С.Ю. Никитин, С.С. Чесноков - Механика, страница 4

Заметим,что в отличие от случая плоского движения, в рассматриваемом здесь случае вектор угловой скорости ω может менять свою ориентацию с течениемвремени как относительно неподвижной системы координат, так и относительно самого тела: ω = ω (t ) .Произвольное движение твердого тела можно рассматривать каксуперпозицию перемещения некоторой точки тела (например, его центрамасс) и изменения ориентации тела в пространстве. Скорость любой точкитела относительно сопровождающей системы, связанной с центром масс,определяется по формуле (2.3), а скорость этой точки относительно неподвижной системы отсчета записывается в виде (2.7).Во многих задачах возникает необходимость описании ориентациитвердого тела в пространстве. Удобным средством такого описания является матрица поворота тела.

При получении этой матрицы будем исходить изтого, что описать ориентацию твердого тела – значит описать ориентациюодной координатной системы относительно другой, имеющей с первой общее начало.Рассмотрим две декартовы системы координат S и S', имеющие§2. Кинематика твердого тела27общее начало отсчета. Орты системы S обозначим через e1, e2 , e 3 , а ортысистемы S' – через e1′, e2′ , e 3′ .

Пусть положение некоторой материальнойточки M в пространстве характеризуется радиус-вектором r(рис. 2.2). Этот вектор можно выразить через орты обеих координатныхсистем:r = e1x1 + e2 x 2 + e3 x 3 = e1′ x1′ + e2′ x 2′ + e3′ x 3′ .(2.8)Здесь x1, x 2 , x 3 – декартовы координаты точки Mотносительно системы S, а x1′, x 2′ , x 3′ – декартовыкоординаты той же точки относительно системы S'.Для установления связи между x1, x 2 , x 3 иx1′, x 2′ , x 3′ умножим скалярно векторные равенства(2.8) по очереди на орты e1 , e2 и e3 системы S.Принимая во внимание нормированность ортов,получимРис.

2.2. К выводуматрицы поворотаx1 = e1e1′ x1′ + e1e2′ x 2′ + e1e3′ x 3′ ,(2.9)x 2 = e 2 e1′ x1′ + e2 e 2′ x 2′ + e2 e3′ x 3′ ,(2.10)x 3 = e 3 e1′ x1′ + e3 e 2′ x 2′ + e3 e3′ x 3′ .(2.11)Формулы (2.9) – (2.11) выражают декартовы координаты точки M в системеS через координаты той же точки в системе S' и скалярные произведенияортов обеих систем.

Полученный результат можно представить более компактно в видеxi =∑ sij x ′j ,j(2.12)§2. Кинематика твердого тела28где индексы i и j пробегают значения от 1 до 3, а коэффициентыsij опре-деляются формуламиsij = e i e ′j .(2.13)Коэффициенты этого преобразования удобно записать в виде матрицыs11$S = s21s12s13s22s23 .s31s32s33(2.14)Матрица S$ =|| sij || , элементы которой представляют собой скаляр-Рис. 2.3. Поворот вокруг оси x1на 90°ные произведения ортов двух координатныхсистем, задает пространственную ориентациюодной декартовой системы координат относительно другой, имеющей с ней общее начало.Согласно теореме Эйлера, переход от системы S к системе S' можно осуществить путемповорота системы S вокруг некоторой оси.Поэтому матрицу S$ называют также матрицей поворота.

Элементы матрицы поворота называют направляющими косинусами.Любой поворот тела с одной неподвижной точкой может быть описан соответствующей матрицей. Например, поворот вокруг оси x1 на 90° ,выполненный по правилу правого винта (рис. 2.3), описывается матрицей1 0 0$S = 0 0 −1 .0 10Примеры решения задачПример 2.1. По горизонтальной плоскости катится без проскальзывания§2. Кинематика твердого тела29цилиндр радиусом R.

На какое расстояние x c сместится центр цилиндрапри его повороте на угол ϕ?Решение. Движение цилиндра иллюстрирует рис. 2.4. Из отсутствия проскальзывания следует, что смещениецентра цилиндра x c равно длине дугиокружности радиусом R, соответствующей центральному углу ϕ. Таким образом,Рис. 2.4xc = Rϕ .Заметим, что отсюда следует кинематическая связь скорости движения центра цилиндра vc с угловой скоростью вращения ωv c = R ϕ& = R ω ,а также связь ускорения движения центра ac с угловым ускорением вращения цилиндра ε:& = Rε .ac = R ωПример 2.2. Стержень длиной l движется в горизонтальной плоскости (рис.2.5, a). В некоторый момент времени скорости концов стержня направленыпо нормали к стержню и составляют величины v1 и v2. Найти скорость движения центра стержня vc и угловую скоростьвращения стержня ω в этот момент времени.Решение.

Движение стержня можно рассматривать как совокупность перемещенияего центра и вращения вокруг оси, проходящей через центр (рис. 2.5, б). Относительно(а)(б)Рис. 2.5§2. Кинематика твердого тела30центра стержня его концы движутся по окружности радиуса l/2 с угловойскоростью ω. Следовательно их линейные скорости относительно центраравны v ′ = ωl / 2 . Одна из этих скоростей направлена параллельно скорости движения центра, а другая – в противоположную сторону. Применяяправило сложения скоростей, запишемv1 = v c − ωl / 2 , v2 = v c + ωl / 2 .Используя эти формулы, находим ответ:11v c = (v1 + v2 ), ω = (v2 − v1 ) .l2(а)(б)Рис.2.6Пример 2.3.

