Том 1 (З. Флюгге - Задачи по квантовой механике), страница 10

Задачи без учета енина. А. Юднамернеее задачи так что ожидаемое равенство ! В !'+ ( 1+ Р (' = 1, (22.!0) очевидно, выполняется. Таким образом, проблема нахождения амплитуд рассеяния вперед и назад свелась к отысканию логарифмических производных (22.3) четной и нечетной волновых функций в точке х=а. Разумеется, эту последнюю задачу нельзя решить, пока потенциал (22.1) не задан в явном виде. В противоположность результату задачи 21 равенство В=г" теперь уже не имеет места. Если д ( 7.„— у.

( ) ) (. й + де (, то преобладает рассеяние вперед, в противном случае †рассеяние назад. Задача 23. Отражение от прямоугольного барьера Общую формулу, полученную в задаче 22, применить к потенциальному барьеру вида — 'у'(х) =)е'„) х ) (а и )е=О вне этого интервала. Вычислить коэффициент прохож- дения. Решение. Внутри барьера уравнение Шредингера запишем в виде: и" + (яе — А,') и = О.

(23.2) Оно имеет решения двух типов: для кинетической энергии ниже порога (и < ие) н для кинетической энергии выше порога (й ) )е,). Мы начнем с первого случая. Положим йо (23.3) тогда ич — х'и О. Поэтому для четного и нечетного решений имеем соответственно ие (х) =ей их, ие (0) = 1, и~ (0) =О (23.4а) и и (х) = — зй хх, и (0) О, и' (0) = 1. (23.4б) Следовательно, 1, = аи,' (а)/и„(а) = ха(п ха, (23.5а) Е = аи' (а)/и (а) = ха с(п ха. (23.56) Уг. Отражение ош прямоугольного барьера Для коэффициента прохождения с помощью формулы (22.96) после элементарных преобразований получаем Т=~1+РГ=,), (23.6) ) 1 ( ~~ ) эйг2ка Коэффициент отражения находится с помощью (22.10): Р =! В)а =-1 — Т.

(23.7) В классической механике падающий слева поток целиком отразился бы от барьера и мы имели бы !В/'=-1 и 1!+ Р)'=-О. Согласно же формуле (23.6), это может быть только при условии ха- оо, т. е. только в том случае, когда над энергетическим уровнем частицы возвышается огромная „потенциальная гора". Коэффициент прохождения становится при этом очень малым, хотя и конечным („туннельный эффект" ), и приближенно его можно записать в виде (23.8) аг Порядок величины коэффициента прохождения в основном определяется экспоненциальным множителем. В дальнейшем для показателя экспоненты наин будет получено общее выражение (см.

задачу ) )6) в виде интеграла ч-а 4ка=2 ~ "у — ()г — Е) Их / 2гл йа -г при произвольном потенциале )г(х). Когда кинетическая энергия частицы превышает высоту потенциального барьера, величина х, определенная соотношением (23.3) становится чисто мнимой. Вводя для удобства обозначение К* =/т* — /г, *= — х', (23.9) мы можем теперь вместо (23.6) написать Т=, )ь (23.10) (+ — ь Мп'2)та т, 2й/т / В классической механике при рассматриваемых энергиях должно было бы быть Т =! и Р = О, коэффициент же прохождения, определяемый формулой (23.10), достигает максимального значения Т=! только при 2Ка=лп (и=1, 2, 3, ...).

Между этими максимумами в точках 2Ка = (и+ '/,) и находятся минимумы, которые лежат тел| ближе к значению Т =1, чем л1еньше множитель прн синусе в формуле (23.10), другими словами, чем 60 П. Задачи беэ учета елина. А. Одномерные эадачы больше энергия частицы по отношению к высоте потенциального барьера. Зависимость коэффициента прохождения Т от отношения энергии к высоте барьера (скажем, У) показана на фиг. 5, где ь 0,5 а=0,5 55 г,0 Е/и а=г Задача 24. Инверсия отражения Пусть слева на препятствие в виде потенциального барьера у'(х) > О, расположенного в области О < х < а, падает волна. Показать, что независимо от формы потенциала коэффициент отражения будет иметь то же самое значение и в том случае, когда волна падает на барьер справа.

