С.П. Вятчанин - Конспект лекций по Радиофизике 2005, страница 6

Справа: его амплитудно-частотная характеристика.нее, сильно ослаблять) напряжение на частотах внутри заданной полосы, а напряжения вне полосы —пропускать. Рассчитаем коэффициент передачи такой цепи:K(ω) =∆ωω04.1.5'Zr + iρξ1=, Z = r + iωL += r + iρξZ + RiRi + r + iρξiωCρ∆ω1Ri, т.к. r Ri ,'=, Qнагр =1Riω0QнагрρПример: полосовой фильтрВ качестве другого примера рассмотрим полосовой фильтр (т.е.

фильтр хорошо пропускающий напряжения на частоте внутри заданной полосы и отсекающий другие частоты) — на рис. 23 приведена схема.Нетрудно видеть, что эта схема отличается от схемы на рис. 22 лишь тем, что выходное напряжениеснимается с конденсатора (а не со всего контура). Пусть Ri — сопротивление, вносимое антенной. Всеостальные обозначения те же. Опять примем, что выполнено неравенство ρ r, R i . Записываем коэффициент передачи:K(ω) =1/iωC1ρω0Uвых (ω)====Uвх (ω)Z + RiiωC(Ri + r + iρξ)iω(Ri + r + iρξ)4 ВНЕШНЕЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА ЛИНЕЙНУЮ СИСТЕМУreplacementsEp28UCδωrCL1UвыхLω0ωРис.

23: Слева: пример полосового фильтра в радиоприемном устройстве. Справа: его частотная характеристика.=Qнагр ω0,iω 1 + iQнагр ξQнагр =ρ1(Ri + r)В резонансе (ω = ω0 ) имеемВдали от резонанса (ω ω0 ,ω ω0 )|K(ω0 )| = Qнагр 1|K(ω)| 'ω01ω|ξ|Ширина полосы фильтра:∆ωω04.2'Ri + r1=,ρQнагрQнагр 1Принцип дуальности линейных цепейСформулируем принцип дуальности линейных систем: любое утверждение остается в силе если одновременно заменить:I ⇐⇒ U,L ⇐⇒ C,R ⇐⇒ G,паралл. ⇐⇒ послед.,режим КЗ ⇐⇒ режим ХХВ качестве сравним две дуальные схемы, изображенные на рис. 24:1:2:4.3U0iωL; Z1 =,R + Z11 − ω2 LCI01iωCUG =;=G + 1/Z2Z21 − ω2 LCIR =Параллельный контурРассмотрим параллельный колебательный контур, возбуждаемый гармоническим генератором тока (см.рис.

25). Опять будем рассматривать случай установившихся колебаний. Нетрудно написать выражениедля комплексной амплитуды выходного напряжения:1 1111==+ i ωC −+ iξ ,Z(ω)RωLρ Q4 ВНЕШНЕЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА ЛИНЕЙНУЮ СИСТЕМУ1replacementsEp292RCLGCU0LI0Рис. 24: Пример для иллюстрации принципа дуальностиEpreplacementsEpIGLLPSfrag replacementsUвыхUвыхICRGRCРис. 25: Слева: параллельный колебательный контур. Справа: пример использования параллельного контура в цепи стока резонансного усилителя на полевом транзисторе.ρUвыхIRZreplacementsrRωω0, ξ=−ρω0ωI0 ρQiωt= I0 Z(ω) =, I = I0 e ,1 + iξQ−iω0 Q I0ρ Q I0, IL =,=R 1 + iQξω 1 + iQξ=L,CQ=IC =iω Q I0.ω0 1 + iQξZmax = Rξ = 1/2Q√Zmax / 2∆ωω0ωРис.

26: Зависимость модуля импеданса параллельного контура от частоты.На рис. 26 представлена зависимость модуля импеданса параллельногоконтура от частоты. Определяя√ширина полосы по принятому в радиофизике критерию “1/ 2”, получаем условие:ξQ = 14 ВНЕШНЕЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА ЛИНЕЙНУЮ СИСТЕМУ30replacementsICπ2UвыхQ1 >Q21Ir2ω0ωIR , I0 , Uвых−π2ILРис. 27: Векторная диаграмма токов и график arg(Uвых ) для резонанса в параллельном контуреДля предельных случаев большой и малой добротностей получаем:При резонансе ω = ω0 =При Q 1 :ω1,2 = ω0 ± ∆ω,∆ω 'При Q 1 :ω1 ' Qω0 , ω2 'ω0Q√1LCω0,QимеемUвых (ω0 ) = I0 R,rI0 RCIL (ω0 ) == −iRI0 = −iQI0 ,iω0 LLIC (ω0 ) = I0 R × iω0 C = iQI0 ,RRRQ = R ω0 C ==q = .ω0 LρLCПри резонансе имеем резонанс токов — токи на емкости и индуктивности в противофазе и сумма ихравна нулю (см.

векторную диаграмму и график arg(Uвых ) на рис. 27). При этом абсолютные величинытоков через реактивности больше тока через сопротивление в Q раз. Заметим, что для параллельного контура определение добротности Q отличается от определения добротности для последовательногоконтура.4.4ДобротностьПонятие добротности является важной характеристикой резонаторов.

