С.П. Вятчанин - Конспект лекций по Радиофизике 2005, страница 9

Это справедливо при гармонической ФМ или ЧМ модуляции. Однако для произвольного законамодуляции вообще говоря это не так и надо пользоваться уравнением (75).5.7Условие неискаженной передачиОбычно передача сигнала (от “входа” к “выходу”) может быть описана интегро-дифференциальным опе^ратором K:^ вх (t − t0 ).Uвых (t) = KUПереходя к преобразованию Фурье, можно записать это соотношение в видеUвых (ω) = K(ω)eiωt0 Uвх (ω),где K(ω) — комплексная рациональная функция (коэффициент передачи). Если K точно известно, томожно точно восстановить исходный сигнал, применив в полученному сигналу преобразование, обратное^оператору K.6 ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ46Часто удобнее (из-за технических ограничений) иметь дело не с самой функцией U вых (t), а с рядомее дискретных отсчетов. Тогда естественно возникает вопрос, а эквивалентно ли представление функциив виде дискретных отсчетов самой функции? Здесь на помощь приходит теорема Котельникова 10.5.8Теорема Котельникова (теорема отсчетов)Заданим непрерывный сигнал h(t) набором отсчетов:hn = h(n∆),где ∆ — интервал дискретизации, 1/∆ — частота дискретизации (cм.

рис. 42).h(t)hntreplacements∆Рис. 42: График функции h(t) и набор дискретных отсчетов hn c интервалом дискпетизации ∆.Тогда справедлива теорема Котельникова (приводится без доказательства):Если спектр сигнала ограничен и1верхняя частота спектра меньше fc = 2∆,то по дискретному набору hn можно точно восстановить исходный сигнал:h(t) =∞Xn=−∞hnsin[2πfc (t − n∆)]2πfc (t − n∆)fc — частота Найквиста. Подчеркнем, что размерность fc — Гц.Заметим, что ограничение частоты спектра сигнала формально является довольно сильным ограничением. Например, функция, ограниченная по времени интервалом T имеет теоретически бесконечныйспектр.

В качестве примера можно привести формально неограничеснный спектр прямоугольного сигнала, рассмотренный в разделе 5.2. Но на практике можно выбрать “наивысшую” частоту спектра f cтак, чтобы “хвосты” спектра (содержащие частоты выше fc ) содержали достаточно малую долю энергиисигнала. Величина малости определяется в каждом случае отдельно.6Передача сигналовДля передачи сигнала используют различные волноводные системы. Исторически первой такой системой была длинная линия. Оказалось, что все другие системы (коаксиальные линии, волноводы, диэлектрические волноводы, гауссовы пучки) могут быть описаны на языке длинных линий (более или менееприближенно).

Поэтому мы рассмотрим работу длинной линии отдельно.10 Взападной литературе она известна как теорема отсчетов (sampling theorem).6 ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ47replacementsI(x + ∆x)I(x)RLRLRLU(x + ∆x)GU(x)CI(x)dGGZCCx + ∆xxxРис. 43: Модель длинной линии.6.1Телеграфные уравненияДлинная линия представляет собой два параллельных друг другу провода, расстояние d между которымимало по сравнению с длиной волны λ = c/ν, а длина проводов формально не ограничена. Условие малостирасстояния между проводами d λ (иногда его называют условием “поперечной квазистационарности”)позволяет ввести погонные характеристики длинной линии: погонную индуктивность L [Гн/м], погоннуюемкость C [Ф/м], погонное сопротивление R [Ом/м] и сопротивление утечки, характеризуемое погоннойпроводимостью G [См/м].

