Том 1 (З. Флюгге - Задачи по квантовой механике), страница 5

Так как, кроме того, ) (»'+ йе) е(ех = 1, 7, Поееароение врмиошва оаерааора Таким образом, правильной является симметричная комбинация Й = — (хр„+ р„х), (7. 6) обеспечивающая эрмитовость оператора Й. Если перейти к комплексным а, то годным будет любое а вида а = — +1(1, 1 (7. 7) где р — произвольное действительное число. В самом деле, в этом случае Й = — (хр„+ р„х)+(()(р„х — хр ), 1 (7.8) и мы только что показали, что среднее значение первого слагаемого действительно, второе же слагаемое благодаря перестановочиому соотношению (7,1) дает прн усреднении постоянный вклад руо независимо от выбора квантового состояния. Следовательно, это слагаемое не имеет физического смысла и его можно опустить. б. Условие эрмитовости оператора с равным успехом можно определить соотношением <и ( Йо>=<Йи ) о> (7.9а) илн подробнее ) ивй о ивх =- ) (Й и) о е(вх.

(7.9б) Здесь и и о — произвольные комплексные функции, выбор которых ограничивается лишь требованием существования интегралов. Для оператора (7.3) при действительном а это дает —. ~ и* (Г(1 — а) х — +а — 1 е(ох= $ Р Г до д(хо)1 в дх дх $ РГ ди" д(хи*)1 = — —. ) (Г (1 — а) х — + а — 1 о е(вх, дх дх или ) и (хд +ао)~(~х ) (х д +аи ) ое(~х Изменяя здесь порядок слагаемых, получаем -- * х — (и'о) е(вх =- — 2а ) и'о е(вх. дх Взяв теперь интеграл, стоящий слева, по частям, находим — ) и'о е(вх = — 2а ~ и'о йвх.

Это, разумеется, дает наш старый результат (7.5), т. е. а=',~в. !. Общие принципы Задача 8. Дифференцирование оператора Пусть /(р, х) — целая функция операторов р», х». Показать, что из коммутационных правил следуют соотношения д/ дх» хр = [/ х») (8.2) где в целях сокращения введено обозначение [/ а) = — (М вЂ” а/). Решение.

Канонические коммутационные правила задаются формулами [р». рг) =О [х» «е) — О [р» хс[ = 8»с (8.3) Доказательство справедливости соотношений (8.1) и (8.2) распадается на четыре последовательные стадии. 1. Пусть /=-рь тогда д//дх» О и д//др»=бы. Следовательно, соотношения (8.1) и (8.2) принимают вид [р„р [=О, [ро х») =Ьг» и, таким образом, согласуются с формулами (8.3). Аналогично станавливается их справедливость и в случае, когда / - х„ //дх» = 8»о д//др» = О. 2. Пусть соотношения (8.1) и (8,2) справедливы для функций / и я, но тогда в силу линейности оии будут справедливы н для всякой линейной комбинации с,/+с,я с произвольными комплексными числами с, и с,.

3. Будучи справедливыми для функций / и я, вти соотношения справедливы и для их произведения /я. В случае (8.1) зто легко проверить непосредственными вычислениями д ди д/ дх» (/и) / дх»+ дх» и - — — „[/йр — /р а+/ы — р»/и) = — [М р ).

Аналогичные выкладки нетрудно провести и в случае соотношения (8.2). 4. Из предыдущего следует, что рассматриваемые соотношения справедливы для произвольной линейной комбинации произведений, содержащих любое число сомножителей р» и х». Но тем самым оии справедливы для любой целой функции переменных р» и х„, что и требовалось доказать. Р.

Иэманение средних значение со временам равна <А> ~ (чРчАзР 1 зРчАчР) Дт (9.2) Производные волновых функций ф н зр» по времени подчиняются уравнениям Шредингера ф — Нчр „'ре — Нт„р» Й. (9.3) где гамнльтониан Н эрмнтов, так что Н=-Нч. Подставляя (9.3) в равенство (9.2), получаем — „, <А> = — ( ЦнтчРч) АзР— зРвАНчЯ с(т й,) илн в обозначениях функционального анализа —,"„<А>= — „' (<Нф(Ар> — < р~ АН р>). (9.4) Преобразовав первое слагаемое в (9.4) с помощью тождества (см.

(6. 1б) ) <() р ~ р> = < р ~ 1)т р>, имеем <Нф ~ Азр> = <чр ( НтАчр> = <чр ( НАчр>, поэтому равенство (9А) принимает вид — „", <А>= — „' <ф(НА — АН(ф>, (9.6) или короче — <А> = <1Н, А) >. (9.6) Применим соотношение (9.6) в частных случаях Аг хэ и А =р . С учетом соотношений (8.1) и (8.2) это дает — <хэ> =(8 — ), — „<р„>=- — ( — ).

