С.П. Вятчанин - Конспект лекций по Радиофизике 2005, страница 8

Это делается с помощью введения представлений дельта-функции. Существует множество таких представлений.Мы приведем одно из них:δ(x) = lim D(x, α),α→0 21−x,D(x, α) = √exp22 α22πα(65)Z∞(66)D(x, α) dx = 1−∞Из этого определения видно, что дельта-функцию можно понимать как “колокол” с центром в начале координат, ширина которого стремится к нулю при постоянной площади под “колоколом”. Функцию D(x, α)часто называют “размазанной” дельта-функцией9.

Для понимания свойств дельта-функции чрезвычайнополезно ей пользоваться.Нетрудно найти Фурье преобразование функции D(x, α)Z∞Z∞dω−iωxD(ω, α) =D(x, α) edx. D(x, α) =D(ω, α) eiωx2π−∞−∞ 2Z∞1−x−α2 ω2√D(ω, α) =,(67)exp− iωx dx = exp2α22−∞ 2π α22xiωα−x2α 2 ω2√√−iωx=−+Справка:−2 α222α2Теперь мы можем формально найти Фурье-образ дельта-функции, переходя к пределу:−α2 ω2δ(ω) = lim D(ω, α) = lim exp= 1,α→0α→02Z∞Z∞dωiωx dωδ(x) = lim D(x, α) = limD(ω, α) e=eiω x.α→0α→0 −∞2π2π−∞(68)(69)Заметим, что иногда равенство (69) используют как еще одно определение дельа-функции.Переход к пределу иллюстрирует рис.36.

Мы видим, что чем “уже” функция D(x, α) тем “шире” ееФурье образ.5.3.2Функция Хевисайда (“ступенька”) и ее Фурье образНапомним определение функции Хевисайда:1 если t > 0,1/2 если t = 0, PSfrag replacementsH(t) =0 если t < 01H(t)tПри вычислении Фурье образа от функции Хевисайда сразу возникает затруднение — интеграл несходится. Действительно:Z∞Z t01 − e−iωt0H(ω) =H(t) e−iωt dt = lime−iωt dt = lim=?t0 ∞ 0t0 →0iω−∞9 Заметим,что дельта-функции соответствует множество таких “размазанных” функций, напримерZ∞sin(x/α),D̃(x, α) =D̃(x, α) dx = 1πx−∞Ниже для определенности и удобства мы будем пользоваться функцией только D(x, α)D(x, α)replacementsxD(x, α)ТЕОРИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ СПЕКТРОВ СИГНАЛОВ01-1212-2α = 1/5D(ω, α)51.5141α = 1/50.5α = 1/20.50102α=1-2-10x1α = 1/201-12 2-2α=10-505ωРис.

36: Слева: графики “размазанной” дельта-функции D(x, α) при различных значениях параметра α.Справа: графики Фурье образа “размазанной” дельта-функции D(ω, α) при различных значениях параметра α. Видно, что при уменьшении α функция D(x, α) становиться все более узкой, тогда как ее Фурьеобраз D(ω, α) стремиться к постоянной величине (→ 1).Поэтому используют представление функции ХевисайдаH(t, ). −t e1/2H(t) = lim H(t, ) =→00через введение “заваленной на ∞” ступенькиесли t > 0,если t = 0,если t < 0(70)Теперь нетрудно найти Фурье образ “заваленной” функции H(t, )Z∞1H(ω, ) =e−t−iωt dt =.iω+0Введенная бесконечно малая нужна и при вычислении обратного преобразования Фурье: наличие > 0 дает возможность применить теорему о вычетах, полагая, что полюс функции H(ω, ) лежитв верхней полуплоскости.

Для справки приведем выкладки для вычисления обратного преобразованияФурье с применением вычетов:Z∞eiωt dωH(t, ) =, Полюс: ω = i в верхней полуплоскости−∞ iω + 2πt > 0 : интегрируем по верхней полуплоскости H(t > 0, ) = e−t ,t < 0 : интегрируем по нижней полуплоскости H(t < 0, ) = 0,Z∞1 − iω dωt = 0 : H(t = 0, ) ==22 2π2−∞ ω + Эти рассуждения с бесконечно малой кажутся спекулятивными (мол, это “какие-то игры с перестановкой взятия пределов”), но они приняты и широко используются в физической литературе.

С физической точки зрения очевидно, что сигналов в виде бесконечно-длинных ступенек нет (все процессы вприроде конечны). Поэтому можно считать не бесконечно малой, а просто малой величиной, определяемой из конкретной физической модели.5.3.3Связь между дельта-функцией и функцией ХевисайдаСвязь между этими функциями выражается следующим образомZtdH(t)= δ(t)H(t) =δ(τ) dτ, ⇒dt−∞(71)Для иллюстрации опять рассмотрим “размазанную” дельта-функцию (66) и подставим ее в (71):Ztt11 + erf √,(72)H(t, α) =D(τ, α) dτ =22α−∞5ТЕОРИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ СПЕКТРОВ СИГНАЛОВ42replacementsα=1α=2α=5H(t, , α)10.80.60.40.20–0.8–0.40t0.2 0.4 0.6 0.81/31/3010.1Рис. 37: Графики функции H(t, α) для α = 1/3 (самая пологая функция), α = 0.1 (более крутая) иα = 1/30 (самая крутая функция).2erf(x) ≡ √πZx2(73)e−u du0Этот интеграл выражается через интеграл ошибок erf(x) — на рис.

37 приведены графики “размазанной” ступеньки H(t, α) для разных значений параметра α: чем меньше α, тем круче идет “размазанная”ступенька и в пределе α → 0 получаем функцию Хевисайда.5.4Модулированный сигналПонятие модулированного сигнала является важнейшим в радиофизике. Амплитудно-модулированнымназывается сигнал, амплитуда которого изменятся медленно cо временем по сравнению с изменениемнесущей:1 dA(t)ωUАМ (t) = A(t) cos ωt,A(t) dtФазово-модулированным называется сигнал, фаза которого изменятся медленно cо временем по сравнению с изменением несущей:UФМ (t) = A cos ωt + φ(t) ,dφ(t)ωdtЧастотно-модулированный сигнал является близким к фазово-модулированному.

Он определяется какZtUЧМ (t) = A0 cos ω0 t +∆ω(τ) dτ , |∆ω(τ)| ω0 .(74)−∞Очевидно, чтоdφdt= ∆ω(t).(75)Здесь ω0 — средняя частота несущей, а ∆ω(t) — переменная (модулируемая) часть частоты.5.5Амплитудно-модулированный сигналРассмотрим сначала простейший случай амплитудно-модулированного (АМ) сигнала a(t):a(t) = A0 (1 + m cos Ωt) cos ω0 t,mma(t) = A0 cos ω0 t +cos(ω0 + Ω)t +cos(ω0 − Ω)t .22(76)Здесь ω0 — частота несущей, Ω — частота модуляции, m — коэффициент модуляции.

Мы видим, чтоАМ сигнал представляет собой просто сумму трех спектральных составляющих. На рис. 38 представленспектр такого АМ сигнала, состоящий из трех частот. Там же представлена векторная диаграмма (справа):5ТЕОРИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ СПЕКТРОВ СИГНАЛОВ43AΩmA/2mA/2mA/2replacementsAmA/2ωω0 − Ωω0ω0 + ΩРис. 38: Спектральные составляющие АМ сигнала (слева). Векторная диаграмма АМ сигнала (справа).~ 0 основного колебания вращается с частотой ω0 и две спектральные составляющие, вращающиесявектор Aс частотами ω0 ± Ω. Относительно вектора основного колебания гармоники вращаются с частототами~ 0.±Ω так, что вектор их суммы всегда направлен вдоль вектора AПроизвольный АМ сигнал может быть представлен в виде:UAM (t) = Aslow (t) cos ω0 t,где Aslow (t) — медленная огибающая. Можно показать, как спектр АМ сигнала a(ω) связан со спектромамплитудной огибающей A(ω) (теорема о переносе спектра):Z∞dt UAM (t) e−iωt =UAM (ω) =−∞Z1 ∞=dt Aslow (t) e−i(ω+ω0 )t + e−i(ω−ω0 )t =2 −∞1=Aslow (ω + ω0 ) + Aslow (ω − ω0 )2Aslow (Ω)UAM (ω)replacementsΩω−ω0ω0Рис.

