Том 1 (З. Флюгге - Задачи по квантовой механике), страница 7

Тогда волновую функцию ф (г, !) = —, 1 ) (й, !) е' !а ™)РА (15.В) (2п) гз,) можно нормировать следующим образом: 1 (' ~зр!'г(зх= "Йй ) ! (й))(ж)е'!"-"'!'ЮА'~ег!'-а!'г(зн,(!59) (2п)з,) где последний интеграл берется по всему пространству, И. Одночастичные задачи без учета спина А. Одномерные задачи Одномерные задачи, будучи в известном смысле чрезмерной идеализацией, тем не менее могут быть использованы для выяснения основных особенностей квантовой механики.

Зти задачи возникают при рассмотрении трехмерного волнового уравнения Дз з о дч — — р'ф+Р(х, 1)$=- — —.— ', 2тн !' дт в котором потенциал зависит от одной-единственной декартовой координаты х. С помощью факторизации „1, н~(а,ач-ь,юю (» (А.2) получаем Решить одномерное волновое уравнение в случае у'= О. Обсудить физический смысл полученных решений. Решение, Волновое уравнение йз д,р йд,р 2щ дк' Т дт (16.1) " " здесь н далее будем обозначать через Ч одномерную волновую фувнцню, удовлетворяющую уравнению (А,4), а через и — ее лространственную часть.

— — — + — (й +й ) ~р+)г(х, 1) ~р — — . —. йз д~,> Ьз з з й АР 2т дк' 2т чг дт Последнее уравнение можно еще более упростить, положив вз ю(х, 1)=е-ььли(», 1), Ьюз=- — (л,з+)сз). (А.З) В результате мы приходим к одномерному волновому уравнению Ьз д'и Ь дв — — — +)т(х, 1) и= — —.—. 2 дхз = дз (А.4) Экспоненциальные множители в формулах (А.2) и (А.З) описывают распространяющиеся перпендикулярно оси х плоские волны, которые не влияют на поведение волновой функции в направлении оси х. Задача 16. Фундаментальные решения в случае свободного движения /Е.

Фундименгаальнмв решения в случае свосюдново двимвния 41 допускает разделение переменных: чр (х, г) = и (х) д (г'), (16.2) так как прн подстановке выражения (И.2) в уравнение (!6.!) получаем ьа и" й й — — — = —.— =Ью, (16.3) 2гаи 1 и где через йло обозначена постоянная разделения. Разбивая (!6.3) на два отдельных уравнения, находим д = — иод, т. е., д (() = е '"', (1 6.4) и (16.

5) и + — и=О ч 2аюз й Если го — действительная величина, то волновая функция будет периодической и (ф!' не будет зависеть от времени (стационар- ное состояние). Если от — положительная величина, то (! 6.6) также положительная величина, поэтому решение (16.5) будет, кроче того, периодической функцией пространственной переменной х. Комплексная форма (16.4) завнснмостн волновой функции от времени составлвет прнмечательную особенность квантовой меканнкн: действнтельнме функции Мп м1 н соз ш1 не являются решепнямн днфференцнального уравпения (16.4). Это столь разительное отлнчне от классической фнзнкн обусловлено тем, что уравненне Шредингера является уравненнем первого порядка по времени. (16.7) (16.8а) имеет вид и (х) = Ае'"'+ Ве-"", поэтому одномерная волновая функция ф(х 1) Ае~ 1ь*-мо -1- Ве ' иллнг1 (16.

86) Физический смысл параметра ш можно выяснить, рассматривая оператор в левой части уравнения (16.1) в качестве оператора Гамильтона, который в данном случае состоит из одного оператора кинетической энергии. Отсюда следует, что величина Е = йю представляет собой кинетическую энергию частицы н, таким образом, должна быть положительна, а наше решение есть собственная функция гамильтониана. Так как й' — положительная постоянная, общее решение уравнения (16.5) или уравнения и" + й'и =- О 42 П. Задачи Еаэ ичеача снина.

А. Однаисрнне эадачи состоит из двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях. У обеих волн фазовая скорость равна о =аз!/г. Физический смысл пространственной части волновой функции (16.8а) станет ясен, если записать в явном виде выражения для плотности (16.9) и для потока (16.!0) Согласно (16.8б), мы имеем р = ~ А !'+. ! В !э.+ (АВчемы+ А*Ве-мэс) э= — (! А!' — ! В!'), Ьэь* Е=— 2т (16.12) поэтому импульс частицы и ее классическая скорость соответственно равны р = ссй (16.

13) и о — — —. вь (16.14) т Последняя совпадает отнюдь не с фазовой о> Е ! ое= — = — = о, !с р 2 Две волны с амплитудами А и В соответствуют, как видно, двум противоположно направленным потокам, интенсивность которых определяется относительными нормировочными постоян- ными волн и пропорциональна й. Выражение для плотности ука- зывает на наличие интерференции двух (когерентных) волн, обу- словливающей пространственную периодичность.

Когда нет особых причин (например, граничных условий) добиваться когерентности, разумно рассматривать каждую волну отдельно, полагая либо В =О, что дает з) О, либо А =О, что дает э<0. В результате получается прямолинейное движение частицы либо в том, либо в другом направлении. Считая, что величина й может быть обоих знаков, можно резюмировать наши результаты следующим образом: чР(х, !)=Се'и — о, Е=йса, й'= —, (! 6.11) р=!С!', з= — )С!'. Исключая аэ, находим !7.

