Том 1 (З. Флюгге - Задачи по квантовой механике), страница 7

PDF-файл Том 1 (З. Флюгге - Задачи по квантовой механике), страница 7 Квантовая теория (39097): Книга - 6 семестрТом 1 (З. Флюгге - Задачи по квантовой механике) - PDF, страница 7 (39097) - СтудИзба2019-05-11СтудИзба

Описание файла

Файл "Том 1" внутри архива находится в папке "З. Флюгге - Задачи по квантовой механике". PDF-файл из архива "З. Флюгге - Задачи по квантовой механике", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "квантовая теория" из 6 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 7 страницы из PDF

Тогда волновую функцию ф (г, !) = —, 1 ) (й, !) е' !а ™)РА (15.В) (2п) гз,) можно нормировать следующим образом: 1 (' ~зр!'г(зх= "Йй ) ! (й))(ж)е'!"-"'!'ЮА'~ег!'-а!'г(зн,(!59) (2п)з,) где последний интеграл берется по всему пространству, И. Одночастичные задачи без учета спина А. Одномерные задачи Одномерные задачи, будучи в известном смысле чрезмерной идеализацией, тем не менее могут быть использованы для выяснения основных особенностей квантовой механики.

Зти задачи возникают при рассмотрении трехмерного волнового уравнения Дз з о дч — — р'ф+Р(х, 1)$=- — —.— ', 2тн !' дт в котором потенциал зависит от одной-единственной декартовой координаты х. С помощью факторизации „1, н~(а,ач-ь,юю (» (А.2) получаем Решить одномерное волновое уравнение в случае у'= О. Обсудить физический смысл полученных решений. Решение, Волновое уравнение йз д,р йд,р 2щ дк' Т дт (16.1) " " здесь н далее будем обозначать через Ч одномерную волновую фувнцню, удовлетворяющую уравнению (А,4), а через и — ее лространственную часть.

— — — + — (й +й ) ~р+)г(х, 1) ~р — — . —. йз д~,> Ьз з з й АР 2т дк' 2т чг дт Последнее уравнение можно еще более упростить, положив вз ю(х, 1)=е-ььли(», 1), Ьюз=- — (л,з+)сз). (А.З) В результате мы приходим к одномерному волновому уравнению Ьз д'и Ь дв — — — +)т(х, 1) и= — —.—. 2 дхз = дз (А.4) Экспоненциальные множители в формулах (А.2) и (А.З) описывают распространяющиеся перпендикулярно оси х плоские волны, которые не влияют на поведение волновой функции в направлении оси х. Задача 16. Фундаментальные решения в случае свободного движения /Е.

Фундименгаальнмв решения в случае свосюдново двимвния 41 допускает разделение переменных: чр (х, г) = и (х) д (г'), (16.2) так как прн подстановке выражения (И.2) в уравнение (!6.!) получаем ьа и" й й — — — = —.— =Ью, (16.3) 2гаи 1 и где через йло обозначена постоянная разделения. Разбивая (!6.3) на два отдельных уравнения, находим д = — иод, т. е., д (() = е '"', (1 6.4) и (16.

5) и + — и=О ч 2аюз й Если го — действительная величина, то волновая функция будет периодической и (ф!' не будет зависеть от времени (стационар- ное состояние). Если от — положительная величина, то (! 6.6) также положительная величина, поэтому решение (16.5) будет, кроче того, периодической функцией пространственной переменной х. Комплексная форма (16.4) завнснмостн волновой функции от времени составлвет прнмечательную особенность квантовой меканнкн: действнтельнме функции Мп м1 н соз ш1 не являются решепнямн днфференцнального уравпения (16.4). Это столь разительное отлнчне от классической фнзнкн обусловлено тем, что уравненне Шредингера является уравненнем первого порядка по времени. (16.7) (16.8а) имеет вид и (х) = Ае'"'+ Ве-"", поэтому одномерная волновая функция ф(х 1) Ае~ 1ь*-мо -1- Ве ' иллнг1 (16.

