С.П. Вятчанин - Конспект лекций по Радиофизике 2005, страница 4

Например, для цепочки на рис. 10 очевидно, что вначале напряжение на конденсатореравно нулю, начинается зарядка конденсатора, а напряжение на сопротивлении максимально. Со временемпо мере зарядки конденсатора ток уменьшается и напряжение на емкости емкости растет, а напряжениена сопротивлении падает. Поэтому сразу можно написать:UR (t) = H(t)e−t/τ ,UC (t) = H(t) 1 − e−t/τПодобные рассуждения очень удобны, но желательно все-же во избежание ошибки, сначала решить дифференциальные уравнения для пары цепочек, чтобы удостовериться, что вы рассуждаете правильно.Заметим, что подобные качественные рассуждения применимы и для импульсных характеристик, обсуждаемых ниже.3.2.3Импульсная характеристикаВходное напряжение можно разложить по δ-импульсам.ZtŬвх (τ)δ(t − τ) dτ,Uвх (t) =−∞Uвых (t) =Zt−∞Ŭвх (τ)g(t − τ) dτ.(14)Тогда выходное напряжение может быть представлено в виде суперпозиции по некоторым функциям g(t),которая зависит от параметров рассматриваемой линейной системы и называется импульсной характе-3АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ16Uвх (ti )Π(t − ti )Uвх (t)replacementstitРис.

11: Образ Ŭвх разложения по δ-импульсам: Ŭвх (t) = Uвх (t)ристикой. Физичекий смысл импульсной характеристики заключается в том, что она описывает реакциюлинейной системы на дельта-функцию δ(t) 3 .Очевидно, что образ Ŭвх (τ) совпадает с самой функцией Uвх (τ) — это иллюстрирует рис. 11ZtXUвх (ti )Π(t − ti ) ⇒Uвх (τ) δ(t − τ) dτUвх '∞iПоэтому, зная импульсную функцию g(t), можно расчитывать выходное напряжение по (14), подставляяUвх вместо Ŭвх .Наш пример. Опять рассмотрим наш пример (см.

рис.10)Дифференцирую (12) и подставляю Uвх (t) = δ(t):ZtUвх (τ) −(t−τ)/RCQ(t) =edτ (12),R−∞ZtdτUвых (t) ≡ R∂t Q(t) = Uвх (t) −,Uвх (τ) e−(t−τ)/RCRC−∞H(t) −t/RCe.g(t) = δ(t) −RC3.3Связь функций K(ω),h(t),g(t)Мы видим, что одно физическое устройство описывается любой из функций K(ω), h(t), g(t). Поэтомуэти функции должны быть связаны между собой. Действительно из теории следуют такие соотношениямежду ними:Z∞K(ω) =g(t)e−iωt dt,(15)−∞3 Дельта-функцияlimα→0√ 12π α2e−x2δ(t) является обобщенной функцией и может быть представлена, например, как δ(x)Основное свойство (точнее, математическое определение):Z∞1dξ f(ξ) δ(x − ξ) = [f(x − 0) + f(x + 0)]2−∞/2α2 .Более подробно о дельта-функции см.

в разделе 5.3.=3АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ17g(t)CreplacementsRCRtUвыхUвх1Рис. 12: Импульсная характеристика для RC-цепочки.g(t) =h(t) =g(t) =Z∞dω,2πK(ω) iωt dωe,2π−∞ iω + d h(t).dt(16)K(ω) eiωt−∞Z∞( → 0)(17)(18)Выведем, например, формулу (16). Для этого рассмотрим случай, когда на вход цепочки подаетсядельта-функция. Тогда на выходе будет импульсная функция g(t):Z∞dωUвх (t) = δ(t) =eiωt, ⇒ Uвх (ω) = 1,2π−∞Z∞Z∞dω=δ(τ) g(t − τ) dτ = g(τ).Uвых (t) =K(ω) eiωt2π−∞−∞Это значит, что функция передачи K(ω) и импульсная характеристика g(t) cвязаны преобразованиемФурье. Здесь мы использовали формальное разложение дельта-функции — см. подрбности в приложении5.3.

