С.Ю. Никитин, С.С. Чесноков - Механика, страница 10

Скорость центра масс равна:vc =mv v= .2m 2Начальные скорости частиц в системе центра масс§5. Законы сохранения импульса и энергии77vvu1 = v1 − vc = , u2 = v2 − vc = − .22В этой системе отсчета частицы движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями. Используя законы сохранения импульса и энергии, легкопоказать, что в системе отсчета, связанной с центром масс, частицы послестолкновения имеют такие же по модулю скорости, т.е.u1′ = u1, u2′ = u2 ,(5.41)причем эти скорости направлены вдоль некоторойпрямой, проходящей через центр масс, но повернутойотносительно линии движения частиц до столкновения на некоторый угол (рис.

5.6). Отметим, что равенства (5.41) справедливы в общем случае для частицРис. 5.6произвольной массы.Перейдем теперь вновь в неподвижную систему отсчета. Согласноправилу сложения скоростей, для этого необходимо прибавить к скоростямчастиц после столкновения скорость центра масс:vvv1′ = u1′ + vc = u1′ + , v2′ = u2′ + vc = u2′ + .22Процедуру перехода в неподвижную систему отсчетаиллюстрируетрис.5.7,гдеучтено,чтоu1′ = u2′ = v c = v / 2 . Из рисунка видно, что искомыйугол α опирается на диаметр окружности, тогда каквершина угла лежит на окружности. Следовательно,α = π/2.Рис. 5.7Задание для самостоятельной работы5.6. Найти изменение кинетической энергии ΔΚ и импульса Δp тела, движущегося со скоростью v, при упругом ударе его о стенку, движущуюся втом же направлении равномерно со скоростью u ( u < v ).

Скорость шарикаперпендикулярна стенке.78§5. Законы сохранения импульса и энергии5.7. Клин массой M с углом при основании α покоится на гладкой горизонтальной плоскости (рис. 5.8). На наклоннуюповерхность клина ставят заводной автомобиль массой m и отпускают без начальной скорости, после чего автомобиль начинает движеРис. 5.8ние вверх по клину в плоскости рисунка.

Найти скорость u автомобиля относительно клина в тот момент, когда клинприобретает относительно плоскости скорость v.5.8. Кузнечик сидит на одном из концов соломинки длиной l, покоящейся нагладком полу. С какой минимальной относительно пола скоростью v0 ондолжен прыгнуть, чтобы при приземлении попасть точно на второй конецсоломинки? Масса кузнечика в β раз больше массы соломинки.

Размерамикузнечика и трением между полом и соломинкой пренебречь.5.9. На концах лодки массой M и длиной l находятся два человека массамиm1 и m2. На сколько сместится лодка, если люди поменяются местами ?5.10. Движущаяся частица массой m налетает на покоящуюся частицу массой 3m. После упругого соударения частица массой 3m отлетает под углом45° к линии первоначального движения легкой частицы. Найти угол ϑ, подкоторым отлетает частица массой m.5.11.

Шайба A испытывает упругое соударение одновременно с шайбами Bи C (рис. 5.9). Все три шайбы одинаковы. Первоначальношайба A движется со скоростью v0, а шайбы B и C покоятся. Расстояние между центрами шайб B и C до соударения было в β раз больше диаметра каждой шайбы.Найти скорость шайбы A после соударения. При какомзначении параметра β шайба A отскочит назад, останоРис.5.9вится, будет двигаться вперед?5.12. Вагоны поезда на ходу наполняют углем, падающим вертикально внизиз бункера.

Какова должна быть приложенная к вагону сила тяги F, если внего погружают m = 10 т угля за время t0 = 2 с, и за это время вагон проходит равномерно путь S = 10м? Вычислить работу A, совершенную локомо-§5. Законы сохранения импульса и энергии79тивом за время t0 и сравнить ее с кинетической энергией Κ, которую приобрел погруженный уголь. Трением при движении вагона пренебречь.5.13. Сферическая чашка массой M покоится на гладкой горизонтальнойповерхности (рис. 5.10). По внутренней поверхности чашки из положения A начинает скользитьбез начальной скорости маленькое тело массой m.Какую скорость v будет иметь чашка в тот момент, когда тело достигнет наинизшей точки (поРис. 5.10ложение B)? Радиус чашки равен R.

Трением между всеми поверхностямипренебречь.5.14. Брусок массой m1 соскальзывает без начальной скорости с высоты h понаклонной плоскости. Другой брусок массой m2 движется по этой плоскости от основания вверх с начальной скоростью v0. Бруски начинают движение одновременно. На некоторой высоте бруски сталкиваются, после чегодвижутся как одно тело. Определить скорость v этого тела у основания наклонной плоскости. Трением пренебречь.5.15.

