Н.Ф. Степанов - Лекции, страница 3

 ýòîì ñëó÷àå çàïèñûâàþò R = R1 ⊗ R2 ,ïðè÷¼ì dim R = n1 n2 .Îïðåäåëåíèå: D1 , D2 ëèíåéíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû G â ïðîñòðàíñòâàõ R1 è R2ñîîòâåòñòâåííî. R = R1 ⊗ R2 ; ïðåäñòàâëåíèå D, çàäàâàåìîå â R ìàòðèöàìè D1 ⊗ D2 , íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì ïðåäñòàâëåíèé D1 , D2 : D = D1 × D2 . Ýòî äåéñòâèòåëüíîïðåäñòàâëåíèå, ïîñêîëüêó, ñîãëàñíî (1.3.1), ∀ g, h ∈ GÎïðåäåëåíèå:D(gh) = D1 (gh) ⊗ D2 (gh) = (D1 (g) D1 (h)) ⊗ (D2 (g) D2 (h)) = (D1 (g) ⊗ D2 (g))(D1 (h) ⊗ D2 (h)),è D(gh) = D(g) D(h).Çàìå÷àíèå: D1 , D2 ëèíåéíûå ïðåäñòàâëåíèÿ êîíå÷íîé ãðóïïû G â ïðîñòðàíñòâàõR1 è R2 ñîîòâåòñòâåííî; D = D1 × D2 Pïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ïðåäñòàâëåíèé; òîãäà χD =(1)χD1 χD2 (äåéñòâèòåëüíî, ∀ g ∈ G tr D = Dii (g) · tr D(2) (g) = tr D(1) (g) · tr D(2) (g)).iD(g) ëèíåéíîå ïðåäñòàâëåíèå êîíå÷íîé ãðóïïû G â ïðîñòðàíñòâå R ñîðòîíîðìèðîâàííûìè áàçèñàìè {ei }ni=1 , {fi }ni=1 ; òîãäà ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå Γ = D × Dðàñïàäàåòñÿ â ïðÿìóþ ñóììó ïðåäñòàâëåíèé ñ áàçèñàìèÒåîðåìà 1:S = {(ei fj + ej fi )}i≤j , A = {(ei fj − ej fi )}i<j ,ïðè÷¼ì ïðåäñòàâëåíèå â áàçèñå S íàçûâàåòñÿ ñèììåòðèçîâàííûì êâàäðàòîì D ([D × D]s =Γs ), à ïðåäñòàâëåíèå â áàçèñå A àíòèñèììåòðèçîâàííûì êâàäðàòîì D ([D × D]a = Γa ).Õàðàêòåðû ýòèõ ïðåäñòàâëåíèé îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìèχΓs (g) = 21 (χ2D + χD2 ), χΓa = 21 (χ2D − χD2 ).X4 ∀ g ∈ G Γ(g)(ei fk + ek fi ) =Dli Dmk (el fm + em fl ) =l,m1 X= ·(Dli (g) Dmk (g) + Dmi (g) Dlk (g))(el fm + em fl ),2 l,mïîýòîìó ïîäïðîñòðàíñòâî, íàòÿíóòíîå íà S , èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî G, èχΓs (g) =1 X·(Dii (g) Dkk (g) + Dki (g) Dik (g)).2 i,k8Ó÷èòûâàÿ, ÷òîPDii = χD , àiPDik Dki = χD2 , ïîëó÷èì χΓs =i,k1 2(χ + χD2 ).

