω,[ω, r′ ]] + 2[ω, v′ ] .(3.3)В частности, при поступательном движении системы S', когдаω = 0 , из формул (3.2), (3.3) получаемv = v0 + v′ ,(3.4)a = a0 + a ′ .(3.5)Если материальная точка жестко связана с движущейся системойотсчета, т.е. если v′ = 0 , то последнее слагаемое в правой части формулы(3.3) обращается в нуль и эта формула приобретает видa = a′ + a п ,(3.6)где величинаa п = a 0 + [ω, [ω, r′]](3.7)называется переносным ускорением.

Последнее слагаемое в формуле (3.7)можно преобразовать к виду[ω,[ω, r′ ]] = − ω 2 r⊥′ ,(3.8)где символом r⊥′ обозначена составляющая радиус-вектора точки M относительно подвижной системы отсчета, перпендикулярная вектору ω. Вектор§3. Кинематика относительного движения38− r⊥′ направлен от точки M к оси вращения подвижной системы. Поэтомуускорение точки, выражаемое формулой (3.8), часто называют центростремительным ускорением. Наконец, последнее слагаемое в правой части формулы (3.3)a к = 2[ω, v′](3.9)называют кориолисовым ускорением. Кориолисово ускорение отлично отнуля только для точки, движущейся относительно вращающейся системыотсчета.

Таким ускорением обладает, в частности, маятник Фуко. Кориолисово ускорение, обусловленное суточным вращением Земли, приводит ктому, что плоскость колебаний маятника поворачивается относительно земной поверхности.Используя обозначения (3.7) и (3.9), формулу (3.3) можно представить в видеa = a′ + a п + a к .(3.10)Таким образом, в общем случае абсолютное ускорение материальной точкиравно сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений.Примеры решения задачПример 3.1. Пловец переплывает реку шириной L по прямой, перпендикулярной берегу, и возвращается обратно, затратив на весь путь время t1 = 4мин.

Проплывая такое же расстояние L вдоль берега реки и возвращаясьобратно, пловец затрачивает время t2 = 5 мин. Найти, во сколько раз α скорость пловца относительно воды превышает скорость течения, считая ее повсей ширине реки постоянной.Решение. Пусть v0 – скорость пловца относительно воды, а u – скоростьтечения реки. Тогда искомая величина§3. Кинематика относительного движенияα=v0.u39(3.11)Свяжем неподвижную систему отсчета с берегом, а движущуюся – с речнойводой. Скорость пловца относительно берега v определяется правилом сложения скоростей (3.4). В обозначениях данной задачи имеем:v = v0 + u .Взаимное расположение этих векторов для случая, когдапловец плывет по прямой, перпендикулярной берегу,показано на рис.

3.2. Как видно из этого рисунка, модульскорости пловца относительно берегаv = v02 − u2 .Рис.3.2(3.12)При этом время, затрачиваемое пловцом на то, чтобы переплыть реку и вернуться обратноt1 =2L.v(3.13)Когда пловец плывет по течению реки, его скорость относительно берегаравна v0 + u . Если же он плывет против течения, то движется относительноберега со скоростью, равной v0 − u . Следовательно, время, необходимоепловцу для того, чтобы проплыть расстояние L и вернуться обратно, будетt2 =LL+.v 0 + u v0 − uИспользуя формулы (3.11) – (3.14), находим(3.14)§3. Кинематика относительного движения40α=t2t22− t12=5.3Пример 3.2.

Математический маятник длиной l = 0,3 м установлен в каби-не космического корабля. Во время старта ракеты маятник совершает колебания с периодом T = 0,7 с. С каким ускорением a движется ракета относительно поверхности Земли?Решение. Математический маятник представляет собой материальную точку, подвешенную на невесомой нити, и совершающую колебания под действием силы тяжести. Согласно формуле Гюйгенса, период малых колебаний маятника определяется длиной нити l и ускорением свободного паденияg, а именно,T =l.gЕсли маятник установлен в кабине космического корабля, то период егоколебаний определяется ускорением свободного падения g′ в системе отсчета, связанной с кораблем:T =l.g′(3.15)Связь ускорений свободного падения относительно земли и относительноракеты можно найти, используя правило сложения ускорений (3.5).

