Том 1 (З. Флюгге - Задачи по квантовой механике), страница 8

Стоячие волны Частица заключена между двумя непроницаемыми стенками, расположенными в точках х= — — а и х=+ а. (Стенки служат идеализацией сильного отталкивания, испытываемого частицей при приближении к указанным границам.) Найти собственные состояния и обсудить их свойства. Решение. Для стационарных состояний мы имеем е — с — с зр (х, г) = и (х) е (18.1) Пространственная часть волновой функции и(х) удовлетворяет уравнению Шредингера и" +й'и= О, (18.2) где /г'= ~ йе (18.3) и в самом общем случае имеет вид и (х) = Аееех + Ве-ехх (18 А) ьех е (х, 1) = р (х, г) о, (!7.12) Оссюда видно, что для произвольных времен мы отнюдь ие имеем э=ром как это было при (=О, что опять-таки является следствием конечной ширины спектра скоростей.

Для максимума пакета х,=-о,г, и равенство (!7.12) приводит к элементарному соотношению е=ро,. С другой стороны, для х«»х„мы имеем э «» ро„ и это вполне разумно, так как к моменту времени г' до точки х < х, (х ) х„) доходят лишь те части волнового пакета, скорость которых меньше (больше) ое.

В заключение следует упомянуть, что условие нормировки ре(х= 1 выполняется для всех времен, это является выражением закона сохранения вещества. ее. Со!о«чае «о«ни Наличие непроницаемых стенок налагает граничные условия и(а)=0, и( — а)=0, (18.5) что в сочетании с условием нормировки, О ~ ) и (х) )' с(х = 1, (18.6) -а если отвлечься от фазового множителя, выбор которого никогда не регламентируется в квантовой механике, позволяет полностью определить собственные функции. Подставляя выражение (18.4) в соотношения (18.5), получаем для определения А и В систему двух линейных однородных равнений: у Ае'""+Ве !«"=О, Ае !«а) Ве<«е 0 Эта система допускает нетривиальное решение только в том слу- чае, если ее определитель равен нулю: ! е" е "1 ,„;„~=0, или з(п2на=О.

е !"'е!ча~ Условию (18.7) удовлетворяют лишь собственные значения Ф„, определяемые формулой — п=~), ~2, ~~3, ... (18.8) 2и й|«о реп« Е = — "= — и'. 2!а Вта« На основании (18.8) имеем ! — о ЕЕ«аа — Е «!а (18.9) поэтому В = ( — 1)'+'А. Если и — нечетное целое число, то В= А, а нормированные волновые функции равны ! ! и+(х)=-а «созй„х=а «соз — ",, а=~1, *3, ... (18.10а) Если же и — четное целое число, то В= — А, и мы имеем ! и„(х)=-а «з(пй„х=а «з1п —, п=-~2, ~4, .... (18.106) 2а ' Значение й=О, также удовлетворяющее условию (18,7), должно быть исключено как противоречащее условию нормировки (18.6).

Из соотношений (18.3) и (18,8) для собственных значений энер- гии получаем П . Задичи без учета таина. А. Одномерные яидачи 48 Так как функции и„, если отвлечься от несущественного изменения знака в формуле (18.10б), не зависят от знака л, то отрицательные значения п можно не принимать во внимание, поэтому, например, волновые функции четырех иаинизших состояний будут равны ! лх и+=а в соз— ! 2а ' лала Е = —, 8тае ' лх и, =а я з!п,т, Е,=4Е„ (18.1!) ! — Злх и.'=а т соз— 3 2а ' Еа — — 9Е„ а=3, ! — 2лх и-=а я з!ив 4 а Е, =!6Е„ Следует отметить, что собственные функции попеременно то четные (л нечетное), то нечетные (и четное) по отношению к инвер- Ф и г.

