С.Ю. Никитин, С.С. Чесноков - Механика, страница 6

3.53.11. Маленький шарик, движущийся со скоростью v, упругоударяется о гладкую массивную плиту, движущуюся со скоростью u, как показано на рис. 3.5. Вектор v и нормаль к плитесоставляют между собой угол ϑ. Какова будет скорость шарикаv1 после удара?§3. Кинематика относительного движения453.12. Катер, движущийся со скоростью v1, буксируетспортсмена на водных лыжах (рис. 3.6). В некоторыймомент времени трос, за который держится спортсмен,составляет с направлением движения катера угол α, анаправление скорости спортсмена, обозначенной нарисунке через v2, образует с тросом угол β.

Чему равнавеличина vотн скорости спортсмена относительно катерав этот момент времени? Длина троса l.Рис. 3.63.13. Определить направление кориолисова ускорения для тела, движущегося по поверхности Земли в северном полушарии.3.14. Автобус A движется по участку шоссе, образующему дугу окружностирадиусом R = 300 м, а автобус B – по прямолинейному участку (рис. 3.7).Кратчайшее расстояние между закругленным и прямолинейным участкамишоссе d = 100 м. Найти величину скорости автобуса B относительно автобуса A в момент когда расстояние между автобусами равно d.

ВеличиныскоростейкаждогоизавтобусовотносительноЗемлиv A = v B = v = 60 км/ч.Рис. 3.7Рис.3.83.15. Автобус A движется по участку шоссе, образующему дугу окружностирадиусом R = 300 м, а автобус B – по прямолинейному участку (рис. 3.8).Продолжение прямолинейного участка проходит через центр дуги. Найтивеличину скорости автобуса B относительно автобуса A в момент когда рас-46§3. Кинематика относительного движениястояние между ними равно d = 200 м. Величины скоростей каждого из автобусов относительно Земли v A = v B = v = 60 км/ч.3.16. Космический корабль, имеющий форму кругового цилиндра, совершает межпланетный перелет с постоянной скоростью.

Он приведен во вращение вокруг продольной оси для создания на бортуискусственной тяжести. При этом "полом" длякосмонавтов является внутренняя поверхностькорпуса корабля (рис. 3.9). Космонавт, стоящийна полу, выпускает из руки небольшой предмет.На каком расстоянии l от ног космонавта, измеренном вдоль пола, этот предмет упадет на пол?Радиус корпуса корабля R, высота, с которой паРис. 3.9дает предмет h.

Влиянием всех небесных тел исилой притяжения предмета к кораблю пренебречь. Сопротивление воздухане учитывать. Угловая скорость вращения корабля постоянна.§4. Динамика материальной точки. Законы Ньютона47§4. Динамика материальной точки. Законы НьютонаКраткие теоретические сведенияВ динамике изучается влияние взаимодействия между телами на ихмеханическое движение. Основная задача динамики состоит в определенииположений тел и их скоростей в произвольный момент времени по известным начальным положениям тел, их начальным скоростям и силам, действующим на тела.Механическое действие одного тела на другое происходит как принепосредственном соприкосновении тел, так и на расстоянии. Оно проявляется как в появлении деформаций у взаимодействующих тел, так и в возникновении у тел ускорений.Важным понятием механики является понятие о свободном (изолированном) теле.

Свободным называется тело, на которое не действуют какие-либо другие тела или поля, или тело, внешние воздействия на котороеуравновешены (скомпенсированы).Первый закон Ньютона постулирует существование особого классасистем отсчета, называемых инерциальными. В этих системах отсчета свободное тело сохраняет состояние покоя или прямолинейного равномерногодвижения. Особое значение инерциальных систем отсчета состоит в том,что в этих системах механические явления описываются наиболее просто.Свободным можно считать тело, достаточно удаленное от другихтел. Для того, чтобы выяснить, в какой степени данную систему можно считать инерциальной, нужно из этой системы наблюдать за свободным телом(например, за уединенной звездой).

Чем ближе к нулю ускорение этого тела, тем с большей точностью можно считать данную систему отсчета инерциальной.Из известных в настоящее время систем отсчета наиболее близка кинерциальной гелиоцентрическая система, связанная с центром Солнца.Для описания многих механических движений в земных условиях инерциальной можно считать систему отсчета, связанную либо с поверхностью48§4. Динамика материальной точки. Законы НьютонаЗемли, либо с ее центром (геоцентрическая система отсчета). При этом пренебрегают ускорением этой системы, связанным с вращательным движением Земли вокруг собственной оси и вокруг Солнца.Системы отсчета, в которых свободное тело не сохраняет скоростьдвижения постоянной, называются неинерциальными. Неинерциальной является любая система отсчета, движущаяся с ускорением относительноинерциальной.Принцип относительности Галилея гласит: при одинаковых начальных условиях любое механическое явление во всех инерциальных системах отсчета протекает одинаково.В инерциальных системах отсчета ускорение тела, а также его деформации, могут быть вызваны только его взаимодействием с другими телами.

