С.Ю. Никитин, С.С. Чесноков - Механика (1111872), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Подставив V = 0 в уравнение (6.36), находимM =2m1 − v 2 / c2.Заметим, что M > 2m , т.е. в данном процессе масса системы несохраняется. Например, если v = 0,6 c , то M = 2,5m .§6. Релятивистская механика92Задание для самостоятельной работы6.8. Две частицы движутся навстречу друг другу с одинаковыми по модулюскоростями v0. Найти модуль относительной скорости частиц v. Вычислить, c ; v0 = 0,5c ; v0 = 0,9c .v для следующих значений v0: v0 = 016.9. Две частицы движутся с одинаковыми по модулю скоростями v0 вовзаимно перпендикулярных направлениях. Найти модуль относительной, c;скорости частиц v. Вычислить v для следующих значений v0: v0 = 01v0 = 0,5c ; v0 = 0,9c .6.10.
На частицу массой m действует сила F. Каково ускорение частицы a,если ее скорость v = 0,8c , а направление силы перпендикулярнонаправлению скорости?6.11. На частицу, движущуюся со скоростью v = 0,5c , действует сила,направленная под углом α = 45° к вектору скорости. Найти угол β междунаправлениями скорости и ускорения частицы.6.12. Пусть в некоторой системе отсчета S декартовы проекции импульса иэнергия частицы равны, соответственно, px , py , pz и E.
Каковы декартовыпроекции импульса px′ , p′y , pz′ и энергия E ′ этой частицы в системе S',движущейся относительно S как показано на рис. 6.1?6.13. Найти соотношение между энергией E и импульсом p частицы, массакоторой равна нулю. Какова скорость v такой частицы?6.14. Пусть при скорости частицы v0 ее импульс равен p0.
Во сколько раз ηнужно увеличить скорость частицы, чтобы ее импульс стал равным 2p0?Найти значение η для v0 / c = 0,1; 0,5; 0,9.6.15. Частица, движущаяся со скоростью v1 = 0,8c , налетает на покоящуюсячастицу, имеющую такую же массу. В результате столкновения частицыслипаются. Определить скорость v образовавшегося тела.§7. Неинерциальные системы отсчета93§7. Неинерциальные системы отсчетаКраткие теоретические сведенияЛежащие в основе механики законы Ньютона (см.
§4) справедливытолько в инерциальных системах отсчета. Относительно всех инерциальныхсистем данное тело имеет одно и то же ускорение a. Поскольку любая неинерциальная система отсчета движется относительно инерциальной с некоторым ускорением, ускорение тела в неинерциальной системе a ′ отличается от a.
Таким образом, переход в неинерциальную систему отсчета приводит к появлению у тела добавочного ускорения, причиной которого является не действие на него других тел, а движение самой системы отсчета. Вто же время, необходимость такого перехода часто диктуется практическими потребностями решения задач механики в ускоренно движущихся системах отсчета.Для того, чтобы можно было применять в неинерциальных системах уравнения динамики в обычной форме, вводят так называемые силыинерции, действие которых вызывает у тел добавочное ускорение. В соответствии с этим, уравнение движения материальной точки (второй законНьютона) в неинерциальной системе приобретает видma′ = F + Fин .(7.1)Здесь m – масса материальной точки, a ′ – ее ускорение относительно неинерциальной системы отсчета, F – сумма сил, действующих на материальную точку со стороны других тел, Fин – сила инерции, определяемая формулойFин = −m(a − a′) ,(7.2)§7.
Неинерциальные системы отсчета94где a = F / m – ускорение материальной точки в инерциальной системе отсчета.Входящая в определение силы инерции величина (a − a ′) представляет собой разность ускорений одной и той же точки относительно двухсистем отсчета: неподвижной и движущейся. Нахождение этой разностиявляется задачей кинематики относительного движения. Воспользовавшисьформулами, приведенными в §3, получаем:(a − a′) = a п + a к ,(7.3)где aп – переносное ускорение, aк – кориолисово ускорение.
Следовательно,сила инерции может быть представлена в виде суммы двух слагаемых:Fин = Fп + Fк ,(7.4)Fп = −ma п(7.5)где– переносная сила инерции,Fк = − ma к(7.6)– кориолисова сила инерции. Формулы, приведенные в §3, позволяют выразить эти силы через характеристики движения неинерциальной системыотсчета и кинематические характеристики движения точки относительнонеинерциальной системы, а именно,Fп = − ma 0 + mω 2 r⊥′(7.7)Fк = −2m[ω, v ′] .(7.8)и§7. Неинерциальные системы отсчета95Здесь a0 – ускорение начала отсчета неинерциальной системы, ω – угловаяскорость вращения неинерциальной системы, r⊥′ – составляющая радиусвектора материальной точки в неинерциальной системе отсчета, перпендикулярная оси вращения системы, v′ – скорость материальной точки относительно неинерциальной системы.Второе слагаемое в правой части формулы (7.7) носит названиецентробежной силы инерции:Fцб = mω2r⊥′ .(7.9)Центробежная сила направлена от оси вращения неинерциальной системы.Переносная сила инерции образует потенциальное силовое поле.Заметим, что силы инерции отличаются от "обычных" сил (силвзаимодействия между телами) рядом особенностей.