Во многих экспериментах максимальная величина добротности является ключевым параметром. Сначала приведем разные определениядобротности Q:Q =Q =Q =2π × (Запасенная энергия),Энергия потерь за периодω0 τ ∗2L/r(последовательный контур),, τ∗ =2RC(параллельный контур),2ω01, ∆ω = ∗2∆ωτЗдесь τ∗ есть время релаксации в контуре — амплитуда A свободных колебаний в контуре уменьшается∗по закону A ∼ e−t/τ .Перспективными являются диэлектрические резонаторы в СВЧ диапазоне (сапфир, плавленый кварц)и в оптике (плавленый кварц) — на эффекте полного внутреннего отражения.

В отличие от сверхпроводящих СВЧ резонаторов, параметры которых довольно быстро деградируют из-за процессов старения4 ВНЕШНЕЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА ЛИНЕЙНУЮ СИСТЕМУ31Таблица 2: Примеры добротностей различных резонаторовВид резонатораДобротностьЧастотный диапазонОбычный LC контур при комнатнойтемпературеСВЧ резонатор при комнатной температуреСверхпроводящий СВЧ резонаторT < 4◦ KРекордQ ' 50 . .

. 300f = 105 . . . 108 ГцQ ' 50 . . . 105f = 109 . . . 1012 ГцQ ' 106 . . . 1010f = 109 . . . 1012 ГцРекордОптические микрорезонаторыОптические микрорезонаторыQ ' 5 × 1011Q ' 1.5 × 109Q ' 3 × 109Q ' 1010(T = 1.3 K)(сапфир, T = 4 K)(пл. кварц, f ∼ 1015 Гц)(CaF2 , f ∼ 1015 Гц)Рис. 28: Диэлектрический резонатор на эффекте полного внутреннего отражения. Волна бегает вдольвнешней стенки резонатора.поверхности, диэлектрические резонаторы на эффекте полного внутреннего отражения (cм. рис. 28) демонстрируют лучшую долговременную стабильность.В диэлектрических резонаторах на сапфире продемонстрирована зависимость Q ∼ 1/T 5 , соответствующая уровню фундаментальных потерь в кристаллическом сапфире, вызванных нелинейным фотонфононным взаимодействием.В таблице 2 приведены типичные и рекордные значения добротностей резонаторов различного типа.4.5Емкостной датчикЕмкостной датчик является прибором для высокоточных измерений механических смещений.

Принципего работы следующий. Генератор гармонических колебаний настраивается на склон резонансной частотыконтура, как показано на рис. 29. Тогда изменение расстояния d между пластинами конденсатора (котороеи измеряется) на величину ∆d приведет к изменению собственной частоты контура, а следовательно, – ксдвигу резонансной кривой. Это в свою очередь приведет к изменению напряжения U C на конденсаторена величину ∆UC , которое и измеряется. Можно показать, что при определенных условиях связь между∆UC и ∆d имеет вид (см. задачу №3 для любознательных)∆UCUC=Q ∆d,2 dгде Q — добротность контура. Чтобы оценить, какую величину ∆d можно измерить зададим следующиепараметры:∆UCQ = 200,= 1 × 10−5 , d = 1 × 10−2 см.UCТогда ∆d = 1 × 10−9 см.4 ВНЕШНЕЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА ЛИНЕЙНУЮ СИСТЕМУreplacementsd32UCL∆UC∆dCωRω0Рис.

29: Схема емкостного датчика.R1replacementsR2I1MUвыхL1L2C2UвхI2C1Рис. 30: Схема двух связанных контуровВ настоящий момент достигнуто минимальное разрешение ∆d = 6 × 10−17 см при Q = 5 × 104 , d =3 × 10−4 см и времени измерения τ = 1 сек (МГУ)5 .Предельная точность измерения смещения определяется флуктуациями в контуре. Если единственныйисточник флуктуаций — тепловые (найквистовы) флуктуации напряжения, то минимальное смещениеопределяется формулойrd κB T∆d ',Q Wτгде κB — постоянная Больцмана, T — абсолютная температура, W — мощность, рассеиваемая в контуре.4.6Связанные контурыРассмотрим два связанных контура, изображенных на рис. 30. Пусть на вход первого действует гармоническое напряжение Uвх (t) = U0 eiωt и нас интересует, каково будет напряжение на выходе Uвых (t) = V0 eiωt(U0 , V0 — комплексные константы).

Опять рассматриваем случай установившихся колебаний. Тогда длятоков I1 и I2 в каждом контуре получаем систему двух уравнений:dI1+ R 1 I1 +dtdI2+ R 2 I2 +L2dtL1Q1dI2+MC1dtQ2dI1+MC2dt= Uвх (t),= 0,dQ1= I1dtdQ2= I2 .dt(39)(40)5 Подчеркнем, что это разрешение ∆d = 6 × 10−17 см много меньше размеров атома (да и размеров ядра атома). Здесьнет противоречия, поскольку в описанных опытах измерялось смещение усредненное по площади около 1 см, на которойпомещается большое количество атомов ' 1016 . Кроме того, атомы колеблются с частотой порядка дебаевской ' 10 12 Гц ипри измерении происходит еще усреднение по времени4 ВНЕШНЕЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА ЛИНЕЙНУЮ СИСТЕМУ33Здесь M — коэффициент взаимоиндукции. Ищем токи в виде I1 (t) = i1 eiωt , I2 (t) = i2 eiωt , где i1 , i2 —комплексные амплитуды.