д дН д дН (9.7) Таким образом, средние значения подчиняются каноническим уравнениям классической механики'>. М Во избежание недоразумений следует отметить, что в общем случае — <А>=( — )+<[И, А1>. д дА ° ш (ш) — Прим. рвд. Задача В. Изменение средних значений со временем Пусть <А> — среднее значение не зависящего явно от времени оператора А в состоянии чр, которое меняется с течением времени. Выясните, как меняется <А> со временем.

Что вы можете сказать об изменении средних значений <хэ> и <р„>? Решение. Скорость изменения среднего значения <А>=<,Р(А ~чР>= ~ 1Рч(1) А„Р(1) Дт (9.1) т. Общие »ринци»ы Задача 1О. Картина Шредингера и картина Гейзенберга ЗО и»и =1. (!0,5) Действительно, легко видеть, что <р! р>=<Нр !Нр>=<р !Н»ц) р >, но последнее выражение совпадает с <ф» )»р»> в том и только в том случае, когда выполняется соотношение (10.5). Оператор У можно получить, подставляя (10.3) в уравнение (Ш. 1): — -О =Н'(I, $.

(10.6) Когда при выборе системы координат в гильбертовом прост- ранстве мы пользуемся так называемой картиной Шредингера, операторы р» и д» не зависят от времени, а вектор состояния»р меняется с течением времени согласно уравнению Шредингера — — (=Нр, Й (10.!) где Н (р, а») — гамильтониан рассматриваемой системы. Пусть гамильтониан Н не зависит явно от времени. Покажите, что пе- реход к „вращающейся" в гильбертовом пространстве системе координат, в которой вектор состояния ф остается неподвижным (картина Гейзенбереа), осуществляется с помощью унитарного преобразования Н(1) и что в этой системе операторы р» и а» меняются с течением времени согласно каноническим уравнениям д0 .

дИ Р»= 9» де» ' др» ' (10.2) Решение. Будем писать у всех не зависящих от времени опе- раторов индекс 0 вверху. Пусть далее в момент времени 1=0 обе системы координат, „неподвижная" и „вращающаяся", совпа- дают, тогда любой гейзенберговский оператор (1(1) при 1=0 бу- дет совпадать с соответствующим шредингеровским оператором Ц (О) ()о Шредингеровский и гейзенберговский векторы состояний ~>(() и»р» связаны между собой соотношением р (1) = и (() Р .

(10. 3) Следует заметить, что на выбор начального состояния»р(0)=»р», если не считать условия нормировки, не налагается никаких огра- ничений. В силу условий нормировки <М»р> = 1 и <»р' ! ~р'> = 1, (10.4) оператор У должен быть унитарным, т. е. должно выполняться соотношение гО. Картина Шредингера и картина Гейеендерга где теперь мы предусмотрительно напнсалн Н' вместо Н, поскольку в картине Шредингера в уравнении (10.1) используется оператор, не зависящий от времени.

Дифференциальное уравнение (10.6) с начальным условием У (О) 1 имеет решение — — нг У (Е)г Е (10.7) где под экспонентой следует понимать соответствующий ей с1епенной ряд. Среднее значение любого оператора в любом состоянии ор должно быть одним и тем же, пользуемся лн мы картиной Шредингера или же картиной Гейзенберга: <ор (е) ~ 1)о ! ф (е)>, <фо ! () (е) ~ 1ро> (10.8) Так как <ф(~ !р>=<(7ф!() 1(7ф'>=<Ф (7~(1 (7!Ф > то равенство (10.8) будет выполняться для тех и только для тех 11 (1), которые определяются соотношением а(()=и (()аи(1).

( 10.9) Нелишне отметить, что оператор Н', согласно (10.7), коммутирует с оператором У, так что Н (1) = У~Нов = ИЧЗНо = Н', поэтому он инвариантен по отношению к рассматриваемому преобразованию. Таким образом, нет необходимости вводить различные операторы Н' н Н, что апостериори оправдывает обозначения, принятые нами в уравнении (10.1). Чтобы удостовериться в справедливости канонических уравнений (10.2), рассмотрим производную по времени от оператора (10.9): (1 (7'е()о(7+ (7Щоу (10.10) Из уравнения, сопряженного с уравнением (10.!), + ~'рт =фгН Ф.

