Том 1 (З. Флюгге - Задачи по квантовой механике), страница 11

8,а. Лля ямы ббльщих 65 25. Прнмоуеольман потенциальнол лма размеров, С = 1,5, кривые на фиг. 7 пересекаются в точке по-прежнему имеется только одно состояние с положительной четностью (фиг. 8,6), причем Еб ( Е, поскольку (на)р ) (аа)„. Если еще увеличить размер ямы, взяв, например, С=2, то пересечение в точке у даст еще более низкое состояние с положительной четностью (Ет( Ев), но, кроме того, к нему добавится а с'=г,гб гб Фиг. 8. Энергетнчесние уровни (а — е) в потенпиальных ямах при различном значении характеристичесного параметра С.

Сплеюяне линии — состояния с положительной четиостью, пунктирное линн» вЂ” со- стояния с отринетельной еетиостью. состояние с отрицательной четностью, соответствующее пересечению в точке сх' (фиг. 8,в). С дальнейшим увеличением размеров ямы ее „вместимость" возрастает (фиг. 8, б — е); число связанных состояний растет линейно с ростом С, образуя чередующиеся серии состояний с положительной и отрицательной четностью. Что касается собственных функций, то они следуют общему правилу: чем больше у них нулей, тем выше их положение на шкале энергий. Волновые функции четырех низших состояний показаны для случая С=5 на фиг.

9. В классической механике частица могла бы колебаться между стенками (точки х=~ а), ограничивающими яму, при любом значении энергии. Вне ямы ее кинетическая энергия была бы отрицательна, поэтому область вне ямы классически недостижима. В квантовой механике мы не имеем такого жесткого ограничения, Вероятность Рг обнаружить частицу внутри ямы оказы- 3 ъ |озо 66 11. Задача бои учаиса саина. А.

Одномерные задача вается меньше единицы: +а йе Рг ~ 1и!'с)х=1 —, йе(~+на) -а Таким образом, имеется конечная вероятность того, что частица находится снаружи, Для всякого конечного интервала вне ямы Фиг. 9. Энергетические уровни и собственные функции лля случая С=5. Спеоюяне линии — состояния С положительной четностью, луянтиряне линии — состоя- ния с отрияетельиой четиостью. вероятность убывает экспоненциально, как е-еннл'-а>, по мере увеличения расстояния (х) — а между частицей и ямой. Задача 26.

Прямоугольная потенциальная яма между двумя бесконечными стенками Найти решения уравнения Шредингера иля потенциала, изображенного на фиг. 10. Особо рассмотреть состояния с положительной энергией в предельном случае 1 — оо. Решение. Начнем с беглого рассмотрения „связанных" состояний, для которых Е < О. Используя прежние обозначения яе, яее и х', определенные посредством (25.2), и условие нормировки ~ ~и!ес)х 1, можем записать волновые функции следующим образом: лб. Потенциальная яма между деумя бесконечными стенками Б7 четные А, совках, 0<х<а, и = А "'у"л'11-') 0<х< 1 ! 5Ь к !! — а) — = — ) йа + з )п йа соз на1 + — 1тстц х (1 — а)— 1 ! сое' йа ! х(! — а) ) А~ х еьех(! — а)! ' (26.)а) нечетные ( А з!пйх, а- = е)п на он х(! — х) ~ А 5Й х 1! — а) ! 1 е!пе)са à — = — (йа — з1п на соз йа)+ — [ А' х 0<х<а, а<х<1, (26.!б) уже позаботились о непре- Здесь, как и ранее в задаче 25, мы рывности а (х) при х = а, но требование непрерывности производной и'(х) в этой точке дает нам дополнительное условие: четные (а 1!а = — — с!)! х (1 — а), (26.2а) нечетные !ада= — — !)) х (! — а), (26.26) и Ф я г.

10. еах(! — х) н!а-к> еьх(! — а) снова возвращаясь, таким образом, к волновым функциям (25.3а) и (25,3б), Гораздо более интересен вопрос о состояниях с положительной энергией. При конечных значениях 1 имеются дискретные собственные значении, образующие по мере роста 1 все более которое и позволяет вычислить собственные значения. Мы не будем, однако, углубляться в дальнейшие детали и лишь заметим, что при х(1 — а)))1 обе гиперболические функции быстро стремятся к единице.

