Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач, страница 63

Ток I1(t) в катушкеωL ωLиндуктивности отстает от напряжения на ней на π/2, поэтому вектор I1 перпендикулярен к вектору E и повернут относительно негона –π/2. Как видно из рис. 12.4, угол между векторами I1 и I2 по модулю равен |ϕ1| = (π/2 + |ϕ0|). Сдвиг фаз между токами I1(t) и I2(t) сАмплитуда тока I1(t) равна I10 =416ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧучетом отставания тока I1(t) отрицателен и равен ϕ1 = –(π/2 + |ϕ0|).Окончательный ответ, с учётом знака сдвига фаз, будет иметьследующий вид:Ответ: U(t) =I1 =( ωRC ) 2 + 11I 0 cos(ωt − ϕ 0 ) , tgϕ0 = −;ωCωRC( ωRC ) 2 + 1I 0 cos(ωt − ϕ0 − π / 2) .ω2 LCЗадача 12.3.8.

Определить амплитуду и фазу напряжения U(t)на конденсаторе С2 (рис. 12.6). Напряжение генератора изменяетсяпо закону E = E0 cos ωt. При расчёте положить С1 = С2 = С3 = С.Общая схема решения. Вначале определим ток Î1, протекающий через цепь RС2.IˆЗатем, используя соотношение Û = 1 ,i ωC2E(t)определим напряжение на конденсаторе С2.При расчёте будем использовать методкомплексных амплитуд.Рис. 12.6.

Разветвленная RCРешениецепь к задаче 12.3.8Зададим произвольным образом положительные направления токов в ветвях цепи (стрелки на рис. 12.6).Используя правила Кирхгофа, запишем следующие соотношения:(узел С1, С2, С3);Î = Î1 + Î2 ,ˆIˆIÊ=(контур E, С1, С3);+ 2 ,i ωC1 i ωC3Iˆ1(R +) Î1 – 2 = 0 (контур С2, R, С3).iωC2i ωC3Исключив ток Î и учитывая, что С1-3 = С, эти уравнения можнопредставить в следующем виде:Iˆ + 2 Iˆ2IˆÊ0 = 1; Î2 = (1 + iωRC) Î1; U = 1 .iωCi ωCРешая эту систему уравнений, получим:417Гл. 12.

Цепи переменного токаÛ=E02Eˆe −i|ϕ| , tg ϕ = − ωRC=233 + 2i ωRC9 + 4( ωRC )или, в действительных переменных:U(t) =Ответ: U(t) =E09 + 4(ωRC ) 2cos(ωt – |φ|).E02cos(ωt – |φ|), tg ϕ = − ωRC.39 + 4( ωRC ) 2Задача 12.3.9. Найти напряжение U(t) на конденсаторе (рис. 12.7),если параметры схемы таковы, что это напряжение сдвинуто по фазена угол 450 относительно напряжения генератора E(t) = E0 cosωt.РешениеПри решении этой задачи можно действовать по стандартнойметодике, используя правила Кирхгофа (см. задачу 12.3.8).

Однакобудет проще свести данную цепь к последовательной RC-цепи.Обозначим через Ẑ комплексноесопротивление параллельно соединённых элементов R и C. Тогда падениеE(t)напряжения на этой цепи (его и нужноопределить по условию задачи ) будетравноРис. 12.7. ЭлектрическаяE0E0схема цепи к задаче 12.3.9ˆˆˆÛ =Z I =Z=,R + Zˆ 1 + R Zˆ1 1где= + iωC (т.к. R и C соединены параллельно). НачальноеZˆ Rзначение фазы сигнала генератора можно положить равным нулю,поэтому Ê равно E0 – амплитуде сигнала генератора. Учитывая это,получимE0E0Û=eiϕ ,=22 + iωRC4 + ( ωRC )1ωRC. По условию задачи tg ϕ= ±1. Хотя знак фазы не2был указан, теперь видно, что он должен быть отрицательным. Тогда ωRC = 2, ϕ = –π/4 игде tg ϕ = –418ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧÛ=E0 −iπ / 4e.2 2Амплитуда напряжения на конденсаторе равна U0 = |Û| =Запишем полную зависимость этого напряжения от времениEiωtU(t) = Re(Û e ) = 0 cos(ωt–π/4).2 2E0Ответ: U(t) =cos(ωt–π/4).2 2E0.2 2Задача 12.3.10.

