Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010), страница 11

'- а[, = з,, + а[, Ур)>3>3>е>(и>о характсристич((кого ко«уса удо- В.«творя«>т шъторы норма.и>й к ч>им 3>рямым. с[ —. (1, — а). с[ - (1, (3). И ГО(зо>3('! !»3 3«;[Й ш [хоп(и (1.36), (!.:[6) сгщцеспи >шо рй >,>ичйкпГЯ В зйВи( имОГ п> О!' ТОГО, 3;и' ИОГГЙВГ« иы у(с>О>ЗЯЯ (1.36): ИЙ хй[шк гсрп(тике или 3«'3. [[усп; яв:ьн"и я харак п>р>и (пкой урйви('иия (1. [ >). !О>тп( ий ! '-)Го ур(33>3«'333«' 3(акгшг(ывй('3 3«'к(моро(' у(ловш' «Й (1(Г и ФГ Если Оио >шрупи'ио.

>о >Йдйчй (1.36>)). (1.36) 3«" ИМ('('Т !Х'33«*ИИЙ(: ('('ЛИ Ж(' го о УС.,>ОВ(3(' ВЫ((ОГИИ'330, ТО И>И))ОРХЗЙИИЯ В '(1.36) мож( г окй«пыя и(до(зато шой,(,ш Вы,[с.и 3>ия (.Ишсгиеииоп> репи 3«>я у[)йипш>ия [1.36), хйракп"рист)1'и'('ким Я!!ли("!(я ур«ВИ('ши' 5)„+ ~;, + ы( = О. О'3ияшк«це(ч ч го =- сц(() про«Виол!И(ая с))унк(((сл. Х(10$)кт( ри(гни!(3$ о!)р('„нляк)т(я и3 ')с)н)пии ~.'(!) — О, »'$ (() ~ О, кОторьн) дйк)г :. соиМ гшн рплоскости в прос1р«нстяе перечепных». $$, а. (. Пьнк)рел( в (1. 1()) гиперп. К)скость О, имеюшую уравнение ( =- О, и !(й(ц)й)РСП ии(' („.

ГОВпйдйкл)ке с 0(. 101„(й лс(10$5ия КО!пи икпк)1 Вид и(», )1, =., О) = Ф(3(сл ся ), $$((»л у. =, О) .=- Ф,( й (б а). По.!йгйя й л'рййп()нии '1ец„1О(ц)ОВО;пю(»1и ( -'= О, ИОССИ'!яс'ы сООт(ии1$е«и(х Гйя- 1 й ь(В«ниц( с Фя и Ф б (л, „. Фя ($(й а) = —, Ф, ()1 )й ) . Поз !Ок(у Второе а $1 3 )с РОВий ( ! ..1()) '3«««Вать нет с мы( лй: дОс 1й »О (ПО то и кО у(л юВи5$ ($~ == Фя иа харак и рпстике "!. Отх(етил1. по подстановка фУнк)(ии Фя и УРВВ!и ние (1»10) нй ! ребует пали шя у Фа иенрерыйш !х вторых произ!К)дных. с+го 1 рсбояйпие сушеспи ппо сужа(т класс функ!«$0 и.

которьк рай л'чпО ('(итйть р('пн"циями:1яд«'ИР. ПО'3(Олс)' мОЖ«О откй3«п ся (и' «ыпо,шимости уравнения (1. 10) при ( = 0 и от чрезмерной г.шдк(нти Фя. Ес.)и р("п идег о зада и Копи( при ( > О. то можно пспребойать, побы урйв«ение (1.-10) Вы«о»шалее ь, пппь при ( > О.

1ю реше!Ин «Рд«чи было бы $«)цн рьт)(ыл(, при ( > О. тог,(а функ- 1(и!о Фя,йк"$')то шо с !Рпй! ь лип!ь !и !Ц)( Рыяпой. В Пример 1.18. Ура)5$(ение и„,== О (1.41) 01 яйл и !ся урайпшпп м гпперболи ис кого ги$ш в первой кацоии «- с кой форме. Прямая .г= 0 ца !ьнк:кости Ог)) его характеристика ":. Пус-1ь (, сой((ада('$ с ($$1 и углойия Копш (1.