Решение. Пусть и(х) и и(х) — два независимых действаьтельных решения уравнения Шредингера для обгюсти О < х < и с вронскианом ир — ггь =1. (24. 1) Ф н г. 5. Зависимость коэуфггцггента прохождения Т от отношения энергии к высоте барьера (при Е > У). дзображен график функции Т (Ег(У) для случая 2йеа=-Зп. На фиг. б иллюстрируется поведение волновой функции: на ней изображена зависимость плотности вероятности ~ и ~' от координаты х. По правую сторону от барьера ~ и ~а = =(1+ Е (', т. е. плотность вероятности постоянна, слева же от барьера имеет место интерференция между отраженной и падающей волнами. На фиг.

6 показан случай й' == к'= х!,неа для барьеров различной ширины. Чем шире барьер, тем меньше интенсивность прошедшей волны и тем ярче выражено явление интерференции. а 5 Ф и г. 6. Зависимость плотности вероятности ~гга ( от координаты к для потока частиц, падающих слева на прямоугольный барьер в случае Е < У. Парей вертикальных лнннй отмечена шнркна барьера е. Осцалляцна слева ег барьера обусловлены ггнтерференцней между отраженной н падающей еолна- ык. б! уа, Инверсия осярамвния А =С (о' (а) — (ло(а)], В = — С (и' (а) — ((зи (а) ] . Подставив полученные для А и В выражения в первую пару уравнений (24.3), имеем 1+)г =(р„— (д) С, 1 — Л =(р„— ( ) С, (24.5) где в целях сокращения записи положено р„=- и (0) о' (а) — о (0) и' (а), р„= и (а) о' (0) — о (а) и' (0), о7 = — й (и (0) о (а) — о (0) и (и)], г = — „(и' (0) о' (а) — о' (0) и' (а)]. (24.6) С помощью соотношений (24.5) окончательно получаем )( (Рпа Рап) о (Ч с) (24.7) (Ров+ Рао) ( (и+с) так что коэффициент отражения будет равен ().о !о (Рпа Рао) +(о С) (Роа+Рао) +(а+с) рассмотрим теперь второй случай, когда первоначальная волна падает справа.

Для этого волновую функцию (24.2) достаточно заменить выражением (24.8) Се '"", х<0, ор= Аи(х)+Во(х), 0<х< и, (24,9) е-м(х-Ф+)сева!»-а> х ) и и Через ор мы в этой задаче обозначаем пространственную часть волновой функции, так как символ и уже использован с иной целью. В случае волны, падающей слева, волновая функция имеет вид" ем» ( )7е-!ах х < 0 — Аи (х) + Во (х), 0 < х < а, (24.2) Серн (х-ао х ) и и требование непрерывности ор и тр' в точках х=О и х=а дает 1+И = Аи(0)+ Во(0), й(! — )с) = Аи' (0)+ Во'(0), (24.3) Аи (а) + Во (а) = С, Аи' (и) + Во' (а) = (лС.

С помощью соотношения (24.1) из последней пары уравнений находим 62 г!. Задачи без учета спина. и. Однонернеее задачи Условия непрерывности теперь гласят: 1 + Я =- Аи (а) -1- Вв (а), — й (1 — )7) = А и' (а) + Вв' (а), Аи (0) —; ВВв(0) =С, Аи' (0) + Во' (0) = — ИС. (24.10) Оии имени ту же структуру, что и уравнения (24.3), из которых их можно получить, заменив й на — и и поменяв аргументы а и 0 местами. Это преобразование применительно к соотношениям (24.6) дает Рис Реи Рее Рее Ч с) г г. (24. 1 1) Таким образом, окончательные формулы будут отличаться от формул (24.7) и (24.8) лишь тем, что р,„я р„, поменяются местами.