В схеме, показанной на рис. 12.8, С1 = С2 = С,R1 = R2 = R. Сдвиг фаз между напряжением E генератора переменногонапряжения (круговая частота равна ω) и напряжением UAB равен 90°.1) При каких значениях R, C, ω это возможно?2) Чему при этом будет равно отC1C2 AIношение амплитуд E и UAB?РешениеЗададим (произвольно) направE(t) RI2 R1 I1ления токов во всех участках схемы ~ E(t) 2(см. рис. 12.8). Далее запишем уравнения Кирхгофа, выбрав в качествеBпеременных токи Î, Î1 и Î2.Рис. 12.8. Схема электрическойцепи к задаче 12.3.10Î = Î1 + Î2; (для узла C1, C2, R2);Iˆ+ R2Î2 = Ê (для контура E, C1, R2);iωC11(R1 +) Î1 – R2Î2 = 0 (для контура C2, R1, R2).iωC2Решая эту систему уравнений, найдем ток Î1, а затем напряжение ÛAB = Î1R:21   R + i ωC   1+Ê0 =  Î1,R i ωC419Гл.

12. Цепи переменного токаÛAB = RÎ1,илиÊ0 = {1 –31–i} ÛAB = ÂÛAB2ωRC( ωRC )Разность фаз Ê и ÛAB определяется фазой комплексного множителя Â:3ImAˆtg ϕ ==−.1ReAˆωRC 1 −2  ( ωRC ) По условиям задачи tg ϕ = ∞, откуда следует, что ωRC = 1. Приэтом условии Ê = – 3iÛAB = 3ÛABe −iπ / 2 .Отношение амплитудπE/UAB = 3, а напряжение E отстает по фазе от напряжения UAB на .2EОтвет: 1) ωRC = 1; 2)= 3;U ABЗадача 12.3.11. На рис.

12.9 представлена схема цепи. Через I(t)обозначен генератор тока I(t) = I0 cos ωt, I0 – амплитуда тока.A1) Рассчитать комплексное Ẑ иполное Z0 сопротивление цепи (между точками А и В).L2) Найти резонансную частоту ωр,СCI(t)т.е. то значение частоты, при которомполное сопротивление Z0 имеет эксrтремальное значение и рассчитать Z0при этой частоте.B3) Определить амплитуду напряжения на конденсаторе и амплитуду Рис. 12.9. Схема электрическойцепи к задаче 12.3.11силы тока в Lr цепи при резонансе.4) Найти сдвиг фаз между токами, протекающими через конденсатор и катушку индуктивностипри резонансе.При расчётах в пунктах 2-4 считать, что добротность1 Lколебательного контура Q =>> 1 .r C420ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧРешение1) Так как элементы цепи соединены параллельно, удобновначале найти комплексную проводимость цепи1Yˆ = iωC +.r + iωLТогда комплексное сопротивление цепи равно1r + iωL,Zˆ = =ˆY (1 − ω2 LC ) + iωrCа полное сопротивление цепиr 2 + ω2 L2.(1 − ω2 LC ) 2 + (ωrC ) 22) При Q >> 1 сопротивление цепи Z0 имеет максимальное1значение при ωр ≈ ω0 =, а реактивное сопротивление катушкиLCна частоте ω0 много больше активного сопротивления r, поэтомуr + iωL ≈ iωL.

При таких упрощениях полное сопротивление прирезонансе может быть представлено в следующем видеLZ 0рез == rQ 2 .rC3) При резонансной частоте ωр ≈ ω0 импеданс и амплитуданапряжения между точками А и В достигает максимума. Амплитудытоков, текущих через конденсатор и катушку, при этом могут бытьочень велики по сравнению с I0. Но эти токи почти противофазны, и ихвекторная сумма равна I0. Такой резонанс называется резонансомтоков [1, §50].Комплексная амплитуда силы тока в Lr цепи равнаZ 0 =| Zˆ |=I0Z.r + iωLОтсюда, учитывая результаты пункта 2 данной задачи,получаем, что при резонансе токов эта величина становится равнойI0,IˆL =iω p rCа амплитуда тока равнаII Lрез = 0 = QI 0 .ω0 rCАмплитуда напряжения на конденсаторе при резонансе равнаIˆL =421Гл. 12. Цепи переменного токаU Cрез = I 0 Z 0рез = rQ 2 I 0 ,а амплитуда тока через конденсаторI Cрез = ω0CU Cрез = QI 0 .4) Поскольку напряжение на конденсаторе равно напряжению наLr-цепи, то1IˆC= IˆL ( r + iωL) .iωCОтсюда находим IˆC = IˆL (iωCr − ω2 LC ) .