При этом уравнения (26.2а) и (26.2б) переходят в уравнения для собственных значений (25.4а) и (25.4б) предыдущей задачи, а нормировочные соотношения (26.!а) и (26.)б) для !1А~ — в соответствующие соотношения (25.3а) и (25.36). В выражениях же (26. !а) и (26. )б) для самих волновых функций, когда )х~ <1, но х(1 — х)>) !. можно положить 88 П.

Задачи воз учета саима. А. Одномерные задачи плотную систему уровней, которая в предельном случае 1 пп переходит в континуум. Введя вместо Е ) О новую переменную (26.3) мы можем записать волновые функции в виде: четные ! А соз йх, О<х<п, 1 1 соззма Г к(! —.! ), — = — (йа+ з!п йа соз йа1 — — !Гс(н К (1 — а) — .

А' а К Мп'К (! — а)1 ' (26.4а) нечетные А 5!и йх, О<х<а, 1 1 з!аз за Г К (1 — а) — = — ')йа — яп Фа соз йа1 — — [с(и К (1 — а) — . А~ К Мп'К(! — а) ! ' (26.46) Согласно зтим выражениям, функция и(х) уже непрерывна, требование же непрерывности производной и'(х) снова дает условие: четные 1д йа= — „стиК(1 — а), К (26.6а) нечетные 1дйа= — — (н К(1 — а), й (26.6б) и ! 1 —, = — (lга — 81п йа соз йа1 .+ + (1 — а) (яп' да+ —, соз' на) + —, яп йа соз йа. (26. бб) Если 1 — оо, то второй член в зтнх выражениях неограниченно которое позволяет вычислить собственные значения. Используя это условие, мы можем заменить стйК(! — а) во вторых скобках в нормировочных выражениях для 11Ам.

В результате получим —, = — Р!а+ 81п ла спала)+ 1 1 !е у +(1 — а)(соз'йа+ —.,яп*йа~ — —., япйасозйа (26.6а) 26. Потвнниальная яма мвлсду двумя бесконечными стенками 69 возрастает, поэтому —,ж1<соз йа+ —,з!п йа), (26.7) — ж1 з!п' йа+ — созя на) . Амплитуды вне ямы можно, однако, определить непосредственно из (26.4а) и (26.4б) мпяК(! — а) я!ля К(! — а) 1, А~~ савв йа АЯ я!ив на так что при х> а обе волновые функции принимают вид и~ = — з!и К(1 — х). ! р ! (26.8) Здесь величина 1 все еще входит в фазу волновой функции, но ее можно исключить, воспользовавшись снова уравнениями (26.5а) и (26.56), определяющими собственные значения: четные -л-+!я на !я Ка К К1= агс(ц 1и аа — — 1я Ка К (26.9а) нечетные 1Д Ка — — 1И уа К К1 = агс1д ! + — 1а на1Н Ка (26.9б) й ..Гь* ЛЕ = — К вЂ” = — 1,с — Е. т 2! ! 1' 2о| (26.

!0) Таким образом, среднее расстояние между последовательными уровнями растет лишь как Емв н обратно пропорционально длине Наиболее примечательной особенностью этой системы волновых функций являются их энергетические уровни, плотность которых можно определить из уравнений (26.5а) и (26.56) для случая очень больших, но все е!це конечных значений 1. Правые части этих уравнений пробегают всю действительную ось от — оо до оо, когда переменная К1 пробегает интервал шириной и. В каждом таком интервале существует ровно одно решение как у одного, так и у другого уравнения; поэтому мы получаем чередующиеся четные и нечетные уровни, расположенные в среднем на расстоянии ЛК=п/(21) (в шкале переменной К) друг от друга.

Среднее же расстояние между уровнями в энергетической шкале, согласно (26.3), равно 70 1Д Эадачи беа учета енина. А. Одномерном эадачи нормировочного интервала. Следовательно, в пределе 1 — о дискретный энергетический спектр переходит в непрерывный, Поведение амплитуды при переходе к непрерывному спектру для случая й,а= С=2 показано на фиг. 11. Безразмерная величина Ав! представляет собой меру квадрата амплитуды внутри ямы, когда нормировка на всем протяжении вне ямы остается одной и той же, а величина 1 велика. График этой величины в зависимости от (Ка)э, т, е.