86) Физический смысл параметра ш можно выяснить, рассматривая оператор в левой части уравнения (16.1) в качестве оператора Гамильтона, который в данном случае состоит из одного оператора кинетической энергии. Отсюда следует, что величина Е = йю представляет собой кинетическую энергию частицы н, таким образом, должна быть положительна, а наше решение есть собственная функция гамильтониана. Так как й' — положительная постоянная, общее решение уравнения (16.5) или уравнения и" + й'и =- О 42 П. Задачи Еаэ ичеача снина.

А. Однаисрнне эадачи состоит из двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях. У обеих волн фазовая скорость равна о =аз!/г. Физический смысл пространственной части волновой функции (16.8а) станет ясен, если записать в явном виде выражения для плотности (16.9) и для потока (16.!0) Согласно (16.8б), мы имеем р = ~ А !'+. ! В !э.+ (АВчемы+ А*Ве-мэс) э= — (! А!' — ! В!'), Ьэь* Е=— 2т (16.12) поэтому импульс частицы и ее классическая скорость соответственно равны р = ссй (16.

13) и о — — —. вь (16.14) т Последняя совпадает отнюдь не с фазовой о> Е ! ое= — = — = о, !с р 2 Две волны с амплитудами А и В соответствуют, как видно, двум противоположно направленным потокам, интенсивность которых определяется относительными нормировочными постоян- ными волн и пропорциональна й. Выражение для плотности ука- зывает на наличие интерференции двух (когерентных) волн, обу- словливающей пространственную периодичность.

Когда нет особых причин (например, граничных условий) добиваться когерентности, разумно рассматривать каждую волну отдельно, полагая либо В =О, что дает з) О, либо А =О, что дает э<0. В результате получается прямолинейное движение частицы либо в том, либо в другом направлении. Считая, что величина й может быть обоих знаков, можно резюмировать наши результаты следующим образом: чР(х, !)=Се'и — о, Е=йса, й'= —, (! 6.11) р=!С!', з= — )С!'. Исключая аэ, находим !7.

Волновоа пакет в случае свободного движения 43 а с групповой скоростью волны ды дЕ о =- — = — =о. дй др Замечание. Основное дифференциальное уравнение (!б.!) можно рассмат. ривать как уравнение диффуэгги с мнимым ноэффициентом диффузии 0: й 0 — = —, 0=г —. дкэ д! ' 2т' так как разделение переменных играет важную роль в квантовой теории, а не в теории диффузии, то решения, типичные для задач диффузии (с действительным ноэффициентом О), ф(х, !)== 1 !фехр ~ †. ] дт, ! Г ип (х — $)з) Ф не находят применения в квантовом случае. Обраи)гяие времени в уравнении (!6.!) ведет к замене ф на фч. Задача 17.

Волновой пакет в случае свободного движения Построить волновой пакет и исследовать его временную эволюциюю. Решение. Мы начнем с частного решения волнового уравнения, записав его в ранее найденном виде (16.11): чр(lг: х, !) =С(и)ег!а' "гг, ш = — (гз, 2т (1?,!) (17.2) ф(х, !) =- 1 тр(я! х, !) И.

(!7.3) Равенство (17.3) описывает одномерный волновой пакет наиболее общего вида. Чтобы интеграл сходился, амплитуда С(й) должна стремиться к нулю при (и( — оо, по крайней мере как !))г. Всякая выбранная подходящим образом амплитуда С(я) приводит к решению определенного вида. Теперь построим волновой пакет таким образом, чтобы в начальный момент времени (=0 вероятность обнаружить описываемую им частицу заметно отличалась от нуля лишь внутри малой окрестности точки х=О и чтобы частица двигалась с импульсом а С(й) — произвольная постоянная амплитуда. Здесь й — все еще свободный параметр, так что общее решение волнового уравнения записывается в виде любого сходящегося интеграла по й ог вы- ражения (17.1): 44 П.