Àíàëîãè÷íî2 Däëÿ àíòèñèììåòðèçîâàííîãî êâàäðàòà. G1 , G2 íîðìàëüíûåïîäãðóïïû êîíå÷íîé ãðóïïû G (òî åñòüT∀ h ∈ G hG1 = G1 h, hG2 = G2 h); G1 G2 = {e}, ∀ g ∈ G ∃ g1 ∈ G1 , g2 ∈ G2 : g = g1 g2 .Òîãäà ãðóïïà G = G1 × G2 íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì ñâîèõ ïîäãðóïï G1 , G2 .Î÷åâèäíî, ÷òî |G1 × G2 | = |G1 | · |G2 |.Òåîðåìà 2: G = G1 × G2 , òîãäà êàæäûé ýëåìåíò G îäíîçíà÷íî ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäåïðîèçâåäåíèÿ ýëåìåíòîâ G1 , G2 ; ∀ g1 ∈ G, g2 ∈ G g1 g2 = g2 g1 .4 Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ∃ h1 , h̃1 ∈ G1 , h2 , h̃2 ∈ G2 : h1 h2 = h̃1 h̃2 . Óìíîæàÿ îáå ÷àñòè−1−1−1−1ðàâåíñòâà ñëåâà íà h̃−11 , à ñïðàâà íà h2 , ïîëó÷èì h̃1 h1 = h̃2 h2 , íî (h̃1 h1 ) ∈ G1 , à−1−1(h̃2 h−12 ) ∈ G2 , ïîýòîìó h̃1 h1 = h̃2 h2 = e ⇒ h1 = h̃1 , h2 = h̃2 .Ïîêàæåì êîììóòàòèâíîñòü ýëåìåíòîâ ðàçíûõ ïîäãðóïï: èç îïðåäåëåíèÿ íîðìàëüíîéïîäãðóïïû ñëåäóåò, ÷òî ∀ h ∈ G G1 = h−1 G1 h, òî åñòü (g1−1 g2−1 g1 ) ∈ G2 ⇒ (g1−1 g2−1 g1 g2 ) ∈G2 ; ñ äðóãîé ñòîðîíû, (g2−1 g1 g2 ) ∈ G1 ⇒ (g1−1 g2−1 g1 g2 ) ∈ G1 , ïîýòîìó g2−1 g1−1 g1 g2 = e ⇒g1 g2 = g2 g1 .

Òåîðåìà 3: G = G1 × G2 ; åñëè A1 , A2 êëàññû ñîïðÿæ¼ííûõ ýëåìåíòîâ â G1 è G2ñîîòâåòñòâåííî, òî âñÿêèé êëàññ ñîïðÿæ¼ííûõ ýëåìåíòîâ G îáðàçîâàí ïðîèçâåäåíèÿìèg1 g2 , ãäå g1 ∈ A1 , g2 ∈ A2 , è îáðàòíî âñå ïðîèçâåäåíèÿ òàêîãî âèäà îáðàçóþò êëàñññîïðÿæ¼ííûõ ýëåìåíòîâ â G.4 ⇒ Îáîçíà÷èì îïåðàöèþ ñîïðÿæ¼íèÿ ñèìâîëîì ≈; g1 g2 ≈ g̃1 g̃2 ⇒Îïðåäåëåíèå:−1−1−1g̃1 g̃2 = (h1 h2 )−1 g1 g2 (h1 h2 ) = h−12 h1 g1 g2 h1 h2 = (h1 g1 h1 )(h2 g2 h2 ) ⇒−1⇒ g̃1 = h−11 g1 h1 , g̃2 = h2 g2 h2 (ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìå, ðàçëîæåíèå âñÿêîãî ýëåìåíòà Gâ ïðîèçâåäåíèå åäèíñòâåííî, à ïåðåñòàíîâêà â ïðîèçâåäåíèÿõ ýëåìåíòîâ ðàçíûõ ïîäãðóïïâîçìîæíà â ñèëó èõ êîììóòàòèâíîñòè).