в зависимости от энергии в безразмерных единицах, построен с помощью формул (26.7). Ясно, что Четныв Нечетныв иду пу "~О 10 гд гд ВО да Уд уд (ха) — ' Ф и г. 11. Виртуальные состояния в непрерывном спектре. имеется бесконечное число последовательных значений энергии, для которых величина АЧ принимает максимальное значение, равное единице. Между максимумами лежат минимумы амплитуды, выраженные тем слабее, чем выше энергия (обратнте внимание, что нижняя половина оси ординат на фиг. 11 не показана).

При энергиях, соответствующих максимумам амплитуды, рассматриваемые состояния, хотя их энергия положительна, все еще сохраняют некоторые черты связанных состояний, так как в этих состояниях достигается максимально возможная концентрация волновой функции в области, занятой ямой. По этой причине о н1мг часто говорят как о виртуатьных состояниях в противоположность „истинным" связанным состояниям с отрицательной энергией. Задача 27.

Виртуальные уровни Потенциальная „полость" между точками х- 0 и х а ограничена справа, как это показано на фиг. 12, полупроницаемой стенкой (см. задачу 20) так, что между волновыми функциями внутри и вне полости существует лишь слабая связь. Показать, что при большом коэффициенте непроницаемости существуют узкие полосы энергии, для которых упомянутая связь становится довольно сильной. Рассмотреть числовой пример ьва7п = 50. 27. Вирглуальньа уроена Решение.

В данном случае спектр энергии непрерывен и волновые функции, нормированные так, чтобы их амплитуда равнялась единице вне полости, имеют вид з!п(Ах+6), ан х< се. Граничные условия на стенке с конечным коэффициентом непро- ницаемости (а, согласно задаче 20, выглядят следующим образом: и(а+О) = и(а — О), и'(а+О)-и'(а — О)+2ь1и(а). Для функций (27.1) это дает О ' а з1п (ла+ 6) А э1п ла, Ф н г. 12. Потенциальная полость, ограниченная палупроницаемай стенкой.

Этн два соотношения определяют фазовый угол б: с1д (йа + б) — с1д !еа = 2— (27.3) и амплитуду А волновой функции внутри полости: 1 Я ят у;= 1+4 — з!пна созна+4 —, з!п'йи, (27,4) или 1 Я ят —, =1+2 — и!п2на+2 —., (1 — сов 2ла). (27.4а) В случае непроницаемой стенки (ьа — се) амплитуда А обращается в нуль: колебания, имеющиеся снаружи, не могут проникнуть внутрь полости — она оказывается совершенно не связанной с внешним пространством. Однако при больших, но конечных значениях Й допустимо появление малых амплитуд А — л111, Если же значения тригонометрических функций в формуле (27.4) близки к нулю, то не исключено появление даже весьма больших амплитуд.

Пусть произведение йа велико по сравнению с и (на>)2п), тогда полному периоду изменения тригонометрических функций будет соответствовать такой интервал изменения переменной л, в котором отношение Й1н будет оставаться почти постоянным. В таком случае максимальные и минимальные значения величины А' с разумной степенью точности можно найти, дифференцируя выражение (27.4а) по переменной 2на при условии (а/й ° сопз1: д11гАт!1 Я ят д!2йа) ~пта й = 2 — соз 2)еа -+ 2 — з !п 2на = О. лт т2 !1. Задачи вез учета енина.

А. Од»азарт»е задачи Таким образом, имеем 1и 2йа д 42 ' (27. 5) Обозначая решения уравнения (27.5) через й„и полагая »» 77= е„, получаем 2й,а = ии — а гс1ц е„, (27.6) (27.7) где и †цел число, и, следовательно, з!п2й„а ( — 1)"" )' 1+ ее ! соз 2й„а = ( — 1)" )/1+ ей А» )Г~~ еч ей ~ У1-)-ей/ а при нечетных и=1, 3, 5, .4й )/1-1- е,', ей ~, )/1+ еч / Так как е„~!, то последние выражения можно разложить по степеням е„: 4еч 4~, при и=2,4,6, 1 ! ч нй (27.9а) » 1 4 1, 4йч — = —,+2 — 4ейж —, при и=!, 3, 5, ... (27.9б) Ач ей а» Выше отброшены все члены, имеющие порядок ей.