Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010), страница 13

'>8 2. Бай.ште общий вид решения уравпш(ня и, .---. Н,„которое завися ! только от т — с1 (г = сопя!): 11(гв 1) —.= И(.ээ — сВ (няй пгге функцию о (пой н(йк'мышой Г'Г. 3. Выно.шив замену независимых исремш)иых в кырвяв нин дзн! шн раго(эк „'Ганласк в;и кяртовой системе коор,(ипат Отд пя нлогкости. п(пункте (гго ньцэяжсние в полярной систсмг коор,ипшт.

4. ВЫНО)и)ив 'звм('и(' и('заВнеимых и('Гя'и('нных к 55ьц)ажсиии .(ля оператора, Гаплагя в декартовой сне)смс коор,(ннаг Охй в простршн тке. 5(олупп е (шо кыражшпв: к сфсри вской (ншс ме координат. б. Однородньш стсржеш (13-= (() < .г < 1), (! — гоик1. р — —. гоньи « = и'(х' : соив)) имеет гтациопарную темпера суру и!Х,1) ... — ~ — ..г . И' = «(,1 Дж сопя! > О, (И'1 —,. Во все моменты времени вреэ оба конца с гм- ( гержня снаружи «пкпн таеэся» теп ил к кну грь лерка(я г постоя)шой п,юзностьк) тен:в)жпо потока И'.

Воковкя пошрхиосп с")ержия ген.н)нзолирошиш. Най(,нпе расирсд(ин нис но!.Нл и ге.н)й г( плоты к (' гРГ))гмвь и() 6. Стационарная температура и(г, -.1)». — г- ьш р ((М = гоня!) 3 (щноро !ной нзв)ской круглой пластины (О = (!) < ! < ги, 6 <,р < '2в).

сс,р полярные коор (инать!) Но )у в ня шланнем на ес ! рапипе вс) асс иа,л г моменты вр( меии темпера гуры и();е„:.1) = — );; к)п р и лсйствпс и н('- 3 го пшков (или и(н,)отпт«)н й ! теплоты в пластине. Няй;сите их распрс.и. Н)НИС ПО НЛЖ"! ИПС. 7. Пусть функция /'о«шой независимой пер( мешв)й двкж)(ы непр(*- Вы юв) Зик)э()я(кнци()) Рмк. ГГ(юВРГ)ьтР, '! го ф» нкцни 1.

(т. 1) = )с(г — О1) и (:,((с, 1) =. /(.г )- а1,' удогшетворюот во,пэокехг, ) равнепшо и, (х, 1)— — и и„!.!. 1) с, 1 ! н (. Иле('кн(' волны. б('г»'(шв' я со)и, осн О)' к ИГ)ос ! ран гтве От««в) . 8. ((усть фзнкция /одной )и'Закш имой )НГэеменпой;ншж сы иепр(- Г.( ).

Г)ьи)НОДифф((И!щи())(х(а, ГГГ)(Н5( Г)ьте. 'по фуикции ( ! (г.1) = /!1 с! ( !) и 1; (!.1) =- — / 1 ! — )П(ов вшворякл во.шокому урввншшк) и«(!.1) = т и, » ( з ди(),1)1 з Г д' =- а, —,— 5- = и- —, (эи(гз1)) (1:,с и 1) . сфсРи некие жвшы ) — (35~ д, ~- ггд)- а:)г ~~„-'+,' (. 9. В эйлеровых или в лшранжсвых переменных было вьпюдено уравнение тецлопроводности'? Уравнения поперечных колебашлй струны и мембраны? ,! ! 10. Проверьте, что функпия лг(г) =- ~ (?г, удовлеплоряе! 1 (?, ( (?и) урннневик! (х(г(г) — 1л(г(г) == — — (г — ~ — 1лг =- О, г ) О (а!уча!! цспгральг(й (у ной симметрии ни п.чо('кос ! и) .

