Том 1 (З. Флюгге - Задачи по квантовой механике), страница 6

(12.4) Сразу же после измерения система вместо исходного сосгояния ! т> оказывается в состоянии ( т>. Дальнейшая эволюция системы определяется уравнением Шредингера Й вЂ”,', ~1>=Н(1> и начальным условием ( 0) = ) пс), Здесь и далее !Е> означает вектор состояния в момент времени 1. Так как гамильтониан Н не зависит от времени, то ~ с> е- ссссо и ~ сп> (12,6) Если воспользоваться разложением вектора ~т> по собствен- ным векторам гамильтониана Н, ) сп) = ~~'., ) )с) <р ) и), и учесть, что -си с е-сссс"с ") р> = е и ( р>, то выражение (12.6) нетрудно привести к виду )1> =,е,'е и с Р> <р, (пс>.

(12.7) Аргументация, которая ранее привела нас к соотношенисд (12.4), позволяет теперь заключить, что вероятность вновь обнаружить значение а при повторном измерении в момент времени 1 равна Р' = ) <лс ~ 1> (', (12.8) )3. Криволинейные координаты причем <т!Е>=~~рее и !<т!Р>(*. и (12.9) Задача 13, Криволинейные координаты В уравнении Шредингера для системы точечных масс сделать переход к обобщенным криволинейным координатам. Решение.

Самое главное в этой задаче — преобразовать оператор кинетической энергии »и Т = — — Ф» Т" — —,, ~-'ти дк' где ти имеет одно и то же значение для каждой тройки слагаемых, соответствующих одной частице. Выражение (!3.1) представляет собой квантовомеханический аналог классического вы- ражения )ъ 'в Тво = — ~~ т„хи. 2 2ы и Введем вместо координат х„координаты ~. = антохи, (13.2) (!3.3) тогда ! Т„.= —,~~„. Произведя теперь в $-пространстве с элементом длины (13.4) (зв ~~ ~$» и замену координат а на обобщенные координаты д» и учитывая, что в новых координатах (з» =- ~,~,й!„е)9'е(9», (13.6) » получаем Тио = —,~'~'д„дд».

! (1 3.7) Вернемся к квантовой механике. Выражение (13.1) эквивалентно выражению (13.8) Далее из дифференциальной геометрии известно, что при замене координат ки координатами д' оператор Лапласа преобразуется А Общие принципы к виду а 1 ~я,ч~ ~ д ~) г-~г» д , бг~ 34!' (!3.9) где д †определите метрического тензора яг», а йг㻠†е контравариантные компоненты.

Последние можно найти из соотно- шения йг» Ом Д в котором бг означает алгебраическое дополнение элемента дг» в определителе д. Равенством (13.9) полностью исчерпывается решение нашей задачи, так как теперь оператор кинетической энергии, соответствуюший классическому выражению (13.7), можно записать в виде т=- — — =~ ~; — (Р'да" — ').

(13.11) «ч ! 2 Р; к" °,,Щ г ~ 34» ) ' Вычисление потенциально!3 энергии, разумеется, тривиально. Задача 14. Волновые функции в импульсном представлении Фурье-образ/(й) волновойфункции ф(г) характеризует распределение импульсов в квантовом состоянии ф.

Требуется вывести ингегральное уравнение для (())) с фурье-образом потенциала в качестве ядра. Решение. Между функциями ф (г) и 1(й) имеются два взаимно обратных соотношения " тр (Г) =- (йп) -"г» ~ ег» г ) (й) г(ай 7 ()г) (йя)- гз ~ е-г»еф (г) ггзх Положим далее 1/ (г) = 1 ег» '"тй(И) з'и, (14,3) " Если соотношение (14.1) использовать в качестве определения г (Л) и - г»ье применить к нему операцию ~ е ' ггзх„ то с учетом определения 3-мерной Ь-функции, 1 б!» — Л')= — ( г г»»1' грл, (2п)т 3 в результате, как нетрудно убедиться, получится обратное соотношение (14.2).

Аналогичные соображения использованы ниже при выводе соотношения (14.8). Замечание. Этот метод применим и к тем задачам, в которых ие фигурируют прямоугольные координаты точечных масс. В этом случае он просто связывает классическое выражение (13.7) с оператором (13.!1). Однако указанную связь ни в коем случае нельзя считать тривиальной (см.

замечания к теории симметричного волчка в задаче 48). !е, Волновые функции в импульсном нредсозавлении зт тогда для фурье-образа потенциала будем иметь йг (Га) = (2п) ' ) е- с» У (г) с(зх (14,4) Г!редполагается, что волновая функция ф(г) удовлетворяет уравнению Шредингера — у'1+У (г) Ф = Еф.

й" (14.5) Подставляя сюда вместо тР и У соответственно выражения (14.1) и (!4.3), получаем (2ц) — пз ! ~ есе к)сз~(ь)с(зал ~Дз)с ~ес<»з» ) с Цу (ь) ~(й') с(зь' (А л Е~ ос„) (й, <,зй, В двойном интеграле перейдем от интегрирования по переменной Гв к интегрированию по переменной и" =за +Ф', а затем эту новую переменную вновь обозначим посредством )с.