Òàêèì îáðàçîì, g̃1 ≈ g1 , g̃2 ≈ g2 .−1⇐ g̃1 ≈ g1 , g̃2 ≈ g2 , òî åñòü ∃ h1 ∈ G1 , h2 ∈ G2 : g̃1 = h−11 g1 h1 , g̃2 = h2 g2 h2 .−1−1 −1−1g̃1 g̃2 = h−11 g1 h1 h2 g2 h2 = (h2 h1 )g1 g2 (h1 h2 ) = (h1 h2 ) g1 g2 (h1 h2 ) ⇒ g̃1 g̃2 ≈ g1 g2 . Îïðåäåëåíèå: G = G1 × G2 ãðóïïà; D1 , D2 ïðåäñòàâëåíèÿ G1 , G2 . Ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò G çàäàí ïðîèçâåäåíèåì ýëåìåíòîâ G1 , G2 : g = g1 g2 ; òîãäà ïðåäñòàâëåíèåD, çàäàííîå ìàòðèöàìè D(g) = D1 (g1 ) ⊗ D2 (g2 ), íàçûâàåòñÿ òåíçîðíûì ïðîèçâåäåíèåìïðåäñòàâëåíèé D = D1 ⊗ D2 . Ýòî, äåéñòâèòåëüíî, ïðåäñòàâëåíèå G, ïîñêîëüêó, ñîãëàñíî (1.3.1), ∀ g = g1 g2 , h = h1 h2 ∈ G D(gh) = D(g1 g2 h1 h2 ) = D1 (g1 h1 ) ⊗ D2 (g2 h2 ) =(D1 (g1 ) D1 (h1 )) ⊗ (D2 (g2 ) D2 (h2 )) = (D1 (g1 ) ⊗ D2 (g2 )) (D1 (h1 ) ⊗ D2 (h2 )) = D(g) D(h).Çàìå÷àíèå: G = G1 ×G2 êîíå÷íàÿ ãðóïïà; D1 , D2 ëèíåéíûå ïðåäñòàâëåíèÿ G1 è G2ñîîòâåòñòâåííî; D = D1 ⊗ D2 òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå ïðåäñòàâëåíèé; òîãäà χD = χD1 χD2P (2)(äåéñòâèòåëüíî, ∀ g ∈ G tr D =Dii (g) · tr D(1) (g) = tr D(1) (g) · tr D(2) (g)).iG = G1 × G2 ãðóïïà; D1 , D2 íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ G1 , G2 ñîîòâåòñòâåííî; òîãäà D = D1 ⊗ D2 íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå G.

Îáðàòíî: âñÿêîå íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå G ýêâèâàëåíòíî òåíçîðíîìó ïðîèçâåäåíèþ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ãðóïï G1 è G2 .4 ⇒ Ïóñòü |G1 | = k1 , |G2 | = k2 , òîãäà, ñ ó÷¼òîì (1.2.6),X1·χD (g1 g2 )χD (g1 g2 ) =(χD , χD ) =k 1 k2(g1 g2 )∈G(1.3.2)1 X1 X=χD1 (g1 )χD1 (g1 ) ·χD2 (g2 )χD2 (g2 ) = (χD1 , χD1 )(χD2 , χD2 ) = 1,k1 g ∈Gk2 g ∈GÒåîðåìà 5:1122ïîñêîëüêó D1 , D2 íåïðèâîäèìû; çíà÷èò, D òàêæå íåïðèâîäèìî (ñì. ñëåäñòâèå èç òåîðåìû2, (1.2)).9⇐ p1 , p2 ÷èñëî êëàññîâ ñîïðÿæ¼ííûõ ýëåìåíòîâ (÷èñëî íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé) G1 è G2 ñîîòâåòñòâåííî (ñëåäñòâèå èç òåîðåìû 4, 1.2).

Çíà÷èò, âñåãî ìîæíî ñîñòàâèòü(i)(j)(i)(j)(p1 p2 ) ïðîèçâåäåíèé Dij = D1 ⊗ D2 , ãäå D1 , D2 íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ G1 , G2 .Îáùåå ÷èñëî íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé D òàêæå ðàâíî (p1 p2 ) (òåîðåìà 4), ïîýòîìó äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî âñå Dij íåýêâèâàëåíòíû. Ïî àíàëîãèè ñ (1.3.2)è, èìåÿ â âèäó (1.2.5), ïîëó÷èì (χDij , χDkl ) = (χDi , χDk )(χDj , χDl ) = 0, ïîñêîëüêó ëèáî(i)(j)(k)(l)D1 , D1 , ëèáî D2 , D2 íåýêâèâàëåíòíû. 102.2.1.Âîëíîâûå ôóíêöèè ìíîãîýëåêòðîííûõ ñèñòåìÎòäåëåíèå öåíòðà ìàññÓñëîâèìñÿ ðàññìàòðèâàòü ìîëåêóëÿðíûå ñèñòåìû, â êîòîðûõ äåéñòâóþò òîëüêî êóëîíîâñêèå ñèëû; òîãäà ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû çàïèøåòñÿ â âèäåX1X 1 X Zα Zβ X Z αX 1·∆α −·∆i ++−, (2.1.1)H = Tn + Te +Vee +Vne +Vee = −2M2rrrαijαβiααii<jα,iα<βãäå èíäåêñû α, β ñîîòâåòñòâóþò ÿäðàì, à i, j ýëåêòðîíàì.