Задачи без учета енина. А. Одномерные задачи т. е (А)е ==. (17.6) а)ея Выражение (17.4) можно разложить по плоским волнам, используя соотношения (17.3) и (17.1): ч ер (х, О) = ~ С (й) ем" дй (17.6) — Ф Но этот интеграл есть интеграл Фурье, обращая который, полу- чаем С(н)= 2 ) ф(х,0)е "е(х= 2 ) екр ~ 2 е+1(но н)х)е(х Вычисляя последний интеграл с помощью хорошо известной фор- мулы ч )е е е(х — ) и (17.7) окончательно находим С(й)==ехр~ 2 (й — й,)'~ . (17.8) е" 2я Этот результат легко понять, привлекая на помощь соотношение неопределенности Гейзенберга. В начальном состоянии неопределенность координаты частицы, согласно выражению (17.4), имеет порядок Лх ж а. С другой стороны, как показывает выражение (17.8), основной вклад в волновую функцию дает та часть спектра р,=йо. Этого можно добиться, положив зр(х, О)= Аехр ~ — 2 э+(й,х~ .

Действительно, в этом случае плотность р (х, О) / чр (х, О) /е = / А !* ехр ( — — „) отвечает частице, локализованной в области !х/~а, а поток (!6.10) равен з(х, 0)-я~)й(Ч А~'екр 1,— — е) =Р— до~ поэтому величина о, = Ье/т есть скорость частицы, а ре=елое =)ейе— импульс пакета. Так как волновая функция описывает одну частицу, то имеет место условие нормировки ~ р е1х =- 1, /7. Волновой панаев в случае свободного движения 45 волновых чисел /е (или импульсов р=Ь), которая лежит в полосе шириной 7заж!/а (или Лрж74/а) вблизи /г=/е,, Следовательно, независимо от выбора величины а имеет место соотношение /!х Лр Й. (17,9) но это и есть соотношение неопределенности Гейзенберга.

Определив амплитуду С (й) по начальному состоянию при / = О, мы можем теперь перейти к вычислению общего интеграла (1?.3) для любого момента времени: ф (х, /) = = ~ ехр [ — — ав (й — йв) в+ //ех — ! — й* ~ е(/е. )г2 д 1 2 в 2ю Здесь в экспоненте стоит квадратичная форма а, так что этот интеграл снова можно привести к интегралу ошибок (17.7).

Результат имеет вид я — 2/а две+! — авив в в й/ вв 2ае А 4р(х, !)= „,ехр (! ~.! ') еав ) (!7.10) вав (1+! ~',) В этом довольно сложном выражении нетрудно разобраться, снова рассмотрев плотность р и поток в, но теперь уже для любого момента времени /. Плотность в этом случае равна ( ь ) р(х, /) =14р(х, !) )'=- ехр 1А )в Р'+(="Л" (17.11) а'=а ~1+( —,) ~ ж — ! при !=/. Этот эффект легко объяснить, исходя из вида спектральной функции (17.8).

Так как спектр волновых чисел имеет ширину б/4 = 1/а, то скорости отдельных волн разбросаны в области шириной Ьо=(Й(т) /!а=А/ела, поэтому пакет расплывется на величину Лх=Ио=(Ь/та) /, что и было найдено выше. Как функция координаты х она все еще имеет форму колоколообразной кривой, однако максимум ее теперь сдвинут из точки Х==О В тОЧКу Х=(Ыо/ае)/. СЛЕдОВатЕЛЬНО, МаКСИМ)М„цуГа ВОЛН", описываемого выражением (17.10), перемещается со скоростью о,=-аа,/гл (групповая скорость равна скорости частицы). В то же самое время знаменатель в экспоненте (17.11) показывает, что ширина волнового пакета увеличилась от значения а при !=О до значения !1. Задачи без учепса спина. А, Однахернсне задачи Выражение для потока получается из (17.10) с помощью со- отношения !+с —,— х дф .й аейе дх е йс 1+с— спае Непосредственное вычисление после сравнения с формулой (17.11) дает Задача 18.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее