С.П. Вятчанин - Конспект лекций по Радиофизике 2005, страница 5

tдиффδ-функцииUид. диффRCδ-функцииLτ∗ttt0tUид. интtτ∗RCLt0tUвыхRCLUвыхτ∗τ∗tРис. 16: Слева: дифференцирование прямоугольного импульса. Справа: интегрирование прямоугольногоимпульса.replacementsRLUвыхRCt>0t<0UвхUвхРис. 17: Интегрирующие цепочки.Uвых3АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ3.722Интегрирующие цепочкиСначала определим как “идеально интегрирующую” цепочку, выходной сигнал которой есть интеграл отвходного.

Это означает выполнение условияZtUвых (t) = bUвх (τ) dτ ,(30)−∞где b — постоянная. Зададимся вопросом: каков должен быть коэффициент передачи такой “идеальноинтегрирующей” цепочки? Для этого переписывая (30) в частотном виде, получим коэффициент передачи:biωKид.инт =(31)Надо сразу подчеркнуть, что такую “идеально интегрирующую” цепочку нельзя собрать из R, C, Lэлементов, это математическая абстракция.

Давайте рассмотрим, при каких условиях цепочки, изображенные на рис. 17, будут приближенно интегрирующими.Сначала выпишем характеристики этих цепочек (они были вычислены ранее):L1, τ∗ = RC = ,1 + iωτ∗R∗∗g(t) = H(t) e−t/τ .h(t) = H(t) 1 − e−t/τ ,K(ω) =(32)(33)Опять заметим, что эти цепочки, составленные из разных элементов, обладают подобными характеристиками, а при RC = R/L эти цепочки становятся идентичными.3.7.1Условие интегрирования на частотном языкеТеперь мы можем сформулировать условие интегрируемости на частотном языке, сравнивая выражения(31) и (32). Видно, что цепочки на рис.

17 будут приближенно интегрирующими при выполнении условия:ωτ∗ 1⇒K(ω) '1.ωτ∗(34)Это означает, что на выходе наших цепочек мы получим интеграл от входного сигнала, если выполняется это условие. Естественно, мы получим интеграл в некотором приближении.Опять заметим (как и для дифференцирующих цепочек) для интегрируемости требуется выполнениеусловия (34) для большей части частот Фурье образа входного сигнала, и качество интегрированиябудет определяться тем, насколько велика эта часть.3.7.2Условие интегрируемости на временном языкеКроме частотного рассмотрения, полезно рассмотреть действие наших интегрирующих цепочек на временном языке.

Опять в качестве примера рассмотрим прямоугольный импульс длительности t 0 , изображенный на рис. 16 справа. Прямоугольный импульс можно представить как суперпозицию (наложение)двух ступенек (показаны пунктиром на верхнем графике рис. 16).Сразу отметим, что математически интеграл от такого прямоугольного импульса есть просто линейноломанная функция (Uид. инт на рис. 16 справа).Теперь нетрудно найти выходное напряжение в наших цепочках, воспользовавшись переходной характеристикой (33) — это будут две нарастающие экспоненты, как показано на рис. 16 справа внизу.

Причем,если время релаксации τ∗ велико, то выходное напряжение похоже на интеграл от сигнала, т.е.Uвых 't0Uид. инт ,τ∗если τ∗ t0(35)Таким образом, мы получили приближенное условие интегрируемости на временном языке. Это условиеприложимо к сигналу и произвольной формы, если под t0 мы будем понимать характерное время сигнала.Заметим, что условия (34) и (35) эквивалентны, а применение одного или другого зависит от того,какой язык (частотный или временной) используется в задаче.4 ВНЕШНЕЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА ЛИНЕЙНУЮ СИСТЕМУ423Внешнее воздействие на линейную систему4.14.1.1Последовательный контурСвободные колебания в последовательном контуреРассмотрим свободные колебания в последовательном контуре, изображенном на рис. 18.