Разность фаз ϕ междутоками IC и IL равна аргументу комплексного множителя в скобкахи при резонансе составляетtgϕ = −rC1= −r=− .ωLLQТаким образом, при большой добротности сдвиг фаз ϕ ≈ π, т.е. токичерез С и Lr-цепи почти противофазны.r 2 + ω2 L21r + iωLОтвет: 1) Zˆ = =,.Z=0(1 − ω2 LC ) 2 + ( ωrC )2Yˆ (1 − ω2 LC ) + iωrC2) ωр ≈ ω0 =1L; Z 0рез == rQ 2 .rCLC3) I Lрез = QI 0 , U Cрез = rQ 2 I 0 .4) tgϕ = −1.QЗадача 12.3.12. Схема цепи изображена на рис. 12.10. ЗдесьE(t) = E0 cos ωt. Определить:1) При какой частоте генератора ω сила тока I в цепиминимальна? Чему равна амплитуда силы тока при этой частоте?2) При какой частоте сила тока I максимальна? Чему равна приэтом амплитуда силы тока?Из решения исключить очевидные случаи (ω → 0) и (ω → ∞).При расчёте положить С1 = С2 = С; R >> L C , R >> r422ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧРешение1) Сила тока в цепи C2L минимальна при ω p1 = ω0 = 1 LC2rC1RLC2~ E(t)(резонанс токов, см. предыдущую задачу 12.3.11). Сопротивление конденсатора C1 на этой Рис. 12.10. Схема электрическойчастоте равно 1 ( ω0C ) = L C и цепи к задаче 12.3.12существенно меньше R (см. условие задачи).

Амплитуда силы токачерез источник ЭДС будет равна I 0 = E0 R , т.к. r << R, а сопротивление цепи LC2 (параллельное соединение) на частоте ω0 равнобесконечности. Очевидно, что при этом ток совпадает с E(t) по фазе.2) Для определения второй резонансной частоты вычислимкомплексное сопротивление всей цепи. Для упрощения расчетовпренебрежем влиянием резистора R, т.е. положим R = ∞. Влияниеэтого резистора необходимо учитывать только при частотах ω,близких к ω0, когда сопротивление параллельного контура C2Lстановится большим. В таком приближении комплексноесопротивление всей цепи равноi ( ω2 L(C1 + C 2 ) − 1).Zˆ = r +ωC2 (1 − ω2 LC2 )Из этого соотношения видно, что | Zˆ | имеет минимум| Zˆ | min = r, который получается на второй резонансной частоте1ωp2 =.L(C1 + C2 )Амплитуда силы тока при этой частоте равнаE0,rи ток совпадает с E(t) по фазе.

Этот случай соответствует резонансунапряжений, т.к. амплитуды напряжений на всех участках цепи r,C1, R, C2 и L будут максимальны.Убедимся теперь в обоснованности использованного приближения R → ∞. Действительно, импеданс цепочки LC2 на частоте ωр2I0 =423Гл. 12. Цепи переменного токабудет равен 2L C , что существенно меньше R по условию задачи.Ответ: 1) Сила тока минимальна при ω p1 = ω0 = 1 LC ,I 0 min = E0 R .2) Сила тока максимальна при ω p 2 = 1L( C1 + C2 ) ,I 0 max = E0 r .Расчет фазовращателей и мостовых схемЗадача 12.3.13. На рис.

12.11а представлена схема простейшегофазовращателя (R1 = R2 = R, С1 = С2 = С). Определить амплитудуUАВ и фазу ϕ0 выходного напряжения, действующего между точками А и В, относительно входного напряжения.РешениеDAC1E(t)~АR2UАBR1EEBC2UR22ϕϕO ϕDUC1UC2ЕUR1BбаРис. 12.11. а – электрическая схема фазовращателя на основе RC-цепей;б – векторная диаграмма напряжений фазовращателя (задача 12.3.13)Рассмотрим векторную диаграмму напряжений (рис. 12.11б).В каждой из параллельных цепей векторы напряжений на соответствующем конденсаторе и на резисторе всегда взаимно перпендикулярны, т.к. напряжение на конденсаторе отстает от напряженияна сопротивлении на 90°. Поскольку в сумме эти два вектора составляют постоянный вектор E, то точки А и В лежат на окружностис диаметром E, а UАВ = E, поскольку прямая АВ проходит черезцентр этой окружности и также является ее диаметром.Угол ϕ между вектором E и вектором напряжения на резисторе424ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.