Çäåñü è äàëåå èñïîëüçîâàíà àòîìíàÿ ñèñòåìà åäèíèö (~ = 1, e = 1, me = 1, åäèíèöà äëèíû áîðîâñêèé ðàäèóñàòîìà). Äëÿ òàêîãî ãàìèëüòîíèàíà ìîæíî çàïèñàòü óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà (ñòàöèîíàðíîå èëè íåñòàöèîíàðíîå), âêëþ÷àþùåå â êà÷åñòâå ïåðåìåííûõ êîîðäèíàòû âñåõ ÿäåð èýëåêòðîíîâ, íî òî÷íîå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ âîçìîæíî ëèøü äëÿ àòîìà âîäîðîäà (ñì.ëåêöèè ïî êâàíòîâîé ìåõàíèêå, 2.5). Íà÷í¼ì óïðîùåíèå çàäà÷è ñ îòäåëåíèÿ öåíòðà ìàññ èðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ.Èòàê, íåîáõîäèìî âûäåëèòü â ãàìèëüòîíèàíå ñëàãàåìûå, ñâÿçàííûå ñ äâèæåíèåì öåíòðà ìàññ, òî åñòü äâèæåíèåì ìîëåêóëû êàê öåëîãî. Íà÷í¼ì ñ ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ:òðåáóåòñÿ ïîäîáðàòü íîâóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò {qi } , â êîòîðîé îäíà èç ïåðåìåííûõ ÿâëÿåòñÿ ðàäèóñ-âåêòîðîì öåíòðà ìàññ. Äëÿ ýòîé öåëè õîðîøî ïîäõîäÿò ïåðåìåííûå ßêîáè,âûñòðàèâàåìûå ïî ïðèíöèïóq1 = r1 − r2 , q2 =m1 r1 + .

. . + mk rkm1 r1 +m2 r2− r3 , . . . qk =− rk+1 , . . .m1 + m2m1 + . . . + mk(2.1.2)(çäåñü ri ñòàðûå êîîðäèíàòû); ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ äîñòàòî÷íî ïðîñò k -ûé âåêòîð ñîåäèíÿåò (k + 1)-óþ ÷àñòèöó ñ öåíòðîì ìàññ ñèñòåìû ïåðâûõ k ÷àñòèö. Î÷åâèäíî, ÷òî â äàííîìñëó÷àå qN áóäåò êîîðäèíàòîé öåíòðà ìàññ âñåé ñèñòåìû (N îáùåå ÷èñëî ÷àñòèö). Óáåäèìñÿ â òîì, ÷òî ïåðåõîä ê êîîðäèíàòàì ßêîáè ïîçâîëèò îòäåëèòü â ãàìèëüòîíèàíåP ñëàãàåìûå,ñâÿçàííûå ñ qN : ïóñòü ïðåîáðàçîâàíèå îñóùåñòâëÿåòñÿ ìàòðèöåé B : qi =Bij rj , òîãäàjXX∂ q ∂∂∂kBkj=,=∂ rj∂r∂qj ∂ qkkkkXX 1∂ ∂11 ∂∂ ∂∆j ==BB=Gkl,kj lj2mjmj ∂ rjm∂q∂q∂q∂qjklklk,lk,l(2.1.3)(2.1.4)ãäå G = B m−1 B+ , à m äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, ñîñòàâëåííàÿ èç mj (ýëåìåíòû ìàòðèöûB âåùåñòâåííû, ïîýòîìó çíàê ýðìèòîâà ñîïðÿæåíèÿ ýêâèâàëåíòåí ïðîñòîìó òðàíñïîíèðîâàíèþ).