11. Пусть г произвольная постоянная, и функция (г(». () улов»(отворяет урнвнснию и, + ии,, ил„, = О. Покажите. что слслуюгпие глогкные функции Г!(х! () также являются «го репгешшми: (?г(х.?) =- Г(г — с. (). 1,',[», 1) = (?(», ( -- г)., бг,(х.

() = Г(» — (. () т:. ?Уг(х. 0 = — . '1'( е "'() (эт(л список далеко пс полон!. В задачах 12 . 21 найдите области на плоскости Оху, в которых у)эввгшии( (охрвпя(гт тин. Уквжит! тип уравнения в каждой такой области и приве;оп с е! о к канани и'ской форме. 12. уи„+ хи,„.= О. 13. хи„-(- уи„„= О. 15. хли,, — уги„„=- О. 16. хггг„э. у!лло = О. 17.

~ли„+ хглл!г! = О. 18. уги! + 2»уи„, э »гав,, = О. 19. »ли„., '2»Уи„, 4- Улин —— . О. 20. ггл, + 2 по + и,„, + иэ + и, + и = О. 21. и„, — 2ии + и,„, + би,, — 2и! + и =-. О. 22. Определите тип уравнения и„-(- 2ио — 2и,, + 2и„„-(- би,. = О. 23. Пусть нсе коэф(рицп(*нты линейного уравнения аци„, + 2а„и + ах!и„„+ ?ли + с,и, + ели„, '?(х, у) = 0 постоянны. После приведения к капоничс(кой форме выполните !ах(сну вш!"цк«плей функции: и(»! у) '= е ' г(». гу), г и' о и 3 гры. Как пало выбрать ц и Л, чтобы в канонической форме уравнения ,(ля новой функции и исчез.,ш первые пр(пшвоцпьн (Лля уривцсшш пшербогпнлсско! о или эллинги !еского тшш)'! Как нвдо выбрать о и 3!.

чтобы в канани !вской форме урввпенгш пс изла одна и.! первых прои(плодцых и свин! и«комая функция (для уравнений (ирвболичес кого типа ) '? 24. Нвйлите цеобхолимое и досгвточпое услошн «ущесгвовапия дважды непрерывно лифференцпруемого решения зв,(а ш Коши: и„=- 60 1(.г. дз). и(0. д', =- Фз(д), и,(О. у) =- зд (д). Ес,ш решение сшпсствуег, го булет лн оно сдинстззсзннызз? 25.

Проверьте, что задача Коши хи, -'; ди, .= 2ху, и( г =-.си в области г '. О, у > О и)нет решения и(г.д) == .гу ч- д~ — ~, где д —. произвольная (у) .!. и! )зрерывно зпзффсзрс нцируеззая функция. д.зя которой д(1) =- О. Най- .ште характеристики, 26. Найдите е;ппютвенное решение .шда ш Коши хи, -г уиз =- О. , =- у'-'. 27.

Имеет ли действительные характеристики система уравнений (и, =-- г, Кои!и Римана и, =.— и, з (окажзюс, зто кыкдая згз дззажды ншц)срывно ззис))фззрепцирз Рмых фз нкцзсй и(х, д), зз(х, д), у говд!.тверяк)шнх втой системе. яв:зяс"зсз! решением уравнения Лаплас!а.

28. Пусть по протянутому вдоль оси Озг проводу пропускается злек- гри !вский ток. Сила тока ! =- з(з. 1). напряжение г = и(х, 1) в точке х в момент времени !. Провод характеризуется рш считанными ца единицу .с.зины погонным с!опрогивззсзнисм В = сопя!,. погонной! нндхкзнвностыо б =- сопя!. поз опной емкостью С = созж! и погонным коэффициент)! потерь С =- сонь! (вели ппш потер), через неидеальную изоля цшо боко- вой поверхности провода в точке .т пропорциональна напряжению в »ой то зке), 13 пре пюложшпш жилью ъаиебашии не ш шп ! и ! вывсдиге сзззсгпсиззсз зпслеград)ззьзх: уравнений ! -!- Сс, д Си =- О.