39: Связь спектра огибающей и спектра АМ сигнала (теорема о переносе спектра)Это иллюстрирует рис. 39.5.6Фазово-модулированный сигналНапомним, что фазово-модулированный (ФМ) сигнал определяется как dφ ω0 ,UФМ (t) = A0 cos(ω0 t + φ(t)), dt (77)5ТЕОРИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ СПЕКТРОВ СИГНАЛОВ44AΩmA/2replacementsω0 − ΩωmA/2ω0mA/2ω0 + ΩA−mA/2Рис. 40: Спектр ФМ сигнала в приближении m 1(слева). Векторная диаграмма этого ФМ сигнала(справа).где последнее неравенство означает, что фаза ФМ сигнала меняется медленно.Рассмотрим простейший пример ФМ сигнала:UФМ (t)= A0 cos(ω0 t + m| sin{z Ωt}),(78)ψ(t)Здесь m — коэффициент фазовой модуляции.Покажем, что спектр ФМ сигнала (78) шире аналогичного АМ сигнала (76) и содержит не толькосоставляющие ω ± Ω, но и комбинации ω ± 2Ω, ω ± 3Ω, ω ± 4Ω .

. . Для этого запишем ФМ сигнал (78)в комплексной форме и воспользуемся известной формулой из теории Бесселевых функций:UФМ (t)eim sin Ωt= A0 eiω0 t+im sin Ωt ,∞X=Jk (m)eikΩt ,k=−∞UФМ (t)= A0 eiω0 t∞XJk (m)eikΩtk=−∞Из последнего равенства видно, что в спектре ФМ сигнала присутствует бесконечное число спектральныхсоставляющих ω0 ± kΩ (k — целое).Рассмотрим случай малого коэффициента модуляции: m 1.

Тогда выражение (78) можно разложитьв ряд по m и удержать только члены ∼ m и ∼ m2 :m2UФМ (t) ' A0 cos ω0 t − m sin Ωt sin ω0 t −cos ωt sin2 Ωt =22mmcos ω0 t +[cos(ω0 + Ω)t − cos(ω0 − Ω)t] +(79)= A0 1 −42m2+[cos(ω0 + 2Ω)t + cos(ω0 − 2Ω)t]8Мы видим, что в линейном по m приближении ФМ сигнал представляет собой сумму трех спектральныхсоставляющих. На рис. 40 представлен спектр сигнала (79), состоящий из трех составляющих. Там же~ 0 основного колебания вращается с частотой ω0 ипредставлена векторная диаграмма (справа): вектор Aдве спектральные составляющие, вращающиеся с частотами ω0 ± Ω. Относительно вектора основногоколебания гармоники вращаются с частототами ±Ω так, что вектор их суммы всегда перпендикулярен~ 0.вектору AИз (79) также следует, что в приближении, учитывающем члены ∼ m2 , в спектре фазовомодулированного сигнала появляются гармоники ω0 ± 2Ω.

Можно показать, что учет членов ∼ m3 приведет к появлению гармоник ω0 ± 3Ω и т.д. Таким образом мы приходим к выводу, что спектр ФМ сигналашире спектра АМ сигнала, поскольку он дополнительно содержит гармоники ω0 ± 2Ω, ω0 ± 3Ω . . .5ТЕОРИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ СПЕКТРОВ СИГНАЛОВ45m=1Jk (m)m=20.4m=30.2replacements−2−11k2Рис. 41: Амплитуды гармоник фазово-модулированного сигнала с коэффициентом модуляции m = 1, 2, 3.На рис. 41 представлен спектр фазово-модулированного сигнала с большим коэффициентом модуляцииm = 1, 2, 3. Мы видим, что ширина спектра фазово-модулированного сигнала растет с увеличениемкоэффициента модуляции — в отличие от случая амплитудно-модулированного сигнала.5.6.1Частотно-модулированный сигналРассмотрим простейший случай частотно-модулированного сигнала:=A cos φ(t),dφdt=UЧM=ω0 + ∆ω cos Ωt,∆ωA cos ω0 t +sin Ωt + φ0 ,Ω∆ωΩ∆ωΩφ(t) = ω0 t +∆ωsin Ωt + φ0 ,ΩUЧM>1широкополосная ЧМ,<1узкополосная ЧМ.(80)(81)Из сравнения (80) и (78) видно, что ФМ и частотно-модулированный (ЧМ) сигнал сводятся один к другому.