Так какускорение ракеты на старте направлено вверх,g′ = g + a .(3.16)§3. Кинематика относительного движения41Используя формулы (3.15), (3.16), находим2⎛ 2π ⎞a = ⎜ ⎟ l − g ≈ 14 м/с2.⎝T ⎠Пример 3.3. В кабине лифта, движущейся с ускорением a0 = 0,8 м/с2, направленным вниз, бросают вертикально вверх маленький шарик. Начальнаяскорость шарика относительно лифта v0 = 6 м/c. На какую высоту h поднимется шарик относительно лифта?Решение. Согласно правилу сложения ускорений (3.5), ускорение свободного падения тела в системе отсчета, связанной с лифтом,g ′ = g − a0 .(3.17)В этой же системе отсчета закон движения шарика и закон изменения егоскорости имеют видg ′t 22(3.18)v x (t ) = v0 − g ′t .(3.19)x (t ) = v0t −иВ момент достижения верхней точки траектории скорость шарика относительно лифта обращается в ноль: v x (t0 ) = 0 . Используя формулу (3.19),находим время движения шарика вверх: t0 =формулуh=(3.18),v02= 2 м.2( g − a0 )получаемh = x (t 0 ) =v022g′v0.

Подставив это время вg′или,сучетом(3.17),§3. Кинематика относительного движения42Пример 3.4. Пробирка с жидкостью установлена на расстоянии R = 10 см отоси центрифуги, которая вращается, совершая n = 1000 оборотов в секунду.Во сколько раз α центростремительное ускорение молекул жидкости превышает ускорение свободного падения g?Решение.Согласноформуле(3.8),центростремительноеускорение2a = ω R , где ω – угловая скорость вращения центрифуги.

Она связана счастотой вращения n соотношениемa = (2πn) 2 R . Таким образом, α =ω = 2πn . Отсюда следует, что(2πn) 2 R≈ 4 ⋅105 .gПример 3.5. Тело движется с юга на север со скоростью v = 10 м/с вблизиточки земной поверхности с географической широтой ϕ = 30°.

Какова величина кориолисова ускорения этого тела ?Решение. Согласно формуле (3.9) абсолютная величина кориолисова ускоренияaк = 2ωv′ sin α ,где α – угол между векторами ω и v′ . Как видно изрис. 3.3, в данном случае α = ϕ. Угловая скоростьвращения земного шара ω = 2π / T , где T – периодобращения Земли, равный одним суткам. ОтсюдаРис. 3.3Рис. 3.4aк =4πv′ sin ϕ ≈ 0,7 ⋅ 10 − 3 м/с2.TПример 3.6. Маленький шарик, движущийся соскоростью v, упруго ударяется о гладкую массивную плиту, движущуюся со скоростью u, какпоказано на рис. 3.4. Вектор v и нормаль n к плите составляют между собой угол ϑ.

Вектор u на-§3. Кинематика относительного движения43правлен по нормали к плите. Какова будет величина v1 скорости шарикапосле удара?Решение. В системе отсчета, связанной с плитой, составляющая скоростишарика, параллельная плите, при ударе не меняется, а составляющая скорости, перпендикулярная плите, меняет свое направление на противоположное. Направим ось OX вдоль плиты, а ось OY по нормали к плите. В неподвижной системе отсчета декартовы проекции скорости шарика перед ударом равны:v x = v sin ϑ , v y = v cos ϑ .(3.20)Согласно правилу сложения скоростей, в системе отсчета, связанной с плитой, декартовы проекции скорости шарика перед ударом:v x′ = v x , v ′y = v y − u .(3.21)В этой же системе отсчета после удараv1′x = v x′ , v1′y = − v ′y .(3.22)Переходя снова в неподвижную систему отсчета, получимv1x = v1′x , v1 y = v1′y + u .Из формул (3.20) – (3.23) следует, чтоv1x = v sin ϑ , v1 y = 2u − v cos ϑ .и, следовательно,v1 = v12x + v12y = v 2 + 4u2 − 4uv cos ϑ .(3.23)44§3.

Кинематика относительного движенияЗадание для самостоятельной работы3.7. Корабль идет на запад со скоростью v. Известно, что ветер дует с югозапада. Скорость ветра, измеренная относительно палубы корабля, равна u0.Найти скорость ветра u относительно земли.3.8. Автомобиль, движущийся по горизонтальной дороге, попадает поддождь, капли которого падают на землю вертикально с постоянной скоростью. Известно, что при скорости автомобиля v1 = 36 км/час в его наклонное лобовое стекло попадает n1 = 200 дождевых капель в секунду, а прискорости v2 = 72 км/час это число возрастает до n2 = 300 капель в секунду.Сколько капель n0 будет попадать в лобовое стекло за1 секунду, если автомобиль остановится?3.9. Тело 1 начинает двигаться из точки А по направлению к точке В со скоростью v1.

Одновременно тело 2 начинает двигаться из точки В по направлению к точке С со скоростью v2. Расстояние AB = L. Острый ∠A BC = α .Каким будет минимальное расстояние l между телами?3.10. Два упругих шарика – большой и маленький – падают вертикальновниз так, что маленький шарик лежит сверху на большом. После упругогоудара о горизонтальную поверхность большой шарик начинает двигатьсявверх со скоростью V. С какой скоростью v начнет двигаться вверх маленький шарик? Масса маленького шарика пренебрежимо мала по сравнению смассой большого.Рис.