Можно мысленно представить длинную линию состоящей из отдельных цепочек(см. рис. 43).Запишем уравнение Кирхгофа, связывающее ток I(x) и I(x + ∆x) (кол-во заряда, “оседающего” наотрезке ∆x за единицу времени):∂U(x, t)− G∆x U(x, t),∂t∂I(x, t)∂U(x, t)−· ∆x = C∆x+ G∆x U(x, t),∂x∂t∂U(x, t)∂I(x, t)−= C+ G U(x, t).∂x∂tI(x + ∆x)= I(x) − C∆x(82)Теперь запишем уравнение Кирхгофа, обходя контур одной ячейки (изменение напряжения на ∆x равнопадению напряжения на L и на R):= U(x + ∆x) − U(x) + L∆x0−∂I(x, t)+ R∆x I,∂t∂U(x, t)∂I(x, t)· ∆x = L∆x+ R∆x I(x, t),∂x∂t∂I(x, t)∂U(x, t)= L+ R I(x, t).−∂x∂t(83)Уравнения (82 и 83) называются телеграфными уравнениями и полностью описывают распространениеволн в длинной линии.6.1.1Отсутствие потерьПоследние члены в уравнениях (82, 83) описывают диссипацию (потети).

Положим, что диссипация отсутствует, т.е. R = 0, G = 0. Тогда получаем волновое уравнение:L∂× (82)∂t∂2 U(x, t)∂x2v0∂× (83) ⇒∂x∂2 U(x, t)= LC,∂t21= √ ,LC−(84)(85)6 ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ48где v0 — скорость распространения волны. Как известно, решения волнового уравнения записываются ввиде(86)U(x, t) = F1 (t − x/v0 ) + F2 (t + x/v0 ),Здесь F1 и F2 произвольные функции. Решение U+ (x, t) = F1 (t − x/v0 ) соответствует волне напряжения(произвольной формы) бегущей направо, в сторону увеличения координаты x.

А решение U − (x, t) =F2 (t + x/v0 ) соответствует волне, распространяющейся налево, в сторону уменьшения координаты x. Этопоясняет Рис. 44.replacementsF(t − x/v0 )t=0F(t + x/v0 )t = t0t = t000xI(x)U(x + ∆x)I(x + ∆x)t=0xx 0 = v 0 t0x = −v0 t0Рис. 44: Волны, бегущие вперед и назад.Подставляя (86) в телеграфные равнения (82 и 83) получим выражения для волны токa I + , бегущещейвперед и волны тока I+ , бегущещей назад:rLU+ (x, t) U− (x, t)−, ρ=,(87)I(x, t) = I+ (x, t) + I− (x, t) =ρρCU+ (x, t)−U− (x, t)I+ (x, t) =, I− (x, t) =(88)ρρqL(Постоянный член в уравнении (87) мы опускаем11 ).

Здесь ρ = UI =C — волновое сопротивление.Физический смысл волнового сопротивления очевиден из (87): оно определяет связь между, например,амплитудами тока и напряжения в бегущей волне.Найдем мгновенную мощность W, проходящую через точку x:W≡ h[U+ (x, t) + U− (x, t)][I+ (x, t) + I− (x, t)]i =1h[U+ (x, t) + U− (x, t)][U+ (x, t) − U− (x, t)]i ==ρU2+ (x, t) U2− (x, t)=−ρρМы видим, что полная мощность, проходящая через данную точку, представляется в виде суммы мощностей направо и налево.

Знак “–” перед последним членом в последнем уравнении показыает, что мощностьпереносится в направлении убывания x.6.2Синусоидальные волны в длинной линииБудем рассматривать синусоидальные волны в линии без потерь, записывая напряжения и токи в комплексной форме, т.е. U, I ∼ eiωt . Тогда напряжение и ток записываются в виде волн, бегущих направо и11 Этот постоянный член в (87) формально возникает после интегрирования телеграфных уравнений для получения (87).Физически он соответсвует постоянному току, протекающему по бесконечной линии (он, естественно, не создает напряженияв линии без потерь). Аналогично в длинной линии может быть постоянное напряжение (оно, естественно, не создает тока влинии без потерь). Мы не будем рассматривать эти постоянные ток и напряжение.6 ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ49ρZНreplacements0xРис.

