Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010), страница 12

для которой 11(О) =- 1. Если же !«к тявить,цзугоеуглови(л (з!, = «. то полу зим ер)вр ' .." ' !'(! '.' ° 6)4 Поставим !Сп(р) задачу !депп>,и)3! Са<>пг.ив> 7( 1!Им)ИСИИЙ и ч>)стпых проиш)одиых первого порядка с А> неизвестными функ- ИИЯМИ: А,(.г,,...лг„)и, г!С(л:о...,т„,и) —.= О. !!.17) )>$<еь л>...,, .г <)ка.>яриы<' юй(г1т5и Г(ь1ьи) и' И1'3я>3исим>>е иеремеииьих и!)И...,т„) -'!(1 искомая)иктор-фуик;(ия: козффици<игы )! Суть:5адя)3!3!и 7<к 1> мя!р!И(ы ( и< и1крыш!ымп з>п )китами: Г Е Ж зядшшяя п< ир< рывиш! вектор-фуикпия.

'!р<оу( тся пай ! и рспп ии< и, у,(ови творяюще< ус.!овию 11! =:: Фя и. -, <))икс!О)овяпияя ! и!«)риоверхиосм и !Окк гряистве и(ремшшых )>1, ..., .$:„;Ф>>(т>,...,т„)ЙЖ' )а;щипая в> кгорф) пк>)ия, О ! висит<.!ыи) Й сохряпяем !Ок жи!и !О)< диогюж<щпя Зп(7пчп 1.д. В!И«>.пште 1яхи пу ие)я>5И<)3)>ых )и рем(ппых (1. !7) в системе ураииший !1.17). В каком случае 71.47) можпо в окр(ство<"ги точки (г',,....т,';)-:.

-; привес!и к иорма.,>ьиой форм< ог!3ос)3!сг!),ио иерем< пиой г„.) ° Вве (ем ( кяляриые и<')авигимые .и Йгм>итси иыг (н р< >щ вши* > д,...., д„и символ 1, =- 7 (з)....,.г„»7).....д,,) =. ):1, ($$....,.Й,)>7, диффсрши(ияльиого ныряя(сипя в (1.17). „),.>я фиксир<шшшой то<ки <):,..... т„! е(<ипол, Е я!5)!Яс>ся лшийиой формой )31!о(иг(дьио дс ., .. д,„ириииманицсй .51<<и)!>1>л>»н». ша'ииия: У. Й 1С >П> *1 !')3<17(кяя гиисриоверх!Иичь - оез о(обых !о и к. оиред(леш!яя урявие!ш(м;!гс .....1'„,) = О и удов и )гн>рян)$!$>)я,г»7)»к>»е7>1»»>и'>( < ков117 177)яви( >иио <Й ! (7, (я, .., ..>„,, ), )) = О. палки)а(' г<я ха!викт>)рп< (иной гис!< мь !1.171. Й1!«)ж(ство !)ск!()Вов (! =- 7(71. ..., д ), У н>в и ! воРЯющпх РЯ!и иствУ «Й $ !'1 ! го ....

г„: ди .... <7„)1)— яи>)я(')ся кои<сох> 1И(к ко. $! ку в)\с("1е с кяж,(ы)1 ')яких> 15('3;. горох! )!ом( ряв< ис! И) ),(ов.и"! воря('! и лн)оой ко.!.!Ип(>ОИ!ый ( му в<'ктор). !)и ия1ывя(тся .!»!>вк»1<!И>е>п>г(с>игам кои>и>ои,. и ш конусом хяряктерп<-псих ких )н)рмя.п Й. Пример 1.21. Ра< яр<к'>ря!и иие и.,и)ских внуковых во,ш в о:(пори (иой покоящсш я гр<,и иногда оиигывян>! <.и лун>ип*й моДельн). !!Усть Р, = совы., Ря — — со>!Я(.