!. Первые четыре собственные функции в одномерном вотенциа,тином ягаике с бесконечными стенками. сии с центром в начале координат. Об этом свойстве волновых функций говорят как о четности состояния; в случае симметричной функции мы говорим, что четность положительна, в противном же случае — отрицательна. В принятых обозначениях (и„+, и;) четность состояния отмечается верхними индексами „+" н „-". Первые четыре собственные функции изображены на фнг. 1. Так как пространственные части собственных функций действительны, то результирующий ток вероятности не может существовать ни в одном состоянии. Это является следствием того, что в формуле (!8.4) (вспомните рассуждения, приведенные в задаче 16) ! А (=(В!.

Волны с амплитудами А и В а выражении (18.4) дают противоположные вклады в токи и импульсы. 49 !р. Иолрпроницаемая перегородка Следовательно, собственные функции гамильтониана, принадлежащие дискретным собственным значениям энергии, ие являются собственными функциями оператора импульса Й д р= — —. 1 дк' Действительно, дифференцирование функций (18.10а) и (18,!Об) ведет не к воспроизведению, а к замене синусоидальных решений косинусоидальными.

Среднее же значение импульса можно вычислить по формуле <п(р(п>= — —, ~ м„(л) ~ 14„(х)г(х. -а Для всех состояний этот интеграл исчезает, так как подынтегральное выражение является нечетной функцией х. Таким образом, <а~)т(п>=0 в согласии с обращением в нуль плотности тока вероятности. Задача 19. Полупроницаемая перегородка Дополнительно к условиям предыдущей задачи в точке к=О вводится бесконечно узкая и бесконечно высокая полупроницаемая перегородка. Выяснить влияние перегородки на стационарные состояния. Решение. Полупроницаемую перегородку (фиг.

2), разделяющую всю область на две равные части, можно получить как предельный случай барьера конечной ширины 2е (между точками х= — е и х = — +е) и конечной высоты Рю Для краткости введем обозначения — — = йз, — (Ре — Е) = х'. (19.!) -а О +а Ф н г. '2. Потенциальный ящик с полупроннцаемой перегородкой. Кроме двух граничных условий и(~а) =О, благодаря наличию барьера мы имеем еше четыре граничных условия, так как функции и (х) и и'(х) должны быть непрерывны в точках х = ~в. Удовлетворяя первым двум условиям и беря решение в дейсг- Замечание. В математическом отношении это по существу та же самая задача, что н классическая задача о колебаниях струны.

Единственное разанчне заключается в том, что здесь квадратнчному закону (18.9) следуют собственные значения энергии, там же ему подчиняются собственные частоты. Классическая энергия колебаний не имеет, однако, никакого аналога в квантовом случае, поскольку она завнснт от амплитуды колебаний †последн же может быть нронзвольной, в то время как амплитуда волновой функцнн фнкснрована условием нормировки (1З.б), т. е, тем обстоятельством, что число частиц равно единице.

яо Сн Задачи бее учета енина. А. Однааернь~е эидачи (19.4) х'е = Й (!9.5) оставалась конечной. Величину 1е будем называть козффициентом непроницаемости перегородки, так как с ростом л1 она становится все более непроницаемой. При положительной четности (В=С) соотношение (19.4) после разложения его правой части в ряд дает й сто йа = — (). (19.6а) При отрицательной четности (В = — С) аналогичным путем полу- чаем й сед йа — оа. (19.66) Второй случай проще. Собственные функции обращаются на перегородке в нуль, так что решение имеет вид Ая(пи„(х+а), — а(х(О, и„(х) = . (19.7а) А я! и н„(х — а), О ( х ( а„ 1е„а=ни, п=!, 2, 3 ..., и„( — х) = — и„(х), < А <* = —. 1 внтельной форме, имеем А,я!ой(х+а), — а(х( — е, и =- Ве-""+Се"", — е (х (е, (19.2) Аеяшй(х — а), е 'х(а.