и, +1), -. 'В)=0. зриблпжс сшо оп!«! зван)псз зо расс!рос транс пис з ««трама! пи ! ных ! непаловв в про)золе, Най.гите характеристики чтой снег!мы зрзззнспий, Какова скорость рагпространепзш спппзла вдоль провода в такой мо.кс си. Докажите, что д:оз каждой из фуикпий ! = з(х. 1), и =. и(х. !). уловлетворяк)пшх систелзе теле! рафных уравнений, )зьшолнено уравне- 1 (1? С) ЯС ние вида и;и =- — и'„— ~ — -с- — ~и, — — и. '1го означает пре,гполобс" ~Л С!' 1С ' .кение ЕМ = 0 и С = 0 с го зкп зрения распространения во.ш по проводу" .Выполз!иге в посс«днем уравнении замену переменных и 1 11з(г )1)=е)' с и(хз) ~=-г"- 1 з!=-т-- ЛС' ' ЛС' Глава 2 ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМИ И КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ )й!й ш О)н)хождешп( копкр()тпого !хин(ш)1 урй))и(п)1)! й ш(тпых пр(пшводпых мож("г бьггь огмьнлеш(ой (олько (г,ш сформу, И!рованы Лополпительпые уе, вошли и определ(по.

!то п(вима гь под ее решением. Ест(гт)5()иио требовать, иобы,ши входных данных из зяраиег оговореипого клй(еа решение )адя ш гущ(- ('ТВОВялО. былО ()лине'и)еииым и мало и )м('.И))лось при мйлОм И (М( ИШ(ИП ВХОДНОЙ ИпфОРМВПИИ. !) .Санной главе ра(тмотрены мйтемятпч('гкие формулировки прост(йших зя;(й (дли уряшн иии геплопроводпогти, ляпы опр(- .нун'ппи их !х'п(щ!ип и иву (еп( 1 ООИОВВЫ1" СВОЙ("!!)й йи!х )йдй'1. Формулы, г помощью которых можно строить р(.пн пии.

гребуьот матемятичегко( о обогповйпии в еоо ин те! вип е прилитым опред(- ,Н'ПИ(М Р()ПНИ!И!1 ВЯ'1й'!И..)Д((5! Дй(5(ГВ '1йКО(' ООО(ПО(5ЯПИЕ ПРИ лок шатель(тве т(орем о еущ(етвоюшип класси неких ре(ш ппй начально-краевой задачи и )а.(й(и Коши. )1( во в((ех глу пгих ХН)ЖЕТ ГУИН;Е1В()ВЯ!Ь РШПЕПИ(, КОТОРО( П!НП(ИГО Нй)Ь(ВйТЬ К.!йг('и'и'.гким; ТО1'дй ий,(О и:5м('пить гмыел, В кОт(цгом е)нь!Ие! ИОнима(и 1и !пение Вй;1йчи. 2.1.

Математические модели процессов распространения теплоты. Постановки задач для уравнения теплопроводности 2.1.1. Краевые условия ,))РВ15ИШ!И(! 'И ПЛОЩ)О1)О(!ПОГТИ г!Л!)Р!Лг>115 =- (!! '(ЦЛбй(тн) 15) + !лР|. !) (2.1) описывает г( мпературу и(()), !), завил!шу)о от про("1 ранштк впых пером( ппых и времени й:-.гго уравнение пйрйболи н око) о гш(а. !)2 ()б !|и гь и |менепия про«тра|и"пи иных пер| мсппых к .'Р'. Й илп ' бс|е: | обои|я и!ть и р!'| 0.

и ||' г)хапи|ц и р||,'|'. 1(а|кипи!к|, '|то о6ли|*'п|ыо |ичьпым"и'я гкя'иии'. Огкрьгпх! ! пи|жег!ко. 1 око)ю|« ||о об шсть 0огряпи |ш|а, с«ш опа ц| ликом содерж|пся и|утри |и'к|«горо| о и||ра к|ни"!кого ра;)иуса (0 С 3.'). или впутри кру! а и |це пил о радиуга (О с. Ж ).