Выражая напряжение на каждом элементе через заряд q на конденсаторе (при этом ток I = dq/dt) и приравниваясумму напряжений нулю, получаем:qdIRI +L + |{z}dtC|{z} UR |{z}UL= 0,I=dqdtUCd2 qdq+ 2δ+ ω20 q = 0,2dtdt2где δ = RL , ω0 =уравнение:1LC .Записывая заряд в виде q = Aeiωt , подставляем в (36) и получаем характеристическое−ω2 Aeiωt + 2δ iω Aeiωt + ω20 Aeiωtω2 − 2δ iω − ω20 = 0replacementsUвхUвых(36)= 0,PSfrag replacementsРешая характеристическоеUвх уравнение, выписываем решение, используя начальные условия:UвыхC qRω0 > δqω0 < δLg(t)ttCLRCRLg(t)Рис.

18: Последовательный контур. Первоначально конденсатор заряжен до напряжения U 0 . После замыкания ключа в контуре развиваются свободные колебания, изображенные на графиках справаω1,2q(t)q(0)q̇(0)q(t)q(t)= iδ ± ω̄0 ,ω̄0 =qω20 − δ2 ,= A1 e−δt+iω̄0 t + A2 e−δt−iω̄0 t ,= CU0 ⇒ A1 + A2 = CU0 ,δ= 0 ⇒ A 1 − A2 =CU0 ,iω̄0δ−δt= CU0 ecos ω̄0 t +sin ω̄0 t , если ω0 > δ,ω̄0qqδ= CU0 e−δt ch δ2 − ω20 t + qsh δ2 − ω20 t ,22δ − ω0если ω0 < δ.Естественно, начальные условия могут быть произвольными, и тогда конкретный вид решения изменится.4.1.2Последовательный контур. Переходная характеристикаРассмотрим переходную характеристику последовательного контура.

Это соответствует вычислению реакции контура на включение постоянной э.д.с. E (ступенька) во время t = 0 как показано на рис. 19.4 ВНЕШНЕЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА ЛИНЕЙНУЮ СИСТЕМУ24Имеем дифференциальное уравнение:dqEd2 q+ 2δ+ ω20 q =,2dtdtLdq q(0) = 0,= 0.dt t=0Пусть ω0 δ, E — постоянна. Тогда решение ищем в виде:q(t) = A1 e−δt+iω̄0 t + A2 e−δt−iω̄0 t + CE,Постоянные A1 , A2 находим из начальных условий и затем выписываем решение:δ CEq(0) = 0 ⇒ A1 + A2 = −CE,q̇(0) = 0 ⇒ A2 − A1 =,iω̄0δsin ω̄0 t , ω̄20 = ω20 − δ2 .q(t) = CE − CEe−δt cos ω̄0 t +ω̄0PSfrag replacementsEUвыхC qRLg(t)CEEreplacementsLUвыхEqCCRRttg(t)Рис.

19: Последовательный колебательный контур, возбуждаемый источником постоянного напряжения.Это соответсвует затухающим колебаниям вокруг нового положения равновесия (переходные процессы), как показано на графике на рис. 19 . Этот результат можно обобщить — на рис. 19 справа представленграфик реакция контура на ступенчатое изменение э.д.с.4.1.3Вынужденные колебанияРассмотрим вынужденные колебания в последовательном контуре, изображенном на рис.

20. Будем рассматривать случай установившихся колебаний, т.е. после включения источника напряжения прошлодостаточно много времени t 1/δ, когда все переходные процессы закончились. Рассмотрим также случай действия источника гармонических (синусоидальных) колебаний и напряжение источника запишем вкомплексной форме Ug (t) = U0 eiωt . ТогдаdILdt|{z}UL+RI +|{z}URZt|−∞I(τ)dτ = Ug (t) = U0 eiωt ,C{z}UC= IR = IC = Ieiωt ,Z11UC =Ieiωt ,IC dt =CiωCUR = R Ieiωt ,dIL= iωL Ieiωt .UL = Ldt1U(t) = UC + UR + UC , U0 = I+ R + iωL ,iωCILE4 ВНЕШНЕЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ НАUg ЛИНЕЙНУЮ СИСТЕМУCRULtreplacementsqEURCUgLRRUCttqq25Рис.