10) име(от Ви,( и(О. $$) =- Ф, ($$), ($,(0. у) = 3($$($)). 1)ренцо)!(пт)ем, что у))йт«чни $1. !!) Выполнено Всю (у, Вк по (яя -, «ре!«сшп за (ачи дважды (н1«рерывцо:(ифферепцируемая функция. Если функция Ф$($$) пе рйяня гождестйенно кшн таите, го .)а- ,«1 ш Коши д.!я урявпецпя (1. П) и( им( ет решений: й(орое усло15и(' проп1яор("(и'1' 1'1«ппн'ппю $$й Ес, «1 Ф,((1) == с, =- с(«1«(, то рею( пир:3$$.«$1« КО««1 пс един(-п«п(ю:.$)ц!.!К»бой достйго пю1.ш,(кой функ!$«и с)(»), у,(сш.и"пюряюш й ус, ювиям с)(0) = О. Г) (0) .= О, фупкпия и(». ($) =- с» + Г)(.$') + .$)- Ф3$($)) оу, и'г ршп(пием задачи Копш.

( 1$(литые. 'по В (п.шчие ог примера 1.17. здесь Ф, и Ф, (н ок(юывян)тс я ( !3я 3$3$$$(ычи,(рл ! г Рруг()м каким-Гшбо соотпопн'ши)м.) Е 1.3.2. Случай уравнений первого порядка Д.,(я липейиого отиосителш(о производпых уравнения иереояо г(орлдка » а, (х,,....х,,)и, +г (х(,...,х«,и) = О (1.42) « Ь (.г,,..., х„:,,,...., ы„) == 2 о,, (х,, х» ) ,, =- О (1.44) ~-. ! ('овпадает с однородпым уравпеписм (1.42) (Г: — О).

То (ка ("' .'г(....,х„) !'ипе1в(ов(1)хиос!и ц пазывастся ха1гакт('1хиг(ич('скоп. ссгш 1. (х, ....,х,',!.ои ..... ',, )= О. и иехарактери(тической в противном слу (ае. Задача 1.2. Выполните за»иву независимых п(ременных (1.3() в уравиепии (1.42). В каком с.(у (ае (1А2) хюжпо в окрестности точки (х,',...,х„', )Е -,, привссгги к нормальной форме относичельпо персмешпгй („." В (все козффициепты а, и функция 1'здесь непрерывны, и всюду » аг (х,!.,.,х,) ~ О, и, = и(хо ..., г„)) задача Ко!пи сг(ав(лтсв аиа- ~ — ! логично. Пусть в простраистве п(рекюпных хо ...

х„(п > 1) дана г:шдкая двусторонняя гиперповерхиость; без самопересечеппй, а на ней непрерывно дифферсгщируемая функция Ф(г(хг, ..., х„). Задача Коши: найти решение и(хи ..., х„) уравнения (1,42), удовлетворяющее одг(омй «иачальиому» условию и! = Ф(г. (1.43) Пус! ь -! задана уравиеиием,(х,...., х„) = О, причем ' - пепрерывио диффсрепцируемая функция и -„, +... г г-,;«О. Вв(дом си»!Вол ! =(((гг,...,д»)=1(х! ..:х»((г!':(г») « а,(х(,...х„)(1, дифферепциального выражения ! » 2 а, (х,,...,х„)и,; 1 является лшгейной формой от независимых ~-.:! ,ийствгггсльиых переменных (й, ..., (1«с зависящими от точки (хь ..., х„) козффицишп ими а» ЛодгилгпеРи(!!!!(и(егкос! УРаегшги(с Определение 1.3. Харахтперистииой урааненизз 11.42) называется гладкая гпперповгрхность ! бе» особых точек.

которая удовлетворяет характеристичегкому уравнению (1А4). ГоВ(цзя!', '(то В('ктОр Ч =- ( у(, .... В,,) ~ О:за;(а(зт х(зрактеристи'зескОе напр(нэлеппе для уравпепия (!.42) в точке 1«(, ..., И„) на его харак(еристпке,. если з (т(, .... г«„: Ч(, „, я„) = 16 Репи нпя уравнения 11. 44) можно описать средствами об!ха иоВсннь(«дифф(репциа. (Ьных у1заВпениЙ. Вели допОлнитсльнО предположить.

что все фупкции а, непрерывно;зиффгренцирусмы. Тогда справе;ргива следуюп(ая теорема. Теорема 1.3. Функция з(т!..... И„) удовлетворяет уравнению (1.44) то! да и Только то~да, когда 1завенство ьз1а(, ...,:«„) = сопя!, является первым интегралом системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1(«! (1:«„ аз(:з(,...,.«„,) а,„1х(,....,тз,) ! 1.45) относит ел ьцо а!...

