Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач, страница 60

Например, n-кратноедифференцирование по времени приводит просто к умножению комплексной амплитуды на множитель (iω)n, благодаря чему линейныедифференциальные уравнения переходят в алгебраические уравнения.После проведения расчета в комплексной форме нужно вернуться к реальным физическим переменным, взяв действительнуючасть от полученного комплексного решения Â eiωt .Отметим, что и мнимая часть от Â e iωt даст то же самое решение, но записанное в виде Asin (ωt + ϕ′), где, разумеется, фаза ϕ′ будет уже другой. Выбор формы записи решения определяется удобством согласования с начальными условиями задачи и не являетсяпринципиальным (например, см.

далее задачу 12.3.7).При нелинейных операциях (например, возведение в степень идр.) появляются слагаемые с разными частотами, кратными ω, иметод комплексных амплитуд теряет свои преимущества. В такихслучаях, например при расчете мощности, нужно пользоваться реальными переменными.Закон Ома для участка цепи для комплексных переменныхˆˆ ,Û = ZI(12.5)где Û – комплексное напряжение на участке цепи, Ẑ – комплексноесопротивление участка цепи, Î – комплексная амплитуда тока.395Гл. 12. Цепи переменного токаКомплексные сопротивления элементов цепиРезистор: активное сопротивлениеẐ = R(12.6)– действительная величина, не зависящая от частоты.

Ток и напряжение на резисторе совпадают по фазеÛR = RÎR.Катушка индуктивности: индуктивное сопротивлениеẐ (ω) = iωL,(12.7)где L – величина индуктивности катушки. Напряжение на индуктивности опережает по фазе ток (ϕ = +π/2):ÛL = iωLÎL = ωLÎL e +iπ / 2 .Конденсатор: емкостное сопротивление1Ẑ (ω) =.(12.8)iωCНапряжение на конденсаторе отстаёт по фазе от тока (ϕ = –π/2):IˆIˆ −i π / 2ÛC =e.=iωC ωCПравила Кирхгофа в комплексном представлении имеют вид,полностью аналогичный правилам Кирхгофа для постоянного тока(глава 6):1) В любой точке разветвления токов, вследствие закона сохранениязаряда, выполняется(12.9)∑ Iˆ = 0 ,kk2) для любого замкнутого контура, выбранного в цепи,∑ Zˆ Iˆ = ∑ Ê ,k kkm(12.10)mгде Îk – комплексная амплитуда тока, Ẑ k – комплексное сопротивление k-ого участка цепи (импеданс), Eˆm = Em 0eiϕm – комплекснаяамплитуда m-ой ЭДС, входящей в выбранный контур, ϕm – ее фаза.Соотношение (12.10) является следствием подразумеваемоговезде в данном разделе квазистационарного приближения, которое396ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧпозволяет применять к цепям переменного тока условие потенциальности электрического поля (см. § 11.1 главы 11).Если в цепи имеется только один источник ЭДС, то его начальную фазу в формуле (12.10), то его начальную фазу можно взятьравной нулю и тогда Eˆ = E0 (действительная величина). При наличии нескольких несинфазных ЭДС фазу одной из них также удобноположить нулевой, а фазы остальных задать относительно нее (например, см. задачу 12.3.19).Ввиду формальной аналогии закона Ома и правил Кирхгофадля цепей переменного и постоянного тока сохраняют силу все рассмотренные в главе 6 правила учета знаков при составлении уравнений Кирхгофа, а также метод контурных токов.Для правильного учета знаков слагаемых в уравнениях (12.9),(12.10) сначала надо выбрать (произвольным образом) направлениятоков во всех участках цепи, принятые за положительные.

Присуммировании токов в узлах в уравнениях (12.9) знаки ставятся всоответствии с этими направлениями.При составлении уравнений (12.10) при обходе контуров напряжение на участке цепи считается положительным при его проходе по выбранному направлению тока, знак минус будет – припротивоположном проходе. При наличии в цепи нескольких переменных ЭДС нужно учесть их относительные фазы, заданные в условии задачи (пример с двумя сдвинутыми по фазе ЭДС разобранниже в задаче 12.3.19).В отличие от цепей постоянного тока, где отрицательный знак вполученном решении для тока означал, что его истинное направление противоположно ранее выбранному, в цепях переменного токаотрицательный знак означает сдвиг по фазе на 180° (–Â = Âeiπ).При последовательном соединении элементов цепи (ток на всехучастках одинаков) общее сопротивление цепи, как это можно видеть из (12.10), равно сумме комплексных сопротивлений отдельных элементов.При параллельном соединении элементов цепи, когда одинаково напряжение на всех элементах, удобнее использовать не комплексное сопротивление, а комплексную проводимость Ŷ = 1/ Ẑ .

Вэтом случае (параллельное соединение) проводимость всей цепиравна сумме проводимостей отдельных элементов.397Гл. 12. Цепи переменного токаЕсли к цепи подключен один источник ЭДС, то ток Î через источник и величина его ЭДС Ê связаны соотношением:Eˆ = ZˆIˆ ,где величина Ẑ называется импедансом цепиẐ = Re( Ẑ ) +i Im( Ẑ ) = Z0 eiϕ, Z0 =(Re Zˆ ) 2 + (Im Zˆ ) 2 ,а ее модуль Z0 – полным сопротивлением цепи.