Во-первых силы инерции не инвариантны относительно перехода от одной неинерциальной системы отсчета к другой. Во-вторых, нельзя указать конкретные тела, со стороны которых действуют силы инерции. Иначе говоря, силы инерции неподчиняются третьему закону Ньютона. В остальном это обычные силы,которые способны вызывать ускорения тел, совершать работу, изменятьэнергию и импульс тел, деформировать тела и т.п. Использование сил инерции позволяет решать задачи механики непосредственно по отношению кускоренно движущимся системам отсчета, что часто оказывается значительно проще, чем анализ движения в инерциальной системе.Примеры решения задачПример 7.1. На резиновом жгуте подвешено тело массой m.
Известно, чтопри увеличении длины жгута вдвое по сравнению с его собственной длинойl0 на концах жгута возникает сила f0. Система вращается вокруг вертикальной оси так, что тело движется в горизонтальной плоскости по окружностис угловой скоростью ω.
Найти длину шнура при движении тела и угол, накоторый отклонится шнур от вертикали.§7. Неинерциальные системы отсчета96Решение. Перейдем в неинерциальную систему отсчета, вращающуюся сугловой скоростью ω (рис. 7.1). В этой системе тело m находится в равновесии под действием трех сил:mg + Fцб + T = 0 .(7.10)Здесь через T обозначена сила натяжения шнура,Fцб = mω2 R ′ – центробежная сила инерции. ЗаписываяРис. 7.1соотношение (7.10) в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси, имеемm ω 2 R ′ = T sin α ,(7.11)mg = T cos α .(7.12)Согласно закону Гука, натяжение жгутаT = k (l − l0 ) ,где k – коэффициент жесткости, l – длина жгута в растянутом состоянии.
Поусловию задачи T = f 0 при l = 2l0 . Отсюда k = f 0 / l0 иT =f0(l − l0 ) .l0(7.13)Объединяя (7.11) – (7.13) и учитывая, что R ′ = l sin α , находим ответ:cosα = gf 0 − m ω 2 l0ω 2 l0 f 0,(7.14)⎛ m ω l0⎞l = l0 ⎜⎜+ 1⎟⎟ .2⎝ f 0 − m ω l0 ⎠2§7. Неинерциальные системы отсчета97Пример 7.2. Небольшое тело поместили на вершину полусферы радиусомR. Затем полусфере сообщили постоянное ускорение a0 в горизонтальном направлении (рис.7.2). Пренебрегая трением, найти угол ϑ0 междувертикалью и радиус-вектором, проведеннымиз центра полусферы в точку, где происходитРис.
7.2отрыв тела.Решение. Перейдем в неинерциальную систему отсчета, связанную с полусферой. В этой системе отсчета вплоть до момента отрыва от полусферытело движется под действием трех сил:m&r& = mg + N + Fин ,(7.15)где N – сила реакции со стороны полусферы. Поскольку траектория тела доточки отрыва представляет собой дугу окружности радиусом R,&&rn = − nv2,R(7.16)где n – нормаль к поверхности сферы в точке нахождения тела. Для силыинерции имеем выражениеFин = −ma 0 .(7.17)Проектируя (7.15) на направление нормали n и учитывая (7.16), (7.17), получаем−mv2= − mg cos ϑ + ma0 sin ϑ + N .R(7.18)§7. Неинерциальные системы отсчета98В точке отрыва сила реакции N обращается в нуль.
Из уравнения (7.18) находимv02= g cos ϑ 0 − a0 sin ϑ 0 .R(7.19)Для того чтобы связать скорость тела с углом ϑ, воспользуемся закономизменения энергии тела в неинерциальной системе отсчета:mv2= mgR (1 − cos ϑ) + ΔA ,2(7.20)где ΔA – работа силы инерции. Работа силы инерции на перемещенииdS = R dϑ равна (см. рис. 7.3):dA = Fин dS cos ϑ = ma0 R cos ϑdϑ .ОтсюдаРис. 7.3ϑ∫ΔA = ma0 R cos ϑ dϑ = ma0 R sin ϑ .(7.21)0Используя (7.20) и (7.21), находимv2= g(1 − cos ϑ) + a0 sin ϑ .2R(7.22)Это равенство справедливо и в точке отрыва. Используя формулы (7.19) и(7.22), получаем условие для угла ϑ в точке отрыва:cos ϑ 0 − α sin ϑ 0 −2= 0.3(7.23)§7.
Неинерциальные системы отсчета99Здесь введено обозначениеα=a0.g(7.24)Найдем решение уравнения (7.23). Для этого представим его в виде⎛⎞ 21α1 + α2 ⎜cos ϑ 0 −sin ϑ 0 ⎟ − = 0⎜⎟ 31 + α2⎝ 1 + α2⎠и введем угол ϕ такой, чтоcos ϕ =11+ α2, sin ϕ =α1 + α2.(7.25)Тогдаcos( ϑ 0 + ϕ) =23 1 + α2и, следовательно,⎞⎛2⎟ −ϕ.ϑ 0 = arccos⎜⎜⎟⎝ 3 1 + α2 ⎠С учетом формул (7.25) полученное решение можно представить в видеcos ϑ 0 =2 + α 5 + 9α 23(1 + α 2 ).Пример 7.3. Какую форму следует придать куску проволоки, вращающемуся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω, чтобы надетая на проволоку маленькая бусинка в любой точке проволоки могла находиться вравновесии? Трением бусинки о проволоку пренебречь.§7. Неинерциальные системы отсчета100Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