Îñîáåííî óäîáåí ïåðåõîä ê äèàãîíàëüíîé ìàòðèöå G, ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå(2.1.1), çàïèñàííûé â ïåðåìåííûõ qi , íå áóäåò ñîäåðæàòü ñìåøàííûå âòîðûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå); â ñëó÷àå ïåðåìåííûõ ßêîáèB=1m1M2m1M3...−1m2M2m2M3−1...0m3M3...0m1MNm2MNm3MN...mNMN011...0,(2.1.5)ãäå Mk =kPmi . Íåïîñðåäñòâåííîé ïîäñòàíîâêîé ëåãêî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî B m−1 B+ =i=1m−1r , ãäå mr äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, ñîñòàâëåííàÿ èç ïðèâåä¼ííûõ ìàññ, çàäàííûõ óñëîâèåì111µk :=+(µN = MN ).(2.1.6)µkMk mk+1Èòàê, â ïåðåìåííûõ ßêîáè êîîðäèíàòû öåíòðà ìàññ qN âûäåëÿþòñÿ â îòäåëüíîå ñëàãàåìîåîïåðàòîðà êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè.Ïðîâåðèì îòäåëèìîñòü êîîðäèíàò öåíòðà ìàññ â ïîòåíöèàëå; çàìåòèì, ÷òî ïîòåíöèàëîáëàäàåò òðàíñëÿöèîííîé èíâàðèàíòíîñòüþ,ïðè óâåëè÷åíèè âñåõP òî åñòü íå èçìåíÿåòñÿAik qk , ãäå A = B−1 = m−1 B+ mr , ïîñêîëüêóêîîðäèíàò íà ïðîèçâîëüíûé âåêòîð.

ri =kP 1 +P 1B =m . Òàêèì îáðàçîì, ri =(B )ik µk qk =Bki µk qk . Òåïåðü ëåãk mik miêî îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíò, ñ êîòîðûì qN âõîäèò â âûðàæåíèå äëÿ ri : ñîãëàñíî (2.1.5)11 miµNBN i µN =µN == 1. Èòàê, ∀ i ri = fi (q1 , . . . qN −1 ) + qN : qNè (2.1.6),mim i MNMNîñóùåñòâëÿåò òðàíñëÿöèþ êîîðäèíàò ìîëåêóëû è íå âëèÿåò íà ïîòåíöèàë V (q1 , . . . qN −1 ).+ −1m−1r (B )Ìåæäó òåì, ïåðåõîäèòü ê ïåðåìåííûì ßêîáè äëÿ âñåõ ÷àñòèö ñèñòåìû (è ÿäåð, è ýëåêòðîíîâ) íåóäîáíî: â ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâåííî óñëîæíÿåòñÿ ó÷¼ò ñèììåòðèè H (ñì. 5.1).Îáû÷íî âûäåëÿþò öåíòð ìàññ ïîäñèñòåìû ÿäåð Σ, ïåðåõîäÿ îò R ê Qα (α = 1, k − 1),è öåíòð ìàññ ïîäñèñòåìû ýëåêòðîíîâ η , ïåðåõîäÿ îò r ê qi (i = 1, N − 1).  îïåðàòîðåêèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè áóäóò îòäåëåíû äâå ïåðåìåííûå (Σ è η ):N −1k−11X 11X 111T=−∆Qα −∆qi −∆Σ −∆η ,2 α=1 µα,n2 i=1 µi,e2M2N(2.1.7)ãäå M îáùàÿ ìàññà ÿäåð, N ÷èñëî ýëåêòðîíîâ, à ÷åðåç µα,n è µi,e îáîçíà÷åíû ïðèâåä¼ííûå ìàññû (2.1.6) äëÿ ÿäåð è ýëåêòðîíîâ ñîîòâåòñòâåííî.M Σ +N η.

ÎïåÒåïåðü ïåðåéä¼ì ê ïåðåìåííûì ßêîáè äëÿ Σ è η : λ = η − Σ, Rcm =M +Nðàòîð êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè (2.1.7) ïðèíèìàåò âèäN −1k−11X 11X 111T=−∆Qα −∆qi −∆Rcm −2 α=1 µα,n2 i=1 µi,e2(M + N )211+MN∆λ .(2.1.8)Êàê áûëî ïîêàçàíî ïðè ðàññìîòðåíèè ïîòåíöèàëà, â âûðàæåíèÿõ äëÿ Rα , ri îòäåëÿþòñÿðàäèóñ-âåêòîðû ñîîòâåòñòâóþùèõ öåíòðîâ ìàññ:Nλ,M +NMri = ri (q) + η = ri (q) + Rcm +λ,M +NRα = Rα (Q) + Σ = Rα (Q) + Rcm −(2.1.9)(2.1.10)ïîýòîìó ñëàãàåìûå ïîòåíöèàëà Vee è Vnn âîîáùå íå áóäóò çàâèñåòü îò Rcm è λ, à äëÿVne îñòàíåòñÿ ëèøü çàâèñèìîñòü îò λ .