Том 1 (З. Флюгге - Задачи по квантовой механике), страница 3
Описание файла
Файл "Том 1" внутри архива находится в папке "З. Флюгге - Задачи по квантовой механике". PDF-файл из архива "З. Флюгге - Задачи по квантовой механике", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "квантовая теория" из 6 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 3 страницы из PDF
Приближение Вентцели — Кражерса — Бриллюэна (ВКБ) 1!5. Разложение эйконала 116. Применение метода ВКБ к радиальному уравнению 313 313 315 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 1ОО 10! !02 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 !14 Изотопический сдвиг границы рентгеновского излучения . Основное состояние мезоатома . Модель дейтрона с центральным взаимодействием Импульсное представление для волновых функций в поле цент- ральных сил Уравнение Шредингера в импульсном представлении в поле центральных сил .
Водородные волновые функции в импульсном пространстве . Штерн-аффект у пространственного ротатора Интерференция падающей и рассеянной волн . Разложение плоской волны по парциальным волнам .. Разложение амплитуды рассеяния по парциальным волнам. Рассеяние при низких энергиях Рассеяние на сферически симметричном прямоугольном потенциальном барьере Аномальное рассеяние . Рассеяние на резонансных уровнях . Вклад состояний с высшими значениями момента количества движения Приближение, не зависящее от формы потенциала.
Низноэнергетическае рассеяние на сферически симметричной прямоугольной яме Ннзкоэнергетическое рассеяние и связанные состояния Дейтронный потенциал с жесткой сердцевиной и без нее Низкоэнергетическае рассеяние при наличии жесткой сердце. вины и без нес Низкознергетическое рассеяние на модифицированном потенциале Пешля — Теллера Радиальное интегральное уравнение Вариационный принцип Швингера Последовательные приближения для фазы рассеяния Уравнение Калоджеро . Линеаризацня уравнения Калоджеро .
Длина рассеяния потенциала, имеющего вид степенной функции Второе приближение к уравнению Калоджеро Длина рассеяния для сферически симметричной прямоугольной потенциальной ямы Длина рассеянии потенциала Юкавы Улучшение сходимости рядов сферических гармоник Интеграл по прицельному расстоянию Борновское рассеяние. Последовательные приближения Рассеяние иа потенциале Юкавы Рассеяние на экспоненциальном потенциале Борковское приближение для рассеяния на сферически снимет. ричном распределении заряда Высокоанергетическое рассеяние на жесткой сфере Формула Резерфорда Разложение кулоновской функции по парциальным волнам Аномальное рассеяние Преобразование Зоммерфельда †Ватсо Полюс Редже 16 Содержолие П7.
Граничное ВКБ-условие Лзнгера П8. Гермонический осциллятор в приближении ВКБ 119. Уровни ВКБ в однородном поле !20. Проблема Кеплера в приближении ВКБ !21. Фазы ВКБ для свободного движения !22. Вычисление фаз ВКБ. 123. Расчет кулоновских фаз методом ВКБ . 124. Квазипотенпизл Е. Магнитное поле .
!25. Введение магнитного поля !26. Плотность тока в присутствии магнитного поля !27. Нормальный аффект Зеемана !28. Парамагнитная и диамагиитная восприимчивости спина 3!6 32! 322 324 326 327 328 331 332 332 334 336 без учета 338 1. Общие принципы Задача 1. Закон сохранения вероятности Вероятностная интерпретация условия нормировки Ьфах= 1.
(1,1) при которой выражение ф'фа'х отождествляется с вероятностью обнаружить рассматриваемую частицу в элементе объема азх, с необходимостью приводит к закону сохранения. Найдите этот закон н обсудите возможную интерпретацию полученного результата с точки зрения классических представлений. Рещение. Искомый закон сохранения должен иметь вид уравнения непрерывности +ашг О, (1.2) где р=ф'Ф (1.3) — плотность вероятности, а в †плотнос тока вероятности. Поскольку р †билинейн форма относительно ф и ф', уравнение (1.2) можно получить лишь в результате комбинации двух уравнений Шредингера А де 3 д~)' нф= — —,.
—, нф = —,—, ! д~' д~ (! .4) (1.6) с одним и тем же гамильтонианом 2 + Ь (1.6) в обоих случаях. Таким образом, получаем ф нф — фнф - — —.—. Ф др Е д1' Согласно (1.2), левая часть этого соотношения должна записы- ваться в виде дивергенции. Действительно, ф нф — рнф = — й(ф я'ж-лт- — йа (ф уф — фут), поэтому можно для вектора г написать а = — (ф'эф — фтч9- Й /. Общие принципы !8 К классической интерпретации полученного результата можно прийти, рассуждая следующим образом.