Ц, = О:щвл< ши. >шогпость ни)(( ы и гкоро<-и !нжоши(йся среды. >1:= со)вй хяряктери1ует «' сжимаекик'гь !вя!к(к"и и гоп.>о!)ро!5од(!ос!! < р(„(ы ие 1'н1тываюГсх). ВВь)дом ВОзмущенис'. дйВ:ьсния 1)(сг. 1) и скОрость 17(х. 1) возмущенной среды: будем считать возмущения я!азы,ин и распространяющикшся вдоль оси Ог. Такие акустичсскис вол- ш! можнО Описй! ь систс)мОй урйВ)иьний (1' = 71 = 2) 1 с, .1- — р, =О. Р! Р, +Рь)а-ь), = О (1 з19) 1 Введем вектор-столбец п = (с1(хд),р(х.!)) и запишем (1.48) (1.49) в магри !ьсой форме: п, + р„п„==0 (1' ) Задача Коши: нри 1 > 0 найти решение системы (1А8), (1.49). удовлетворяюпьее начал, ному условшо е(:г, 0) == Фа,(х).

р(:г, 0) == = Фс, (х)., — 'ю ( х ~ +Ос. Найдем характеристики системы (1.50). Нусть кривая на нлоскОс1'и Охг !адана ус:1ОВНЯыи ы(х, 1):=- О..э„+«.', ~0; 1 ь(1 О) 0 11ос(~ ы) + РВ ' (о Р„а) 0 1 .;, ~ = О хйрактеристичс сксю уравнс",ние. Оно означает 11е1 Рс! 1 = ы'; — ас ); = О. т.е.

), — 7)ьэ,. = 0 2,, Рса 1.3.3. Теорема Ковалевской Можно ли утверждать, что в слу иич ко! дй Гннерповерхпость ",, нс яг)л)ьсп!Ся хоракюаср ис )гыско!1. решение задачи Ко!Ни в окрос тности ", существует и е,ншс Твенно? Псок)жнтесн,ный ответ на зтс)т 56 и ы, + 1).э,. = 0 — уравнсння двьх ссмс!к"!В харьнс!срис!Нк. Как отме ьалос)ч зто семейства:г+ а1 =- соььв1 и х — 711 = сопя!. Если (1А8) продиффсршщировйгь по х. а, (1.4Ж но й,. то можно искл!очить из уравненийл 7 „и получить для р(:г. 1) уравнение малых свободных ко:нбаннй Р,с —— — а)Р,,„. ХЙРйктеР)летии!л зтОГО урйВнс)ния ВТОРОГО ИОря;1кй сош1йдают с' харйктс1эис1икйми системы (1,48), (1.49). ° вопрос цри выполнении досю:нппельных требовйний дает теореый Ковйленской.

Этл! '!с*орех!с! с'сц)йве;сливй для сне)пслсм в нОЭ)- снс!.сь)сей фо1).)сс) Л:дис))фсренцийлысых урсппсени)Й и нгсчных производных:нобосо порядка ш > 1 с' 1 неизвестными функциями (урйвпс пня могут быть нелиш Йпыми). Сформулируел! ее для с)диого сси)пь урссвнс)ния (1.38) второго поря скй: этй форму.!ироний сн'ре,сйс !' емьнс! теор!во !. 11йпомпим, что сг,ш точка (с,'......г,",)е "; )сс сарпктериснсн сескав. то (1.38) можно рсс),сеян!!'ь сш коэффиппесп црп и,, ЭЭ (...) и, =- )У(...) =,, ' . (1.51) с,)(,",,...,':„".

„....,,. ) Урйвненне (1.38) мы записали, выполняя невырожденнук) зймену незйвигцмых перемс'нных в уравнении (1.35). Не измешпси .,ш от этого свойство сочки (г",.....л",,') быть или не бысь харйктерис"! пчс)скосйу Утверждение 1.1. Хйрсссстерисгтнкй "; уравнения (1.35) инвариантна относите.сьно пимены пн)йвпс имых перемешсых. Эсо о)нй'сйе!' с'ндунянсс: сели функция ы(х!...., х„) удовгнтворяет хч)йксерис:)и сс)с)сох!1 урйвнсни)о сЭ(к!, ..., т„,; .~),, ,,):=. О, и в новых переменных имеет ви,! ))(гс, ..., 8,„), то функпия ы, удовлетворяет уравнению, хйрактеристичсскому .сля уравнения (1.35), зйписсшного в переменшах ч~!..... ~,„.