20: Слева: последовательный колебательный контур, возбуждаемый источником переменного напряжения. Справа: фазовая диаграмма напряжений в последовательном контуре.U0U0=,1Z(ω)R + i ωL − ωC1= R + iρξ,Z(ω) = R + i ωL −ωCrr1ρ1 LLгдеω0 = √ , ρ =, Q= =,CRR CLCU0U0= q|I(ω)| = q,1 2ρ Q12 + ξ2R2 + ωL − ωCω0ρ ω.−ϕ = arg(I(ω)) = arctg −R ω0ωI(ω) =ξ=ω0ω−ω0ωЗдесь Z(ω) — импеданс последовательного колебательного контура, Q — добротность контура, ξ — расстройка, величину ρ называют характеристическим сопротивлением контура. Запишем амплитуды колебаний напряжений в виде:I(ω) =ρU01Q+ iξ,U0,|I(ω)| = q1ρ Q2 + ξ 2ρωC1Q2IiωCϕ UR = ϕ I ,ωLU 0|UL (ω)| = q,ρ Q12 + ξ2U0qUC =ϕI = arg(I(ω)) = arctg (−Q ξ) ,RU0,|UR (ω)| = qρ Q12 + ξ2|UC (ω)| =UL = iωL I,UR = RI,ϕ UL = ϕ I +,+ ξ2π,2ϕ UC = ϕ I −π,2Ток через контур максимален (резонанс) при условии:ωL =1,ωCω = ω0⇒I(ω)max =U0.RПри этом напряжения на индуктивности и емкости соответственно равны:Ug iωte= iQ U0 eiωt ,R1 Ug iωte= −iQ U0 eiωtiω0 C RUL= iω0 LUC=В этом случае фазы колебаний напряжений UL и UC таковы, что они компенсируют друг друга —это называется резонансом напряжений.

Векторная диаграмма напряжений для этого случая приведена4 ВНЕШНЕЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА ЛИНЕЙНУЮ СИСТЕМУ26uUcULURω0replacementsωφφL|U|π2ωω0φCРис. 21: Зависимость амплитуды (вверху) и фазы (внизу) вынужденных колебаний на емкости, сопротивлении и индуктивностина рис. 19 справа. При этом амплитуды напряжений UL и UC в Q раз больше напряжения генератора. Величина Q называется добротностью (подробное определение добротности см. разделе 4.4) и равнаотношению характеристического сопротивления ρ и сопротивления R:Q=ρ.R(37)Выраженный резонанс имеет место при большой добротности Q 1.

Физический смысл добротностиможно понять, записав отношение запасенной в контуре энергии к энергии, теряемой за период: 2 2LI2πRIWзапас= 2π·=2πWпотери за период22ω0ω0 Lρ== = Q.RRЗависимость напряжения на сопротивлении совпадает с зависимостью тока от частоты ω, а напряжения на емкости и индуктивности несколько отличаются. Их графики представлены на рис.

21 вверху. Натом же рисунке внизу представлена зависимость фазы колебаний от частоты. Мы видим, что амплитудныезависимости имеют резонансный характер (приведенные графики соответствуют случаю Q 1).Последовательный контур можно рассматривать как полосовой фильтр, пропускающий частоты около резонанса. В радиофизике принято характеризовать полосу граничными частотами(на рис.

21 это√частоты ω1 и ω2 ), при которых коэффициент пропускания по модулю падает в 2. Очевидно, что этоэти частоты определяются из уравнения (38)I√2 (ω)=Решая уравнение (38), находимQ1Imax (ω)√,2⇒⇒ ω1,2 ' ω0 ±2R =∆ω,21ωL −ωC∆ω 'ω0,Q2.(38)4 ВНЕШНЕЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА ЛИНЕЙНУЮ СИСТЕМУQ1⇒ ω1 ' Qω0 ,ω2 '27ω0QВ случае малой добротности частоты ω1 и ω2 сильно различаются.

Величина добротности определяетполосу контура:1Q=ω2 − ω 12∆ω= 1,ω0ω0если Q 1Относительная полоса контура меньше единицы при Q 1.4.1.4Пример: фильтр-пробкаЧасто используют резонансные свойства контура для различных фильтрующих устройств, например, какпоказано на рис. 22:ZUвых (ω)=,Uвх (ω)Ri + ZRi Z(ω), ⇒ K(ω) → 0,Ri Z(ω), ⇒ K(ω) → 1PSfrag replacementsK(ω)=E работать как фильтр-пробка, т.е. не пропускать (точПри условии ρ Ri r схема на рис. 22 будетCUвхCUвыхKCRi1Zqρξ ' Ri√12replacementsERiCUвхrCUвыхLZZC√r 2r+Riρξ ' rrr+Riω0qωРис. 22: Слева: схема фильта-пробки.