Характеристикой действия одного тела на другое является сила. Силой называется векторная физическая величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей. Сила полностью определена, если заданы ее модуль, направление и точка приложения.В задачах механики основную роль играют гравитационные силы(силы тяготения), электромагнитные силы, силы упругости и силы трения.Сравнение сил производится на основании следующего утверждения, являющегося определением равенства сил в механике: две силы, независимоот их природы, считаются равными по модулю и противоположно направленными, если их одновременное действие на тело не меняет его состоянияпокоя или равномерного прямолинейного движения.

Величина силы измеряется по степени деформации специального пробного тела. Таким теломможет служить калиброванная пружина.Если на материальную точку действует несколько сил в разныхнаправлениях, то, как показывает опыт, их действие можно заменить действием одной силы,называемой равнодействующей, величина инаправление которой определяется по правилусложения векторов (рис.

4.1).Свойство свободного тела сохранятьРис. 4.1. Сложение силсостояние покоя или равномерного прямоли-§4. Динамика материальной точки. Законы Ньютона49нейного движения называется инертностью. Скалярная физическая величина, являющаяся мерой инертности тела, называется массой тела. Она служит количественной характеристикой отклика тела на воздействие на негодругих тел. Чем больше масса тела, тем меньшее ускорение приобретает этотело под действием одной и той же силы.Измерение массы тела, т.е. сравнение его массы с эталоном массыосновывается на следующем утверждении, являющемся обобщением многочисленных опытных данных: в инерциальной системе отсчета отношениемасс взаимодействующих тел равно обратному отношению модулей их ускорений.Основой динамики является второй закон Ньютона, согласно которому в инерциальной системе отсчета произведение массы материальнойточки на ее ускорение равно векторной сумме действующих на точку сил:ma = F .(4.1)Вводя понятие импульса материальной точки p = m v , можно записать второй закон Ньютона в ином виде, который в ряде задач оказывается болееудобным:& = F.p(4.2)Из (4.2) следует, что изменение импульса Δp материальной точки за времяΔt, в течение которого сумму сил F можно считать постоянной, равноΔp = FΔt .(4.3)Согласно третьему закону Ньютона при любом взаимодействиидвух тел сила, действующая со стороны одного тела на другое, равна повеличине и противоположна по направлению силе, действующей со стороны второго тела на первое.

Эти силы направлены вдоль прямой, соединяющей точки их приложения, и всегда имеют одну и ту же физическую природу. Третий закон Ньютона утверждает, что силы взаимодействия всегдапоявляются попарно. Если в инерциальной системе отсчета на какое-то тело§4. Динамика материальной точки. Законы Ньютона50являются попарно. Если в инерциальной системе отсчета на какое-то телодействует сила, то обязательно есть какое-то другое тело, на которое первоетело действует с такой же по модулю силой, но направленной в противоположную сторону. Всегда следует помнить, что силы, появляющиеся привзаимодействии тел, приложены к разным телам и поэтому не могут уравновешивать друг друга.

Уравновешиваться могут только силы, приложенные к одному телу.Гравитационные силы подчиняются закону всемирного тяготения,согласно которому две материальные точки массами m1 и m2 притягиваютсядруг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс, обратно пропорциональной квадрату расстояния r между ними и направленной по прямой, соединяющей эти точки:F =Gm1m2r2,(4.4)где G = 6,67 ⋅10 −11 Н·м2/кг2 – гравитационная постоянная.С помощью закона всемирного тяготения может быть вычисленасила притяжения протяженных тел произвольной формы. Для этого нужномысленно разбить оба тела на малые элементы, которые можно считать материальными точками, и найти сумму сил притяжения между каждой паройэлементов, принадлежащих разным телам.Эта задача имеет простое решение, описываемое формулой (4.4), вследующих случаях: 1) если оба тела являются однородными шарами, тогдаm1 и m2 – их массы, r – расстояние между центрами шаров; 2) одно из телявляется однородным шаром, второе – материальной точкой; тогда m1 и m2– их массы, r – расстояние от материальной точки до центра шараСилы упругости возникают при деформации упругого тела и направлены в сторону, противоположную деформации.

Они действуют междусоприкасающимися слоями деформируемого тела, а также в месте контактадеформируемого тела с телом, вызывающим деформацию. При одномерных(линейных) деформациях растяжения или сжатия силы упругости направлены вдоль линии действия внешней силы, т.е. вдоль осей продольно дефор-§4.

Динамика материальной точки. Законы Ньютона51мируемых нитей, витых пружин, стержней и т. п., или перпендикулярноповерхности соприкасающихся тел.Закон Гука устанавливает прямую пропорциональную зависимостьвеличины силы упругости, возникающей при деформации тела, от величины деформации.