Требование непрерывности при х= ь-е теперь дает и ( — е) = А, я!и й (а — е) =- Вене+ Се-"', (19.3а) и' ( — е) = йА, соя й (а — е) =- х ( — Ве"'+ Се-"'), (19.3б) и (+ е) = А, я(п й (е — а) =- Ве-"'-(- Се"', (19.3в) и' (+ е) =нАесоян (е — а) = х ( — Ве-"'-1-Се"'). (19 Зг) После исключения А, н А, из равенств (19.3а), (19.3б) и (19.3в), (!9,3г) соответственно остаются два соотношения н)е(а — ) = хПеаие ! О д — Сеяна нстдй(а — е) =х и+ Сеяна Из тождественности их левых частей следует равенство правых частей.

Последние же равны в том и только в том случае, если В=- ~ С. При В=-1- С из равенств (19.3а) и (19.3в) следует, что А, = — А„и мы получаем решения с положительной четностью, если же В=- — С, то А,= А„и мы получаем решения с отрица- тельной четностью. Следовательно, как и в предыдущей задаче, стационарные состояния разделяются на два класса, характери- зующиеся различными четностями, Теперь перейдем к пределу е — О, х — ао так, чтобы ке О, но величина 79. Пояупроницаеяая перегородка 51 п=з ) к=4 п=е к=! 7 354 7,886 7,917 7,979 8,097 8,305 8,711 9,425 4,712 4,765 4,816 4,915 5,09! 5,361 5,763 6,283 0 1/4 112 1 2 4 1О 1,571 1,715 1,835 2,023 2,282 2.568 2,866 3,142 10,996 !1,018 11,040 11,085 11,173 11,335 11,704 12,566 14,137 14,155 14,171 14,208 14,276 14,408 14,734 15,708 Полученные таким образом уровни изображены на фиг.

3, гда сплошные линии относятся к состояниям с положительной четностью, а пунктирные — к состояниям с отрицательной. Крайниы слева на фиг. 3 показан случай Й =- О, когда перегородка полностью прозрачна, что соответствует ситуации, обрисованной в задаче 18. Чем непрозрачней становится перегородка, т. е. по мере приближения к правому краю фигуры, тем выше подни- Что же касается уравнения (!9.6а), то оио позволяет определить собственные значения л+ лишь численно. Исключение представ- ляют только два предельных случая: 1) полностью непроницаемая перегородка (Р аа), когда для собственных значений получается тот же результат, что и в слу- чае уравнения (19.6б), т. е.

й+=.ля; 2) полностью проницаемая перегородка (ке = 0), когда й+= 2) Таким образом, при конечном коэффициенте непроницаемости собственное значение )е+ заключено между 7е„и )г„:,, т. е. уровни с положительной и отрицательной четкостями так же, как и в предыдущей задаче, чередуются, Собственные функции можно записать в виде — А з)п а„+ (х+ а), — а < х < О, и+ (х)— ( + А з(п й,', (х — а), 0 < х <+ а, 1 1 (~л — — )я<)г'„а<ля, и=1, 2, 3, ..., (19,7б) и+„( — х) =и„'(х), / А/е= 2ьк+а — Мп 24ко Их значения при х=О конечны, а на графиках имеются изломы. В прилагаемой таблице даны численные значения произведе- ния )г+а, найденные с помощью уравнения (19.6а) для низших состояний при некоторых значениях безразмерного параметра Ра; х о х а ~,хо .~ а а, О:Х Ххх х х одх хо о о х х О » 'о х х д х хха Охх о о х х ххх х о «1 х о.о о.

вэо о' х а ю а ~ х ха + ! а а а о хх оо О ао Оо 'х а 3 х хо .а х э ха а ах о а ха х х х х а х о ха ох аа х а,х ОХО х х а -'% х х са х х о х оо дх Вх о и Д оо Э д о дх $ о а МЦ о а о у оао а о оа а ~ ! а ох о* З х З ЗЕ ОХ лО. Оолупронапоенак перегородка маются уровни с положительной четностью; уровни же с отрицательной четностью остаются на прежнем месте. Это находит отражение и в поведении четных собственных функций. В качестве примера одна такая функция для п — — ! показана на фиг.