(!0.1а) (здесь учтено, что оператор Н эрмитов, Н Нт) мы по аналогии с (10.6) получаем + —,. и й(и Й (10.6а) и, таким образом, можем избавиться от производных в равенстве (10.10): а = — '(Ни а и — и а'Ни) = — '<Ни — ин). (10.11) -Х -Х~ Мы получили важное правило: производная по времени от оператора ое, который сам не зависит явно от времени„равна его Д Общие принципы 32 квантовым скобкам Пуассона с гамильтонианом Н: а=[н, а), (и, а1 = — (на — ан). Правило (10.12), примененное к операторам ра и бз, сразу же дает Замечание. Выше предполагалось, что в картинеШредингера операторы Н н й ие зависят от времени.

Если же такая зависимость имеется, то зто приводит к появлению дополнительной частной производной по времени. Кроме того, весь формализм становится значительно сложнее, так, например, оператор О (т) уже не будет простой зкспонентой из.за появления в ее степенном разложении операторов Н, относящихся к различным моментем времени. Задача 11. Гамильтониан, зависящий от времени Пусть оператор Н из предыдущей задачи зависит явно от времени (например, вследствие действия на систему переменного электрического поля). Требуется найти унитарный оператор У(() ь этом более общем случае. Решение.

В случае гамильтониана Н (р, да; 1) в нашем распоряжении все еще имеется уравнение Шредингера — Тф=няфЯ. $ ° (11.1) Переход н картине Гейзенберга осуществляется теперь с помощью унитарного оператора У (1) ф(1)=(У(1) р, (11.2) который подчиняется диффере'диальному уравнению †,. и (1) = н (() и (() $ .

(11.3) с начальным условием Положим для простоты и(0) =1. (11.4) (11.5) Ра = (н Рз'1, рз = 1Н )а). (10.13) Этим алгебраическим соотношениям можно придать иную форму, если воспользоваться полученными с помощью основных коммутационных правил формулами задачи 8: (10.14) что непосредственно приводит и каноническим уравнениям (10.2). зз !2. Повторна0 иэмерение тогда решением уравнения и=хНи с начальным условием (11.4) будет бесконечный ряд ! ! и(1) = 1+х ) Н (!')Ш'+ х" ) Н (1')Ш' ~ Н(!")Ш" + 0 0 0 ! !' + х' $ Н (!') 0(!' $ Н (!") Ж" $ Н (1"') сИ'"+.... (11.6) а 0 0 В этом легко удостовериться, почленно дифференцируя ряд (11.6): и (!) = хН (1) + х'Н (!) ~ Н (г") (!" + 0 !" +ХЗН(т) 1Н(()(!" 1Н(1")(!" +...= 0 0 ! ! и !!! [ ~ !- 1 о !! ! !!' !- ' 1 о !!'! !!' 1 0 ! Г"! !!' " !- ..

~ = 0 0 0 = хн (!) и Н). Следует заметить, что в этих интегралах ! > (' > !" »... О, так что сомножители Н, взятые в различные моменты времени, образуют упорядоченное во времени произведение, причем сомножители, относящиеся к более поздним моментам времени, всегда стоят перед сомножителями, относящимися к более ранним моментам времени. Задача 12. Повторное измерение Гамильтониан системы Н не зависит от времени, а его собственные векторы !т> принадлежат невырожденным собственным значениям Ьеь!: Н ( т> = !0!0, ( ч>. (12,!) В том же самом гильбертовом пространстве состояний определен оператор А, также обладающий невырожденными собственными значениями: А (л>=-а„1п>. (12.2) Вначале система находится в состоянии ! т>, затем в этой системе производят измерение наблюдаемой А.

Чему равно математическое ожидание наблюдаемой А и какова вероятность обнаружить в результате этого измерения значение наблюдаемой А, равное а„? Пусть в результате измерения наблюдаемой А получено значение а . Чему равна вероятность обнаружить это же значение а, 2 № $050 д Общие лСсинясслис если спустя время 1 произвести повторное измерение наблюдаемой А? Решение. В начальном состоянии математическое ожидание наблюдаемой А равно <т(А(т>. Подставляя сюда разложения )ч)=2.",(п><п)ч> и <ч(=~",<т(п'><п'), л л' получаем <лс(А(ч>= ~ <ч (а'> <п'! А (п> <а(т>. Так как <и' ( А ) и> = а„б„„, то последнее выражение упрощается: <т ! А ! т> =- ~~ а„( <ч ! и> )'. Поэтому вероятность обнаружить в результате первого измерения значение ал равна Р =- ( <т ) т> !'.