Так как выражение (24.8) симметрично по отношению к ре, и раи то коэффициент отражения ~В~'=~ВГ (24. 12) будет иметь одно и то же значение для волны, падающей слева, и для волны, падающей справа, Это, однако, не имеет места для амплитуды В. Действительно, равенство (24.7), будучи записано в виде отношения Я=а((1 двух комплексных чисел сс и (з, согласно соотношениям (24.11), преобразуется к виду )7 = — се*8. Задача 25.

Прямоугольная потенциальная яма Найти связанные состояния и соответствующие им собственные значения в случае прямоугольной потенциальной ямы — (l, !х((а, О, )х))а, (25.1) Решение. Результаты двух предыдуших задач позволяют без труда разобраться в поведении состояний с положительной энергией, поэтому достаточно рассмотреть случай отрицательных энергий, соответствующих связанным состояниям. Потенциал инвариаитеп по отношению к инверсии У(х) = У ( — х), так что решения обязаны быть либо четными, либо нечетными (см. задачу 20). Положив В= —— Хе сз (25.2) 2а. Прнноуеольноя нотенциакьнан нма можно записать эти решения в следующем виде: четные А, сов йх, 0<х<а, и,(х) = А сознаен<а-к! х > о и ( — х)=и,(х), ! ! 1 —,= — [на+а!п йа сов на) + — созе !еа; А~~ К (25.3а) нечетные А з)п йх, А знт япен !а-к! = — и (х), ! ! = — ()еа — з! и на сов Йа) + — з1п ь )еа.

ь Х 0<х<а х)а, и (х) (25.5б) и ( — х) ! ~ ~и,!ке(х=!. Требование непрерывности и' в точке х=а дает еще условие: четные — Й з 1п йа = — х сов йа, или (ий = — '„; нечетные исоа йа= — н з!пна, или с(ц й и н (25.46) С помощшо соотношений (25.4) и (25.2) можно упростить выражения для нормировочных постоянных, получая в обоих случаях одно и то же равенство: , =а+ —. (25.5) Чтобы из уравнений (25.4) можно было найти собственные значения, заменим в правых частях этих уравнений величину х в соответствии с выражением (25.2) и введем обозначение С = н,а.

(25.6) Выше амплитуды внутри и вне потенциальной ямы были выбраны таким образом, чтобы функция и (х) оставалась непрерывной в точке х=а. Нормировочная постоянная была определена из условия ба 11. Задачи беэ р ша тина. А. йднамернвм задачи В результате получим четные 1ййа= (25.7а) нечетные 1пйа=— йа )уСх — (йа)а ' При данном потенциале величина С является постоянной, зависящей лищь от размеров ямы (С' 17ах), и уравнения (25.?а) и Ф н г. 7. Графическое решение уравнений <25.7а) и (25.7б).

Н» фигуре покааавы точки пересечения кривых, иаображвющвх правые части ураввеяид прн рваличиых аначеииях параметра С, с таигенсоидоа Гиде. Кривые с положительными ордаиатами относятся к четным состояниям, кривые с отринательиыми ордниатам»вЂ” к нечетным. (2о,7б) дают возможность определить все значения на, а тем самым н все значения энергии Я= — и ~1 — ( — ")'1, реализующиеся в яме данных размеров.

На фиг. 7 1дна, а также правые части уравнений (25.7а) и (25.76) показаны как функции переменной на. Собственные значения находятся как абсциссы точек пересечения двух последних кривых с тангенсоидой. Упомянутые кривые, разумеется, зависят от параметра С, определяемого размерами ямы. Начав, например, со значения С=.1, мы получаем одну точку пересечения, обозначенную буквой а, в четном случае и вообще не получаем ни одного пересечения в нечетном случае. Следовательно, в яме такого размера имеется не более одного связанного состояния с положительной четностью. Эта яма с соответствующим уровнем гюказана на фиг.