Производя обратное преобразование Фурье получаем соотношение (15).Выведем формулу (17). Для этого на вход подадим ступеньку и найдем ее Фурье-образ:= H(t) = lim e−t , t > 0,→0Z∞1H(ω) =e−(iω+)τ dτ =,iω+Z0K(ω) iωt dωe= h(t)Uвых =iω + 2πUвхЭти соотношения удобно использовать при решении конкретных задач. Смысл введения бесконечномалой пояснен в Приложении 5.3.3.4ПримерВ качестве примера мы проиллюстрируем применение формул (15, 16, 17, 18) для нашей RC цепочки,изображенной на рис. 13. Сразу выпишем выражение для коэффициента передачи:Uвх (ω),1R + iωCiωRC=1 + iωRCUвых (ω) = RI(ω) = R ×K(ω) =R1R + iωC3АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ18t>0Creplacementsi/RCtUвыхRUвхRCt<0Рис. 13:После этого, воспользовавшись формулами (17, 18), нетрудно получить:h(t) =Z∞−∞=Z∞−∞iωRCdωeiωt=iω + (1 + iωRC) 2πZ∞dωRC eiωt dωeiωt==(1 + iωRC) 2π−∞ i(ω − i/RC) 2π= 2πi Выч(ω = i/RC) = H(t) e−t/RC .Интеграл берется с помощью вычетов.

При t > 0 контур замыкается через верхнюю полуплоскость, а приt < 0 — через нижнюю полуплоскость. В последном случае (t < 0) интеграл равен нулю 4 , т.к. полюсыфункции лежат в верхней полуплоскости.Заметим, что формулой (16) формально нельзя воспользоваться в этом случае, т.к. функция K(ω) неудовлетворяет лемме Жордана — не стремится к нулю при ω → ±∞. Однако это препятствие можноформально обойти следующим образом:1iωRC=1−,1 + iωRC1 + iωRCZ∞ 1dω=g(t) =1−eiωt1+iωRC2π−∞H(t) −t/RC= δ(t) −e.RCK(ω) =(19)(20)(21)Здесь мы воспользовались формальным фурье-разложением дельта-функции (см. раздел 5.3).Этот же результат можно получить иначе, используя формулу (18):g(t) =dh(t)H(t) −t/RC= δ(t) −e.dtRC(22)Напомним, что можно получить функции h(t) и g(t) напрямую, не прибегая к формулам (16, 17).

Дляэтого надо написать интегро-дифференциальное уравнение, описывающее нашу цепочку, и решить его(см. примеры выше).Очевидно, что последний способ более громоздкий, однако физически более наглядный. Решение жес помощью вычетов более коротко и даже кажется более изящным. Однако при его использовании легкодопустить ошибку, поэтому им стоит пользоваться, если только есть уверенность в достаточной математической подготовке.4 Этообстоятельство записано с помощью функции Хевисайда H(t)).3АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ3.519Другие примерыРассмотри для примера цепочки, изображенные на рис. 14.replacementsRLUвыхRCUвхUвыхUвхРис. 14: RC и RL цепочки, имеющие идентичные характеристики при RC = L/R.Нетрудно показать, что они имеют идентичные характеристики при RC = L/R:KRC (ω) =K(ω) =11,KLR (ω) =,1 + iωRC1 + iωL/R1L, τ∗ = RC = ,∗1 + iωτRτ∗ — время релаксации цепочки.Теперь вычисляем переходную и импульсную характеристики:Z∞dωeiωth(t) ==∗ ) 2π(iω+)(1+iωτ−∞Z∞11dωiωte−==∗)i(ω−i)i(ω−i/τ2π−∞∗= H(t) 1 − e−t/τ ,Z∞∗eiωt dωH(t)g(t) == ∗ e−t/τ ,∗ 2π1+iωττ−∞Иначе:∗H(t)dh(t)g(t) == ∗ e−t/τ .dtτ3.6Дифференцирующие цепочкиСначала определим как “идеально дифференцирующую” цепочку, выходной сигнал которой есть производная от входного.