Если умножить обе величины р и и на массу частицы т, то в результате у нас получатся плотность массы р„и плотность импульса й". р„= тр, й'= тл, (1.7) тогда уравнение непрерывности естественно интерпретировать как закон сохранения массы. Точно так же, умножив на заряд частицы е, придем к плотности заряда р, и к плотности электрического тока /: р, = ер, /'= ел, (1.8) а уравнение (!.2) станет законом сохранения заряда.
Примечательно, что закон сохранения массы и закон сохранения заряда по существу идентичны, так как оба они обусловлены конвекционным током одной и той же частицы. Выраисепне для полного импульса шреднигеровского поля, полученное нз соотношений (!.6) и (1.7), /Э*= ) йт/ех = —. ) (треутр — трутр') г/ех, л г ° с помощью интегрирования по частям второго слагаемого можно привести к виду р= ) тр' — р /тре(ах, (1.9) что находится в согласии с определением (см.
задачу 3) среднего значения оператора импульса (л//) у в квантовом состоянии тр. Задача 2. Вариационный принцип Шредингера Заменить уравнение Шредингера лт 2а р+ (2.1) поэтому выражение для энергии получается путем умножения уравнения (2.1) на туе и последующего интегрирования по всему пространству: Е - ! ф' !„— 2 р'ф+ р(г) ф~ (* . г ° г й.
(2.3) и Зто утверждение верно лишь для состояний дискретного спектра.— Прим. ред. варнационным принципом для энергии. Решение. Всякое решение ф дифференциального уравнения (2.1) удовлетворяет уравнению связи" 1Ф"Ф(ах=1, е. Вариацианныа нринцин Шреаинеера Интегрирование по частям первого члена с учетом формулы Грина дает ~ ф т Чн('х= ф~> уфе(У ~ (рф') Щ) е(ех.
(2,4). Далее нормировочный интеграл (2.2) существует лишь в случае, если решение ф на больших расстояниях г убывает не медленнее, чем г-ч,-е е > О. Но при этом условии поверхностный интеграл в (2.4), взятый пси поверхности бесконечно удаленной сферы, исчезает, поэтому выражение (2.3) можно записать в виде Е ~ ~й — (рф') (рф)+ф'$'(г)ф~ е(ех. (2.5). Это равенство совершенно симметрично по отношению к функциям ф и ф' точно так же, как и условие нормировки (2.2), и мы с таким же успехом могли бы получить его, исходя из уравнения йе — Ь-7'Ф'+1/(г) ф'= ЕФ'.
(2.1ат комплексно сопр яженного уравнению (2.1). Было бы нетрудно показать, что уравнения (2.1) и (2.1а) представляют собой уравнения Эйлера для вариационной задачи об экстремуме интеграла (2.5) при наличии связи (2.2). Мы, однако, не будем пользоваться аппаратом вариационного исчисления, предпочтя ему прямое доказательство.
Пусть фх — решение дифференциального уравнения (2.1), принадлежащее собственному значению Ею Оно дает для интеграла (2.5) значение Ем Заменим теперь фх на близкую функцию фи+ бф, где бф — малая, но произвольная вариация, если не считать условия (2.2), которому функция фи+ бф должна удовлетворять в той же мере, что и фы 1 (ф,'+бф ) ($,+ бф) Рх-1, и, следовательно, ~ (фхбф'+фхбф) еРх+ ~ (бф'бф) Рх = О. (2.5) После подстановки фх-(-бф в интеграл (2.5) получаем для энергии выражение Ех+6Еы где 6Ех=~( — [(Рфх) (~76ф)-+(уфх) (рбф*)1.+$'(фхбф'-(-фхбф)) еРх-(- -1- ~ ~-~ — (Убф') (Рбф)+-1/бфебеР1 еРх. (2.7) В первой строке здесь собраны члены первого, а во второй — второго порядка малости.
С помощью интегрирования по частям, д Общие аринчиоы 20 обратного выполненному ранее, мы можем в первой строке вернуться к выражениям бфЧ'фх и бф'Ч'фы а затем воспользоваться уравнениями (2.Ц и (2.!а) для того, чтобы избавиться от производных. В результате мы, например, получаем ) ~д (Чфх) (Чбф)+Ъфхбф1сРх=Еь~бффхсРх, поэтому первая строка в соотношении (2.7), если учесть равенство (2.8), будет также давать вклад второго порядка малости: 6Ех = ) ( —,„( Ч6~> ('+ (1/ — ЕД ( бф )'] ~рх.
(2.8) Так как у нас не осталось членов, линейных по бф илн бф', то энергия Еы очевидно, будет иметь либо максимум, либо минимум прн бф=О, т. е. для тех фы которые являются решениями уравнения Шредингера. Ответ на вопрос о том, что представляет собой экстремум — максимум или минимум,— зависит от знака выражения (2.8). Чтобы несколько глубже разобраться в этом последнем вопросе, мы воспользуемся совокупностью решений Щ уравнения (2.1) и построим нз них ортогональную систему функций: ) ф„ф,Ух = 6„,.