QML1 (И.В. Копытин, А.С. Корнев, Н.Л. Манаков - Курс лекций по квантовой теории)

Федеральное агентство по образованиюИ.В. Копытин, А.С. Корнев, Н.Л. МанаковКвантовая теорияКурс лекций для вузовЧасть 13-е изданиеВоронеж 2009Утверждено научно-методическим советом физического факультета12 января 2009 г., протокол № 3Рецензент С.Д. КургалинКурс лекций подготовлен на кафедре теоретической физикифизического факультета Воронежского государственногоуниверситета.Рекомендуется для студентов 3, 4 курсов д/о и 4 курса в/оДля специальностей: 010701 — Физика, 010801 — Радиофизика и электроника, 010803 — Микроэлектроника и полупроводниковые приборы2ОглавлениеВведение5Глава 1. Основы квантовой механики1.1.

Предпосылки возникновения квантовой теории . . . . . .1.2. Квантовые состояния. Волновые функции . . . . . . . . .1.3. Принцип суперпозиции состояний . . . . . . . . . . . . . .1.4. Нормировка волн де Бройля . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5. Средние значения координаты и импульса . . . . . . . .1.6. Физические величины в квантовой теории . . . . . . . . .1.7. Определенные значения физических величин . .

. . . . .1.8. Свойства собственных функций и собственных значенийлинейного эрмитова оператора . . . . . . . . . . . . . . .1.9. Оператор с непрерывным спектром собственных значений1.10. Совместная измеримость физических величин . . . . . .1.11. Соотношение неопределенностей . . . . . .

. . . . . . . .1.12. Временное уравнение Шредингера . . . . . . . . . . . . .1.13. Плотность потока вероятности . . . . . . . . . . . . . . .1.14. Стационарные состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.15. Дифференцирование операторов по времени . . . . . . .1.16. Интегралы состояния . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .66101416182027Глава 2. Простейшие задачи квантовой механики2.1. Одномерное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Линейный гармонический осциллятор . . . . . . . . . . .2.3. Одномерное движение в однородном поле . . . . . . . . .2.4. Момент количества движения (момент импульса) . .

. .2.5. Общие свойства движения в центральном поле . . . . . .2.6. Задача двух тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.7. Движение в кулоновском поле притяжения. Атом водорода2.8. Распределение заряда электрона в атоме . . . . . . . . .2.9. Токи в атомах. Магнетон . . . . . . . . . . . . . . . . . . .555557626367717278803303336384044464850Глава 3.

Теория представлений3.1. Различные представления волновой функции . . . . . . .3.2. Дираковский формализм . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3. Теория представлений для операторов физических величин3.4. Теория представлений и наблюдаемые величины. Матричная механика .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5. Энергетическое и импульсное представления уравненияШредингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.6. Матричная форма оператора производной по времени величины F . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .3.7. Унитарные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . .3.8. Представления зависимости операторов и волновыхфункций от времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ПриложениеА. Дельта-функция Дирака . . . . . . .

. . . . .Б. Вырожденная гипергеометрическая функцияВ. Полиномы Чебышева – Эрмита . . . . . . . .Г. Функции Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . .Д. Присоединенные полиномы Лежандра . . . .Е. Присоединенные полиномы Лагерра . . . . .4..........................................838385889092939495101101102103103104105ВведениеНастоящее учебное пособие представляет собой первую часть курса лекций по дисциплине «Квантовая теория», читаемого студентамтретьего-четвертого курса всех специальностей физического факультета.Первая глава знакомит читателя с основными понятиями и математическим аппаратом нерелятивистской квантовой механики.Вторая глава посвящена простейшим задачам квантовой механики,допускающим решение в замкнутой аналитической форме.

Исследуется одномерное движение на примере осциллятора; излагается методрешения задач в центральном поле; рассматривается задача об атомеводорода.В третьей главе изложены основы теории представлений.Ниже приведены численные значения фундаментальных физических констант (в системе СИ), встречающихся в настоящем пособии:постоянная Планка } = 1.055 · 10−34 Дж·c;масса электрона m = 9.11 · 10−31 кг;элементарный заряд |e| = 1.602 · 10−19 Кл.5Глава 1.Основы квантовой механикиВ данной главе читатель знакомится с основными понятиями и математическим аппаратом квантовой механики — важнейшего разделаквантовой теории.