45: К задаче об отражении от конца линии, нагруженной на элемент ZH.налево:U(x, t) = U+ eiωt−ikx + U− eiωt+ikx ,1U+ eiωt−ikx − U− eiωt+ikx .I(x, t) =ρ(89)(90)Здесь U+ и U− — комплексные постоянные. Естественно, физическому напряжению в точке x0 в моментвремени t0 соответствует величинаUphys (x0 , t0 ) =1(U(x0 ) + U(x0 )∗ )2т.е. синусоидальные волны, бегущие вправо и влево, имеют амплитуды |U + |, |U− | соответственно.Используя формулу (89) можно найти среднюю мощность Wcp , проходящую через точку с координатойx:Wcp ≡ |U+ |2 |U− |2W =−2ρ2ρЗдесь угловые скобки означают усреднение по времени, в результате которого появляются двойки в знаменателях.Везде далее множитель eiωt будем опускать.Рассмотрим в качестве примера задачу об отражении синусоидальной волны от конца длинной линии,нагруженной на элемент , имеющей импеданс ZH (cм.

рис. 45). Используя (89, 90), получим:U(0)= U + + U− ,U(0)I(0)= ρРассмотрим частные случаи.U+ + U −U+ − U −U+ − U −, U(0) = I(0) ZH ,ρU−ZH − ρ= ZH , ⇒=.U+ZH + ρI(0) =1. ZH = ρ, то отраженная волна отсутствует (U− = 0). Тогда вся мощность от генератора поглощаетсяв нагрузке. Это условие называется условием согласования. Если Z H имеет частотную зависимость,то согласование возможно только на определенной частоте.2. ZH → ∞, т.е.

отражение от разомкнутого конца длинной линии. В этом случае U− = U+ . Заметим,что напряжение на конце линии тогда равно 2U+ .3. ZH = 0, т.е. отражение от короткозамкнутого конца длинной линии. В этом случае U − = −U+ , I− =I+ . Заметим, что ток на конце линии тогда равен 2U+ /ρ.6.2.1Синусоидальные волны в линии с потерямиВ случае присутствия диссипации в линии G, R 6= 0 будем по-прежнему записывать напряжение и ток ввидеU = U(x)eiωt , I = I(x)eiωt6 ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ50Подставляя эти выражения в телеграфные уравнения (82 и 83), получаем уравнение:∂2 U(x)+ γ2 U(x),∂x2γ2 = (R + iωL)(G + iωC), γ = α + iβ,ЕслиRG ωC, то ωL, R1iωGρ +.+δ , δ'γ ' ±v02ρ0U+ eiωt e(−ik−δ)xreplacements= −U− eiωt e(ikδ)xxxРис.

46: Затухающие синусоидальные волныюВ этом случае решение соответствует затухающим волнам, показанным на рис. 46:U(x) = U+ e(−iω/v0 −δ)x + U− e(iω/v0 +δ)x .Здесь δ — пространственный коэффициент затухания.6.3Волноводные системыВ качестве волноводных систем используются кабельные (в частности, коаксиальные) линии, имеющиевнутри металлической оплетки один или несколько проводов, металлические волноводы, не имеющиевнутри металлического короба проводов, и диэлектрические волноводы.

На рисунке 47 изображены этисистемы. Во всех них волна распространяется, отражаясь от внешних стенок (в диэлектрических волноводах используется эффект полного внутреннего отражения). В каждой из перечисленных систем могутраспространяться волны, имеющие различную структуру. Они называются моды. Уравнения, описывающие каждую моду, могут быть переписаны в виде телеграфных уравнений 12 .При увеличении частоты передачи (СВЧ диапазон и выше) проблема согласования становится оченьважной. Например, в этом диапазоне колебательные контуры, состоящие из катушки и емкости не используются и их заменяют резонаторы (пример резонатора приведен на рис.