Интеграл по А обращается в нуль при любом значении г лишь в том случае, когда само подынтегральиое выражение равно нулю, но тогда ( — — Е) ~ (7а) = — ~ ((У (й — )а') ) ()2') с(зй'. (14.6) Это и есть искомое интегральное уравнение с фурье-образом потенциала Гзт (Га — )2') в качестве ядра. Конечно, интегральное уравнение (14.6) можно получить только при условии, что фурье-образ потенциала (14.4) существует; для этого, например, потенциал У(г) должен убывать на больших расстояниях по меньшей мере как г-'-', где е > О. Необходимо отметить, что из условия нормировки 1 ~ зр (г) ~з с(зх = 1 ~ ~ с()»1(з (зв (14,7) следует равенство (14.8) Это можно показать, подставив в (14.7) выражение (14.1) для функции тр: ~ ( зр (г) )3 с(зх — (2п)-з ~ с(зх ~ с(зь ~ ет (»-»з.с Г (ь) ) е (та') дз)с' т' См. в втой связи замечание в конце следующей задачи. Если здесь сначала выполнить интегрирование по с(зх, то мы без труда получим соотношение (14.8) о.

д Общие пр»нциим Задача !5. Пространство импульсов. Периодические и непериодические волновые функции Решение. Обозначим через Е длину периодичности в каждом из направлений х, у, г конфигурационного пространства. Тогда ряд Фурье ф(г, () =Л 'ь ~с»(1) е~(» ™), в =- — й', (15 1) й ° 2т будет содержать лишь такие члены, для которых компоненты каждого из векторов й определяются соотношением й,= — и,, и! — — О, ~1, ~2, ..., (15,2) Это означает, что в й-пространстве при больших значениях Е в элементе объема д»й содержится (»й ( — ')' (15.

3) различных векторов й. Вопрос о нормировке ряда (15.1) можно решить с помощью подходящего выбора коэффициентов с». Запишем интеграл от квадрата модуля волновой функции по объему куба периодич. ности: )ф)'г(»х=Е»~Ч''~."с с ерш- )г ~е'в'-*> г(»х шз) »' Интеграл в правой части этого равенства обращается в нуль, если й'чьй, и равен Ь», если А' =й, поэтому 1 ! ф ~» Дах = Е 1 с»!'. (15,4) пч » Пусть теперь Рс есть вероятность обнаружить частицу внутри куба периодичности 1.», тогда )с»)'Рс будет вероятностью обнаружить частицу в кубе периодичности с импульсом Ь, а ~с»!'— вероятностью обнаружить у частицы импульс йй при условии, что она находится внутри куба периодичности Л».

Переходя к пределу бесконечно больших Т., можно заменить ряд Фурье (15.!) интегралом Фурье по й-пространству. Согласно (15.2) и (15.3), это можно сделать с помощью правила: (15,5) Рассмотрите вопрос о вероятностной интерпретации волновой функции в импульсном пространстве.

Начните с периодической волновой функции ф(г) в конфигурационном пространстве и исследуйте предельный переход к кубу периодичности с бесконечно большим ребром. 15. П рост рансямо иллрлзсоа 39 ~ ег (а'-а! г г(зх (2п)зй (й' й) (15.!0) Поэтому для интеграла (15.9) получаем ~ ~ ф )з г(зх.= ~ ~ г (и, !) !з (зь, (15.11) что, кстати говоря, есть просто преобразование суммы (15.4) в интеграл с помощью правила (15.5) и с учетом соотношения (15.7), Полученный результат означает, что вероятность обнаружить у частицы импульс в пределах элемента г(зй безотносительно к ее местоположению в конфигурационном пространстве равна с(Р с(зй)) (ь 1) )з (15. 12) Замечание. При изменении порядка интегрирования необходимо соблюдать известную осторожность, если 1(й) не является непрерывной функцией л, Пусть, например, 1(й) =(2н)зуз 5(й — й) (15.

! 3) тогда в соответствии с равенством (15.8) имеем ф(г, г)=ег!а' л), (15.14) Интеграл (!5.!1) и интегралы (!5.9) с измененным порядком интегрирования содержали бы в этом случае квадрат б-функцин и были бы совершенно бессмысленными. Если же выполнить интегрирование по конфигурационному пространству в конце, то равенство (!5.9) дает ~ ~ гр!знзх ~ г)зх что находится в согласии с выражением для волновой функции (15.!4). Тогда равенство (15.1) даст ф (Г !) ~ Е (й !) ЕГ(жг-из!С(зв ).*1* Г =(2н)з ~ (15.6) Данный интеграл Фурье представляет ограниченную волновую функцию с не зависящими от 1. значениями в том и только в том случае, если величина ( —,'„)' (й)=ий) (15.7) имеет конечный предел при 1.— сю.