Это означает выполнение условияdUвх (t),(23)dtгде a — постоянная. Зададимся вопросом: каков должен быть коэффициент передачи такой “идеальнодифференцирующей” цепочки? Для этого перепишем (23) в частотном виде:Z∞dωUвых (t) =Uвых (ω) eiωt=(24)2π−∞ZZ∞dωd ∞dωUвх (ω) eiωt=a= iωaUвх (ω) eiωtdt −∞2π2π−∞Uвых (t) = aОтсюда сразу получаем коэффициент передачи:Kид.дифф = iω a(25)Надо сразу подчеркнуть, что такую “идеально дифференцирующую” цепочку нельзя собрать изR, C, L элементов, это математическая абстракция. Но если идеал недостижим, то к нему можно приблизиться.

Давайте рассмотрим, при каких условиях цепочки, изображенные на рис. 15, будут приближеннодифференцирующими.3АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ20replacementsCRRUвыхLUвхUвыхUвхt>0t<0Рис. 15: Дифференцирующие цепочки.Сначала выпишем характеристики этих цепочек (они были вычислены ранее):iωτ∗L, τ∗ = RC = ,1 + iωτ∗R∗∗h(t) = H(t) e−t/τ ,g(t) = δ(t) − H(t) e−t/τ .K(ω) =(26)(27)Обратим сразу внимание, что эти цепочки, составленные из разных элементов, обладают подобнымихарактеристиками.

Более того, эти цепочки становятся идентичными при RC = R/L.3.6.1Условие дифференцируемости на частотном языкеТеперь мы можем сформулировать условие дифференцируемости на частотном языке, сравнивая выражения (25) и (26). Видно, что цепочки на рис. 15 будут приближенно дифференцирующими при выполненииусловия:ωτ∗ 1⇒K(ω) ' iωτ∗(28)Это означает, что на выходе наших цепочек мы получим производную от входного сигнала, если выполняется это условие.

Естественно, мы получим производную в некотором приближении, и это приближениебудет тем лучше, чем лучше выполняется неравенство (28).Стоит заметить, что любой ограниченный по времени сигнал имеет Фурье образ, содержащий скольугодно высокие частоты. Поэтому всегда найдется частота спектра сигнала, для которой условие (28)не выполняется. Однако для дифференцируемости требуется выполнение условия (28) для большей части частот Фурье образа входного сигнала, и качество дифференцирования будет определяться тем,насколько велика эта часть.3.6.2Условие дифференцируемости на временном языкеКроме частотного рассмотрения, полезно рассмотреть действие наших дифференцирующих цепочек навременном языке.

В качестве примера рассмотрим прямоугольный импульс длительности t 0 , изображенный на рис. 16 слева. Прямоугольный импульс можно представить как суперпозицию (наложение) двухступенек (показаны пунктиром на верхнем графике рис. 16).Сразу отметим, что математически производная от такого прямоугольного импульса с вертикальнымифронтами есть две дельта-функции (Uид.

дифф на рис. 16 слева). Это следует из того, что производнаяот ступеньки (функции Хевисайда) есть просто дельта-функция (см. пояснения в разделе 5.3).Теперь нетрудно найти выходное напряжение в наших цепочках, воспользовавшись переходной характеристикой (27) — это будут две спадающие экспоненты, как показано на рис. 16 слева внизу.

Причем,если время релаксации τ∗ мало, то выходное напряжение похоже на производную от сигнала, т.е.Uвых 'τ∗U,t0 ид. диффесли τ∗ t0(29)Таким образом, мы получили приближенное условие дифференцируемости на временном языке. Это условие приложимо к сигналу и произвольной формы, если под t0 мы будем понимать характерное времясигнала.Заметим, что условия (28) и 29) эквивалентны, а применение одного или другого зависит от того,какой язык (частотный или временной) используется в задаче.3АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ21UвхUвхreplacementsPSfrag replacementsUвхUвыхt0Uид.