Волновоа пакет в случае свободного движения 43 а с групповой скоростью волны ды дЕ о =- — = — =о. дй др Замечание. Основное дифференциальное уравнение (!б.!) можно рассмат. ривать как уравнение диффуэгги с мнимым ноэффициентом диффузии 0: й 0 — = —, 0=г —. дкэ д! ' 2т' так как разделение переменных играет важную роль в квантовой теории, а не в теории диффузии, то решения, типичные для задач диффузии (с действительным ноэффициентом О), ф(х, !)== 1 !фехр ~ †. ] дт, ! Г ип (х — $)з) Ф не находят применения в квантовом случае. Обраи)гяие времени в уравнении (!6.!) ведет к замене ф на фч. Задача 17.

Волновой пакет в случае свободного движения Построить волновой пакет и исследовать его временную эволюциюю. Решение. Мы начнем с частного решения волнового уравнения, записав его в ранее найденном виде (16.11): чр(lг: х, !) =С(и)ег!а' "гг, ш = — (гз, 2т (1?,!) (17.2) ф(х, !) =- 1 тр(я! х, !) И.

(!7.3) Равенство (17.3) описывает одномерный волновой пакет наиболее общего вида. Чтобы интеграл сходился, амплитуда С(й) должна стремиться к нулю при (и( — оо, по крайней мере как !))г. Всякая выбранная подходящим образом амплитуда С(я) приводит к решению определенного вида. Теперь построим волновой пакет таким образом, чтобы в начальный момент времени (=0 вероятность обнаружить описываемую им частицу заметно отличалась от нуля лишь внутри малой окрестности точки х=О и чтобы частица двигалась с импульсом а С(й) — произвольная постоянная амплитуда. Здесь й — все еще свободный параметр, так что общее решение волнового уравнения записывается в виде любого сходящегося интеграла по й ог вы- ражения (17.1): 44 П.

Задачи без учета енина. А. Одномерные задачи т. е (А)е ==. (17.6) а)ея Выражение (17.4) можно разложить по плоским волнам, используя соотношения (17.3) и (17.1): ч ер (х, О) = ~ С (й) ем" дй (17.6) — Ф Но этот интеграл есть интеграл Фурье, обращая который, полу- чаем С(н)= 2 ) ф(х,0)е "е(х= 2 ) екр ~ 2 е+1(но н)х)е(х Вычисляя последний интеграл с помощью хорошо известной фор- мулы ч )е е е(х — ) и (17.7) окончательно находим С(й)==ехр~ 2 (й — й,)'~ . (17.8) е" 2я Этот результат легко понять, привлекая на помощь соотношение неопределенности Гейзенберга. В начальном состоянии неопределенность координаты частицы, согласно выражению (17.4), имеет порядок Лх ж а. С другой стороны, как показывает выражение (17.8), основной вклад в волновую функцию дает та часть спектра р,=йо. Этого можно добиться, положив зр(х, О)= Аехр ~ — 2 э+(й,х~ .

Действительно, в этом случае плотность р (х, О) / чр (х, О) /е = / А !* ехр ( — — „) отвечает частице, локализованной в области !х/~а, а поток (!6.10) равен з(х, 0)-я~)й(Ч А~'екр 1,— — е) =Р— до~ поэтому величина о, = Ье/т есть скорость частицы, а ре=елое =)ейе— импульс пакета. Так как волновая функция описывает одну частицу, то имеет место условие нормировки ~ р е1х =- 1, /7. Волновой панаев в случае свободного движения 45 волновых чисел /е (или импульсов р=Ь), которая лежит в полосе шириной 7заж!/а (или Лрж74/а) вблизи /г=/е,, Следовательно, независимо от выбора величины а имеет место соотношение /!х Лр Й. (17,9) но это и есть соотношение неопределенности Гейзенберга.

Определив амплитуду С (й) по начальному состоянию при / = О, мы можем теперь перейти к вычислению общего интеграла (1?.3) для любого момента времени: ф (х, /) = = ~ ехр [ — — ав (й — йв) в+ //ех — ! — й* ~ е(/е. )г2 д 1 2 в 2ю Здесь в экспоненте стоит квадратичная форма а, так что этот интеграл снова можно привести к интегралу ошибок (17.7).

Результат имеет вид я — 2/а две+! — авив в в й/ вв 2ае А 4р(х, !)= „,ехр (! ~.! ') еав ) (!7.10) вав (1+! ~',) В этом довольно сложном выражении нетрудно разобраться, снова рассмотрев плотность р и поток в, но теперь уже для любого момента времени /. Плотность в этом случае равна ( ь ) р(х, /) =14р(х, !) )'=- ехр 1А )в Р'+(="Л" (17.11) а'=а ~1+( —,) ~ ж — ! при !=/. Этот эффект легко объяснить, исходя из вида спектральной функции (17.8).

Так как спектр волновых чисел имеет ширину б/4 = 1/а, то скорости отдельных волн разбросаны в области шириной Ьо=(Й(т) /!а=А/ела, поэтому пакет расплывется на величину Лх=Ио=(Ь/та) /, что и было найдено выше. Как функция координаты х она все еще имеет форму колоколообразной кривой, однако максимум ее теперь сдвинут из точки Х==О В тОЧКу Х=(Ыо/ае)/. СЛЕдОВатЕЛЬНО, МаКСИМ)М„цуГа ВОЛН", описываемого выражением (17.10), перемещается со скоростью о,=-аа,/гл (групповая скорость равна скорости частицы). В то же самое время знаменатель в экспоненте (17.11) показывает, что ширина волнового пакета увеличилась от значения а при !=О до значения !1. Задачи без учепса спина. А, Однахернсне задачи Выражение для потока получается из (17.10) с помощью со- отношения !+с —,— х дф .й аейе дх е йс 1+с— спае Непосредственное вычисление после сравнения с формулой (17.11) дает Задача 18.