Здесь Re( Ẑ ) иIm( Ẑ ) – это действительная и мнимая части Ẑ .Сдвиг фаз ϕ напряжения относительно тока определяется соотношениемIm Zˆtg ϕ =.Re ZˆМетод векторных диаграмм. В данном методе токи, напряжения и ЭДС, действующие в цепи, представляются в виде векторов.Модуль вектора равен амплитуде.

Угол между векторами численноравен сдвигу фаз ϕ между ними. Обычно один из векторов выбирается в качестве исходного направления, от которого отсчитываютсявсе сдвиги фаз, т.е. направления остальных векторов.Метод векторных диаграмм можно рассматривать как графическую интерпретацию метода комплексных амплитуд, посколькукомплексное число – это вектор на комплексной плоскости, и алгебраические операции (сложение, вычитание) с комплекснымичислами эквивалентны графическим операциям с векторами.Напомним, что векторы обозначаются прямым жирным шрифтом, абсолютные значения – курсивом.В последовательной цепи удобно в качестве исходного направления выбрать вектор тока, в параллельной цепи – вектор напряжения.Вектор напряжения на резисторе UR = RI параллелен векторутока I (сдвиг фаз ϕ = 0).Модули векторов, отображающих напряжения на индуктивноIсти и ёмкости, соответственно равны UL = ωLI и UC =.

ВекторωCUL повернут относительно вектора I на угол +900 (против часовойстрелки), а вектор UC – на угол (–900), т.е. по часовой стрелке.Правила Кирхгофа в векторном представлении удобно за-398ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧписать так:∑ I k вход = ∑ I m вых ; ∑ Uk = ∑ En ,kmk(12.11)mгде Ik вход и Im вых – векторы токов, входящих и выходящих из каждого узла, векторы Uk – напряжение на k-ом участке выбранного замкнутого контура, En – вектор n-ой ЭДС.В отличие от общего метода комплексных амплитуд, метод векторных диаграмм целесообразно применять только для простыхцепей с малым числом элементов, поскольку при большом числевекторов диаграммы становятся слишком сложными и теряют своюнаглядность.Мощность в цепи переменного тока.

Мгновенная мощностьР(t) = U(t) I(t).Усредненная по периоду мощность, рассеиваемая в участкеэлектрической цепиР = UэIэ cos ϕ,(12.12)где ϕ – сдвиг фаз между током и напряжением в данном участке, Uэи Iэ – эффективные значения напряжения и тока, являющиеся среднеквадратичными значениями соответствующих параметров за период Т:1Iэ =Tt +T1∫ I (t )dt , U э = Tt2t +T∫U2(t )dt .tЕсли переменный ток является синусоидальным, тоI0U, Uэ = 0 ,(12.13)22где I0 и U0 – амплитудные значения тока и напряжения.На индуктивных и емкостных элементах РL,C = 0 посколькуcos ϕ = 0. Мощность выделяется только на активном сопротивленииIэ =P = Uэ Iэ = I э2 R.(12.14)Мощность источника синусоидальной ЭДС с амплитудой E0 иэффективной величиной ЭДС Eэ определяется соотношением399Гл.

12. Цепи переменного тока1E0I0 cosϕ = EэIэ cosϕ,(12.15)2где ϕ – сдвиг фаз между ЭДС источника и током через него. Поскольку на реактивных элементах средняя мощность равна нулю, влюбой цепи суммарная мощность источников ЭДС равна суммарной мощности, выделяющейся на активных сопротивлениях, входящих в цепьPэдс =∑ Pэдс m = ∑ I эk2 Rk .mkЗамечание. В приведенные выше формулы для нахождениясредней мощности входят только действительные переменные. Если цепь рассчитывалась методом комплексных амплитуд, то дляполучения мощности надо предварительно перейти от комплексных переменных к действительным.Впрочем, мощность на участке цепи можно легко найти и черезкомплексные амплитуды тока и напряжения на этом участке11Re (ÛÎ*) = Re (Û*Î),(12.16)22где Re – реальная часть, (*) означает комплексное сопряжение.

Этаформула справедлива и для мощности источника ЭДС, если Û за-P=менить на Ê .§ 12.2. Основные типы задач (классификация)12.1. Задачи с неразветвлёнными цепями.12.2. Задачи с разветвлёнными цепями. Расчет фазовращателейи мостовых схем.12.3. Задачи на определение мощности в цепях переменноготока.§ 12.3. Методы решения и примеры решения задачЗадачи типа 12.1Задачи с неразветвлёнными цепямиМетод решения: 1) При расчёте тока и напряжений, дейст-400ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧвующих в последовательной цепи, вначале рекомендуется определить комплексную амплитуду тока Î. Этот ток (см.

(12.10)) равенEˆ.Iˆ =Zˆ∑kkгдеEˆ = ∑ Eˆmm– суммарная ЭДС всех последовательно соединенных источников сучетом их относительных сдвигов фаз. Затем определяется амплитудное значение тока и сдвиг его фазы относительно ЭДС. Напряжение на резисторах, индуктивностях и конденсаторах рассчитывается по формулам (12.6) - (12.10).2). При расчёте модуля полного сопротивления цепи часто бывает удобно использовать следующее выражение для модуля комплексного сопротивления:Z0 = Re( Ẑ )· 1 + tg 2 ϕ .(12.17)Этот результат легко получить, используя комплексную формупредставленияIm( Zˆ ) .Ẑ = Re( Ẑ ) + i Im( Ẑ ) = Re( Ẑ )  1 + iRe( Zˆ ) Сдвиг фазIm(Z ).