Два шарика массами m1 и m2, покоящиеся на гладкой горизонтальнойплоскости, связаны пружиной длиной l и жесткостью k. Шарику массой m1сообщили скорость v0 в направлении от шарика массой m2 вдоль линии,соединяющей их центры. На какое максимальное расстояние L удалятсяшарики друг от друга?5.16. На гладком горизонтальном столе покоится трубка массой M и длинойL, закрытая с одного торца (рис. 5.11). В открытыйконец трубки влетает маленький шарик массой m соскоростью, направленной вдоль оси трубки. ПослеРис. 5.11упругого удара о закрытый торец трубки шариквылетает наружу. Какой путь S относительно стола пройдет шарик за время,которое он будет находиться внутри трубки? Размером шарика и трениеммежду всеми поверхностями пренебречь.§6.

Релятивистская механика80§6. Релятивистская механикаКраткие теоретические сведенияРелятивистская механика – это механика быстрых частиц, скоростикоторых близки к скорости света. Такие частицы рождаются в ходе ядерныхреакций, они присутствуют в недрах звезд, а также в космических лучах, ихполучают искусственно на ускорителях. Релятивистскую механикуназывают также теорией относительности, подчеркивая тем самымосновополагающую роль принципа относительности в этой теории.Обобщением результатов наблюдения движений тел со скоростями,малыми по сравнению со скоростью света, явился принципотносительности Галилея.

Согласно этому принципу, никакимимеханическими опытами, проведенными внутри данной системы отсчета,нельзя установить, находится ли эта система в состоянии покоя илиравномерного прямолинейного движения. Ему можно придать яснуюматематическую форму: уравнения, выражающие законы механики,должны быть инвариантны относительно преобразований, описывающихпереход от неподвижной системы отсчета к системе, движущейсяпрямолинейно и равномерно.

Такие преобразования получили названиепреобразований Галилея.Рассмотрим две системы отсчета: неподвижную (S) и движущуюся(S').Направлениеискоростьдвиженияподвижнойсистемыотсчета показаны на рис. 6.1. Пустьпри t = 0 начала обеих системРис. 6.1. Неподвижная и движущаясясистемы отсчетаотсчета совпадают. Тогда расстояниеOO ′ между началами систем влюбой момент времени t равно Vt, гдеV – скорость движения подвижнойсистемы отсчета. Если некоторая материальная точка в момент времени tимеет в системе S ′ декартовы координаты x ′, y ′, z ′ , то ее координаты§6. Релятивистская механика81x, y, z в системе S в этот же момент времени в соответствии спреобразованиями Галилея выражаются следующим образом:x = x ′ + V t, y = y ′, z = z ′ .(6.1)Из преобразований Галилея нетрудно вывести связь скоростейматериальной точки относительно неподвижной и движущейся системотсчета.

Дифференцируя уравнения (6.1) по времени, получимv x = v x′ + V , v y = v ′y , v z = v z′(6.2)Формулы (6.2) выражают классический закон сложения скоростей, согласнокоторому абсолютная скорость материальной точки равна сумме ееотносительной скорости и скорости движущейся системы отсчета.Принцип постоянства скорости света. В конце XIX века опытнымпутем было показано, что движение Земли по орбите вокруг Солнца невлияет на скорость света относительно Земли (Майкельсон и Морли, 1887).Этот результат позволил сформулировать следующий принцип,получивший название принципа постоянства скорости света: скорость светане зависит от того, по отношению к какой системе отсчета – покоящейсяили движущейся – она определяется. Иными словами, абсолютная скоростьсвета равна его относительной скорости по отношению к любойинерциальной системе отсчета.

Например, если свет распространяетсявдоль оси OX системы S, показанной на рис. 6.1, то для скоростейволнового фронта световой волны относительно систем S и S' можнозаписатьv x = v x′ = c(6.3)Здесь c = 3 ⋅108 м/с – скорость света в вакууме.Относительность времени. Предположим, что в момент совпаденияначал отсчета подвижной и неподвижной систем (см. рис. 6.1) в этой точкепроисходит вспышка света. Согласно принципу постоянства скорости света,свет будет распространяться с одинаковой скоростью c относительно обеих§6.

Релятивистская механика82систем отсчета. Координата фронта световой волны в неподвижной системеотсчета в момент времени t равна:x = ct .(6.4)Координата фронта той же самой волны относительно движущейся системыотсчета выражается аналогичной формулойx ′ = ct ′ .(6.5)Здесь t ′ – время, отсчитываемое по часам системы отсчета S'.