Стержень длиной l движется в горизонтальной плоскости. Внекоторый момент времени скоростиконцов стержня равны v1 и v2, причемскорость первого из них направлена подуглом α к стержню (рис 2.6, а). Каковаугловая скорость вращения стержня ω вэтот момент времени?Решение. Введем сопровождающую систему отсчета, связав ее начало содним из концов стержня.

Пусть это будет точка 2, показанная на рис. 2.6,б. В интересующий нас момент времени сопровождающая система отсчетадвижется поступательно со скоростью, равной v2. Относительно сопровождающей системы второй конец стержня (точка 1 на рис. 2.6, б) движется поокружности радиусом l с угловой скоростью ω. Следовательно, его линейная скорость в сопровождающей системе равнаv1′ = ωl§2. Кинематика твердого тела31и направлена перпендикулярно стержню. С другой стороны, скорость v1′можно найти, используя правило сложения скоростей. Согласно этому правилуv1 = v1′ + v2 .Отсюда v1′ = v1 − v2 . Построение вектора скорости v1′ точки 1 в сопровождающей системе отсчета показано на рис. 2.6, б. Для этого к вектору v1прибавлен вектор, равный − v2 .

Из условия перпендикулярности вектораv1′ стержню получаем соотношениеv1 cos α = v2 cos β ,где через β обозначен угол между стержнем и вектором скорости v2 . Каквидно из рис. 2.6, б, модуль вектора v1′ выражается формулойv1′ = v1 sin α + v2 sin β .Объединяя записанные выражения, находим ответ:1ω = ⎛⎜ v1 sin α + v22 − v12 cos2 α ⎞⎟ .⎠l⎝Пример 2.4. По вогнутой цилиндрической поверхности радиусом R катитсябез проскальзывания цилиндр радиусом r. Выразить угловую скорость вращения цилиндра ω через скорость движения его центра vc.Решение.

Качение цилиндра иллюстрирует рис. 2.7. Выберем начало отсчета на оси цилиндрической поверхности (точка O), соединим эту точку сцентром цилиндра (точка С), угол между вертикалью и линией ОС обозначим через ϕ. Этот угол характеризует положение центра цилиндра. Так как§2. Кинематика твердого тела32центр цилиндра движется по дуге окружности радиусом R − r , скоростьдвижения центра можно записать в видеv c − (R − r)ϕ& .Рис.

2.7Выберем далее некоторую точку А на поверхности цилиндра и будем считать, что приϕ = 0 точки О, С и А лежат на одной прямой.Вращение цилиндра будем описывать углом ψмежду вертикалью и линией АС. По определению угловой скорости& .ω=ψИз отсутствия проскальзывания следует, что дуга окружности радиусом R,соответствующая центральному углу ϕ, равна длине дуги окружности радиусом r, соответствующей центральному углу ϕ + ψ , т.е.R ϕ = r(ϕ + ψ) .Дифференцируя по времени последнее равенство, получаем:&).R ϕ& = r(ϕ& + ψОбъединяя записанные выражения, находим ответ: ω = v c / r .Пример 2.5. Известны орты e1, e2 , e 3 декартовой системы координат S,показанной на рис. 2.2, и матрица поворота S$ , элементы которой sij определяются формулами (2.13).

Построить орты e1′, e2′ , e 3′ системы S ′ .Решение. Пусть М – некоторая материальная точка. Радиус-вектор этойточки в системах S и S' выражается формулами (2.8), которые можно представить в виде§2. Кинематика твердого телаr=33∑ ei x i(2.15)∑ e′j x ′j .(2.16)iиr=jПодставив выражение (2.12) в формулу (2.15), получимr=∑ e i ∑ sij x ′jijили, поменяв порядок суммирования,r=∑ x ′j ∑ sij e i .j(2.17)iСравнивая формулы (2.16) и (2.17), находимe ′j =∑ sij e i .iТаким образом, матрицу поворота S$ можно рассматривать как матрицу,связывающую между собой орты двух декартовых систем координат, повернутых одна относительно другой.Задание для самостоятельной работы2.6. По горизонтальной плоскостикатится без проскальзывания цилиндррадиусом R.

Выразить декартовы координаты x и y некоторой точки А наободе колеса через угол поворота колеса ϕ (рис. 2.8).Рис. 2.8§2. Кинематика твердого тела342.7. Стержень длиной l движется в вертикальной плоскости, опираясь одним концом на вертикальную, а другим – нагоризонтальную плоскость (рис. 2.9). В некоторый момент времени скорости концов стержняравны v1 и v2 . Найти угловую скорость враРис. 2.9щения стержня ω в этот момент времени.2.8. Стержень AB движется в горизонтальной плоскости (рис. 2.10). В некоторый момент скорость его центра составляет уголα = 30° с направлением стержня, величина скороститочки B равна vB = 2 м/с, а скорость точки А перпендикулярна к скорости точки B. Найдите величину скоростиv0, с которой движется центр стержня в этот момент времени.Рис.

2.102.9. По выпуклой цилиндрической поверхности радиусом R катится безпроскальзывания цилиндр радиусом r. Выразить угловую скорость вращения цилиндра ω через скорость движения его центра vc.2.10. Колесо катится без проскальзывания по ленте транспортера, движущейся горизонтально со скоростью v0 = 1 м/с, внаправлении движения ленты (рис.

2.11). Известно, что относительно неподвижного наблюдателяскорость точки B, находящейся на ободе колеса наего горизонтальном диаметре, составляет с горизонтом угол α = 30° . Найти скорость v центраРис. 2.11колеса относительно неподвижного наблюдателя.2.11. Построить матрицу поворота, описывающую поворот твердого телавокруг оси x3 на угол ϕ. Поворот выполняется по правилу правого винта.2.12.