В нем исследуется механическое движение в микромире, т. е. в системах с классическим действием S, имеющим величину порядка постоянной Планка }. К таким объектам относятся структурные элементы вещества: атомы, молекулы, элементарные ячейкикристаллов, ядра и элементарные частицы. Они образуют так называемый микромир (или квантовые системы), которому присущи весьмасвоеобразные законы движения, изучаемые в специальном разделе физики — квантовой механике. Эти законы существенно отличаются отзаконов классической механики, описывающих механическое движениев классической физике.

Ряд эффектов (сверхпроводимость, сверхтекучесть, ферромагнетизм), а также физико-химические свойства веществможно объяснить количественно только в рамках квантовой механики.1.1.Предпосылки возникновения квантовой теорииК началу XX в. была создана физическая картина мира, базирующаяся на механике Ньютона и электродинамике Максвелла. Однакоряд фактов не получил объяснения в рамках данной концепции.Первая проблема возникла при исследовании излучения, испускаемого нагретыми телами (излучение «черного тела»). Энергия тепловогоизлучения, вычисляемая в классической электродинамике по формулеZ ∞E=ρ(ω) dω,(1.1)0содержит спектральную плотность энергии ρ(ω) (ω — круговая частота), имеющую неправильное асимптотическое поведение при большихчастотах:V ω2ρ(ω) = 2 3 kT(1.2)π c(формула Рэлея – Джинса).

Здесь V — заполняемый излучением объем, T — температура, k — постоянная Больцмана. При ω → ∞ плотность (1.2) квадратично возрастает, приводя к расходимости интегра6ла (1.1) — так называемая «ультрафиолетовая катастрофа» (УФК) вклассической электродинамике.Вторая проблема возникла после того, как Э. Резерфорд предложил планетарную модель атома.

Электрон при всегда ускоренном движении по атомной орбите (центростремительное ускорение!) долженбыл бы непрерывно излучать электромагнитные волны, т. е. терятьсвою энергию. В конечном итоге, в соответствии с законами механики иэлектродинамики, электрон упал бы на поверхность ядра (в течение ∼10−10 с). В реальности же атом устойчив и, более того, невозбужденные атомы существуют практически бесконечно долго. Необъяснимыми в рамках классической физики остаются также связь между электрически нейтральными атомами в молекулах и физико-химическиесвойства различных веществ. Наконец, анализ рассеяния электронов наатомах позволил обнаружить загадочную дискретность (квантование)атомных уровней энергии (опыт Франка – Герца, 1914 г.), а позже была установлена и дискретность значений орбитального момента атома(опыт Штерна – Герлаха, 1922 г.).Для решения проблемы УФК М.

Планк в 1900 г. выдвинул гипотезуо квантах, согласно которой обмен энергией между электромагнитнымизлучением и веществом (стенками сосуда) происходит дискретнымипорциями, или квантами (позже их назвали фотонами) — подобно частицам, а не волнам (дуализм «волна-частица» для света).

ЭнергияE фотонов, согласно Планку, связана с частотой ω излучения прямойпропорциональной зависимостью:E = }ω.Коэффициент пропорциональности }, названный впоследствии постоянной Планка, имеет размерность действия и явился новой фундаментальной физической константой, специфической для микромира. Дляполучения согласующегося с опытом распределения энергии в спектретеплового излучения М.

Планк был вынужден сделать предположениео наличии в стенках сосуда микроскопических осцилляторов, через посредство которых осуществляется взаимодействие фотонов со стенками. В результате такого предположения им была получена знаменитаяформула для спектральной плотности ρ(ω) равновесного (теплового)излучения:i−1V } 3 h }ωkT(1.3)ρ(ω) = 2 3 ω e − 1π c(формула Планка). Легко увидеть, что при низких частотах (}ω kT )она переходит в формулу Рэлея – Джинса (1.2).Гипотеза Планка получила дальнейшее развитие при объясненииявлений фотоэффекта и эффекта Комптона.

В 1905 г. А. Эйнштейн,7развивая гипотезу Планка, предположил, что дискретность возникает не только при обмене энергии между излучением и веществом. ПоЭйнштейну, всякую электромагнитную волну с волновым вектором k(|k| = 2π/λ, λ = 2πc/ω — длина волны) во многих явлениях можно рассматривать как совокупность частиц (фотонов) с энергией E = }ω иимпульсом p = }k. В частности, это предположение позволило ему объяснить в фотоэффекте наблюдаемую зависимость энергии фотоэлектрона от частоты, а не интенсивности света. В 1922 г.