Если (" :г",,....з:,",) была цехйрйктс ригтн и"ской то ской, то нри замене !и рсмс нн! сх э со с е с нойс ! во сн н нн ни. !ось. Исхс))псос) 1 рйвненсн) (1.35)) сй)иводнгпя в ок1н спсоспс этой точки сс вид) (1.о1), ! дс" ,)сс нс содержит произво;шых но 8„, порядка выше первого: с)" д'и Л'=.')' ~,.....(,„,и..... —...., о + 3 ( 2. о < 1.

! =- 1, ..., д, д, ~ п — 1.(1.51) урйвнение в нормальной форме. Примаеры 1.22. 11олновое уравнение, уравнение Пуассона и уршпнчше тепло! !роно;и юсти можно зйппс йть в нормальной форме относи гельно каждой переменной сй Й, = в пространстве сЭ)л)в. Во:шовое урйвнесплс) обычно )йппсывшо! в нормйльной форме оз носительно Й ° Бу им с'ситйгь. сто:)йдй сй Коши и)нйчй.сьно поставлена в пере)н)нных г о ..,. ~„.!.и! с равнения в норхсйзсьной форме (1,51) ( ). Ф,. Ф, сразу заданы в этих перс менных). Основное (и огршси- 57 чи<т!.<ыше!) нред<шлож<эни<> т<орсх<ы 'гкиийд<искон йнй,<и>пинос! ь функций! >. Ф„.

Фе У и решс>и<л о но ясом их аргун< и<ах<, <1>ункаи>! <<>(и!...., яе) на >ыщчется анялити и<кой и точке (х!'.....,<,",). «ли и иск<норой окр< стности этой то <ки она предс<анляется я иидс равномерно <ходяп<егося стен<'п<н>го ряда: «;(э<,...,й,)=- — г„(й, --,') ...(й<г --э,",)'. ь- -., и Теорема 1.4 (теорема Ковалевской).

1'ели и некоторой окрсспюсти и< хярйктсристи и>< кой >п>чки гинерпош>рхностн -, функ<щн з Фа. Ф,. й<апа.пгы<чны г<о всем < поим яргумшп ам. то най,н>тся окрестность этой <очки. н которой сущш тау< г алади>и <еское решспи<;>ада <и Еошп (1.6>1). (1.36), едипстпсппос н кл<н «, йпйяи<и к < ких ф>нкций н,. ° Задачи 1.~. Сформу, п<руйт< теорему Коиялеиской для прнпедсппого к нормальной форме уран<ишь! (1.42): для приведенной к нормальной фо1>к|е системы (1. 17). ° Замечание 1. Ц.

Теорема Копил< вской усгю<авлинает сущестионапп< и единственность ренн ния <апачи (1.5)), (1,36) <е <полоз<>с пи>нь в и< кото)и>Й до< тйтошо мйлой окр«<нос<и и<- характеристической ппнрпонерхно<ти ",. Обь! п<о ж< на< ингересует вопрос о сущ«тяонании н единственности ренн ш<я и наперед заданной области «и целом.. В Задачи для самостоятельного решения 1. Пусть с произвольная йо< гошшая, а функция 12(.г.

1) удоилетпор>н ч ура<ни <Впо <<< .— ><,, П1>ой< рь < и, яи. <я<О<та ли и:к' <ч<ощи<' с<южньи функции 11,(«, 1) также его решениями: 12)(г, 1! = 1'(!'. <х»), Ь (х, 1) = 1:(:<< 1 — <')„»>,6<, 1) =. 11(сг. <: »)„ 12! (х, ») =- ехр( — сх + с 1) 1'( х — 2 < 1., 1) . 1'>(с, 1) =- (1 Е 4<1) ' >< хр( — газ< (1 -! 4 <1)) 12(>> (1 т Йс»)., 1 (1 т йс»)). 1 Покажи<с. гго функция 1/(г 1) = ехр(,<>»»(11)) яи<ьи >ся р<- Л» ш<нием укаэанного уряин<'ния (1 ) О). э Р< н<ит«' и<я<оси<ну<О за<я<у дь! уран<няня и« = га, й - 1.