„(«„. С;и«тех(у в симметричной форме 11.46!) можно записать и в Виде а(зто(юмнОЙ сипзех!ы ди()к)яз1)('пциальных уравпенизп Х! =(г! (з(,....Х„,), 11. 46) :«„= а, 1:«!..... з:„), г!„«, 1Т) ! де:г, =, т и( зависимая переменная. (1т Егли всс функпии а, н(*,прерывно дифференцируечы и а~ ~ О, (о для системы 11.16) справедлива теорема о су(це- ствовании и единственности ее репи пия. Нрохоззяпзег(з при т = О нзре;з чада нпукз точку (т, ® = «,", з' =- 1,....

и ). Н»том глу (ае чсрс.з любую то (ку (!«,"....,з:,",) характеристики ", уравнения 11.42) проке пзт с.(п!«"«(и!Иная ннз((1з(!»и!и!и к1зизз(зз! гисз(змы (1.41з), каса«с.п*н! (Й векто1з 1(з(кто1» (ко1зости) которой В»тОЙ то'зке 1за(з(зн ;! х = )гз! («) "з:„)" "гз, («(: л«„)) ( ! (!'зпа'зае!' тр(знспонирование). Уравнение 11.44) свидггель(твуст о том, что этот вектор будет касате.п,ным и к гиперповерхпо(ти "„т.е. интегральная к1зпвая каг(ц т(я ха1зактс1И((тпкн у1зага(е(пзя 11.42). Если эк( ьерг» то'(к)' (!)(,...,х,', ! !'ип(рпош рхиости !. лядапнои ура!за(зияем « .«,лз .А.г,, ..., .г„) =- О. шгг(тральная кривая сисг("мы (!.-16) проходит !«к»щи е и по к ";, то ьч я ишка аехаряк !ври( ти и окая д ш уряви( пия (1«126 в (и Й ие ззы(юли( по (14!1). '1 якая " и(' яв!я(т( я характеристикой (1,42).

Если инт(тряльная крив»я гист( мы (1л!6) (Ок)ходи г ч! рев точку харякгеристиче( кой гиперповерхиости ). то ата инт()гральняя кривая целиком лгжит па ";: характеристика "; «сотка»а) ия непера(ткяющихся ип и гряльпых кривых системы (1.16), причем вдоль каждой гякой инт(тряльной кривой (а(х!...., .г„) =. О. С'ис(ехп! (1.45) (или (1. !6)) им(ет п — ! зкмависпмых первьзх интегрялош ' '(хи,... х„) = со!!в(, 1=- 1, ....

и -- 1, определяющих и — 1 сем(!йота харак ! ( ри(-гик уравнеиия (1.42). Обще(' решепие гл«иа!к)дззаяа уравп( ни я (1..12) (Е -.:= О); и(.г,, .....г„) =: !.«( )оз(.г!...., (г„)...,. ы" (.г,.....,г„)), г„к 11 прнывальиая»сир(врыв«о диффер( пцируечая функция а — 1 перемшзных. Ор(ыие1) 4. 19. Д, (з! уравнения и, — аий = О, », = и(;г. «). а, =: (1х (1« = гоп»1, > О. си(тема (1.15) имеет вид — =- —. По;зу зя()м о«цзо — а ! г( зк й(тво х (р()!с!( ригвава х+ а« = сопя(. '!ерс! кяж, (ую точку (.);««а) прохо,(пт е,(из« пзенпая харак(ер(кггическая прямая: х .(- а« = =- х, + а«,!. Вектор (1 -.= (1,а) валяет хярактери(ти кокос и»правд()пш, зк)р(к и,(яку!!яр!«к кяж,юй! т»кой (6)ямой.

Оощ()( р(»к)пи( тря!!и()зшя: и(.(( «) = Е«((г+ (з«). (1х (1« . (гзя уршззк пия и, + аи .—.-.. О, а =- сопя(, - О. полу за(м — =. —, а 1 .г -- ૠ— сопи(. (1(.1«з з то (кУ (.ги, «(з) »Рож) шт едшкггвешпи! х»Р»ктеристика: х — а« =- хй — а««. а г! =- (1, — и) перпендикулярен к ней.

1)би(ее р(ш(нпг уравнения: и(.г., «) =-- ««(г — «О. ° С!!ой("! зкз зя,(ачи (хоп!!! (!.42). (1.43) раз!и! (якзт(з! в вава( имосы! отт(ло. постявленоу(лови«'(!. Д) и» характеристик( и,ш нез. Слу шй. к(» (я" харякт(ри( (ика. вы.клешпзй. П1)(х.((ер 1.20..1» яз ш !4ои(и и( —, аи, -= О, » .." О, и/ ч — — 1 им(('! 6(гскоке ию мно! о реви пий: и(:г. «) =- 6((х — и«), г,(е «У .,»об»я непрерывно .(ифф( ренциру(змая фу»кипя.