Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач, страница 62

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧС=12πνIEэ2 − U R2.Подстановка численных значений дает С = 7,96 мкФ.Во втором способе решения используется тот факт, что навекторной диаграмме векторы амплитуд E0, U0R и U0C образуютпрямоугольный треугольник (EE0 – гипотенуза, U0R и U0C – катеты,см. задачу 12.3.1). ТогдаU0С =E02 − U 02R ,или для эффективных значенийUC =Eэ2 − U R2 .Напряжение на конденсаторе UC и ток в цепи I связаныIIсоотношением UC =, откуда следует: UC = Eэ2 − U R2 =.ωCωCОтсюда получаем тот же ответС=Ответ:С=I1.2ω E −U 2эR1I= 7,96 мкФ.22πν E − U 2эRЗадача 12.3.4.

Вцепьпеременноготокавключеныпоследовательно генератор с эффективным напряжениемEэ = 220 В, конденсатор емкости С, катушка индуктивности L ирезистор R. Найти напряжение UR на резисторе, если известно, чтонапряжение на конденсаторе UC = 2UR и напряжение на катушкеиндуктивности UL = 3UR (напряжения рассматриваются какэффективные).РешениеВ последовательной цепи напряжение на индуктивности UL опережает по фазе ток в цепи (и напряжение на резисторе UR) на угол+900 (рис. 12.2б). Напряжение на конденсаторе отстает по фазе оттока (сдвиг фаз равен – 900). Таким образом, UL и UC находятся впротивофазе.

Соотношения между эффективными величинами на-409Гл. 12. Цепи переменного токапряжений те же, что и для амплитудных величин, поэтому напряжение на участке LC(UL + UC) = 3UR – 2UR = URи опережает ток по фазе на 900. Отсюда получаем:EEэ2 = (UL + UC)2 + UR2 = 2UR2, UR = э .2Ответ: UR =Eэ2.Задача 12.3.5. В последовательном RLC контуре (см. задачу12.3.2) генератор напряжения формирует сигнал следующего вида:E(t) = 0при t < 0,E(t) = E0sinωtЗдесь ω = ω02 − β 2 , где ω0 =1при t > 0., β=R.2LLCОпределить, как изменяется со временем напряжение U(t) наконденсаторе С.

Вначале (t < 0), ток в цепи и напряжение наконденсаторе были равны нулю.При расчёте положить, что добротность Q =1 L>> 1 .R CРешениеДифференциальное уравнение, описывающееколебания в данной цепи, имеет видLCвынужденныеd 2UdU+ RC+ U = E (t ) ,2dtdtd 2UdU+ 2β+ ω20U = ω02 E0 sin ωt ,2dtdtR1где U – напряжение на конденсаторе, β =, ω0 =(см.: глава2LLC11, задача 11.3.10). Решение этого уравнения можно представить ввидеU(ω, t) = U1(t) + U2(ω, t),или, для t > 0,410ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧгде U1(t) – решение однородного уравнения (т.е. с нулевой правойчастью), а U2(ω, t) – частное решение неоднородного уравнения.Решение однородного уравнения дает затухающие собственныеколебания (см. задачу 11.3.10):U1 (t ) = e −βt ( a sin ωc t + b cos ωc t ) ,где ωc = ω02 − β 2 – частота собственных колебаний.Частное решение данного неоднородного уравнения – этоустановившиеся вынужденные колебания, комплексная амплитудакоторых на конденсаторе ÛC равна (см. задачу 12.3.2)Uˆ C =1 E0, где Zˆ = r + i  ωL −.ωC i ω CZˆПоскольку добротность контура велика, ωc ≈ ω0 .

Учитывая,что по условию ω = ω ≈ ω , получаем Zˆ = r , откуда следуетc0EEUˆ C = 0 = 0 e −iπ / 2 .iωCR ωCRВвиду того, что по условию E(t) = E0 sinωt = Im(E0 e iωt ), то длясогласования начальных фаз решение также удобно взять в видемнимой части от комплексного напряжения на конденсаторе:E0EiωtU2(ω, t) = Im(ÛC e)=sin(ωt − π / 2) = − 0 cos ωt .ωCRωCRТаким образом, общее решение имеет видEU(ω, t) = e −βt (a sin ωt + b cos ωt ) − 0 cos ωt .ωCRКонстанты a и b найдем из начальных условий, учитывая, чтопри t = 0 напряжение и сила тока в цепи были равны нулюEU(0) = 0: b − 0 = 0 ,ωCRU′ (0) = 0:a = 0.Подставляя a и b, получаем:U(t) = −E0(1 − e −βt ) cos ωt = − QE0 (1 − e −βt ) cos ωt .ωCR411Гл.

12. Цепи переменного токаПриближение U(t) к стационарному резонансному значению,равному QE0, определяется временем релаксации контура τ = 1/β.График зависимости U(t) показан на рис. 12.3.U(t)U(t)QE0E(t)Рис.12.3.Установлениерезонансного напряжения наконденсаторе U(t) в последовательномколебательномконтуре (задача 12.3.5)0tОтвет: U (t ) = −QE0 (1 − e −βt ) cos ωt .Задачи типа 12.2Задачи с разветвлёнными цепямиМетод решения: При решении задач этого раздела в качественезависимыхпеременныхрекомендуетсявыбратьтоки,действующие на разных участках разветвлённой цепи. Обязательнонадо выбрать и указать на схеме направления токов, выбранные заположительные.

Затем, используя правила Кирхгофа (12.4, 12.5),надо составить систему уравнений для токов.Число уравнений должно быть равно числу неизвестных. Послерешения этой системы уравнений рассчитывается напряжение на томучастке цепи, который указан в условии задачи. Окончательныйрезультат должен быть представлен в действительной форме.Задача 12.3.6 (базовая задача). Конденсатор емкостью 20 мкФи резистор, сопротивление которого равно 159 Ом, соединеныпараллельно (рис. 12.4 а) с генератором переменного напряжения(частота ν = 50 Гц, эффективное напряжение Uэ = 120 В).Определить зависимость от времени силы тока в цепи I(t) и то-412ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧков через конденсатор IC (t) и резистор IR (t).РешениеПоложим, что ЭДС зависит от времениIRIСE(t) Iкак E = E0 cos(ωt), где E0 = 2 Uэ ≈ 170 В –RCамплитуда источника ЭДС, ω = 2πν = 100π –круговая частота.1) Решение методом векторных диаграммРис. 12.4а.

Параллельная(рис. 12.4б)Выберем в качестве исходного направ- RC-цепь (задача 12.3.6)ление вектора ЭДС E0, поскольку напряжение одинаково на обоихэлементах цепи.Вектор IR параллелен вектору E0 и имеет длину I R = E0 R . Поэтому I R (t ) = (E0 R ) cos(ωt ) .Ввиду того, что ток через конденсаICтор опережает на π 2 напряжение E0,Iприложенное к нему, вектор тока IС перпендикулярен к E0 и повернут против чаϕсовойстрелки,аегодлинаEI R E0I C = 0 = E0 ωC . Отсюда следует| ZC |Рис. 12.4 б. ВекторнаяI C (t ) = E0 ωC cos(ωt + π / 2) = −E0 ωC sin ωt .

диаграмма для параллельной~RС цепи (задача 12.3.6)Так как конденсатор и резистор соединены параллельно, то по первому правилу Кирхгофа полныйток равен сумме токов через конденсатор и резистор I = IR + IC (векторная сумма).Как видно из рис.12.4б, фаза φ полного тока I относительно E0положительна и определяется соотношениемItg φ = C = ωRC .IRАмплитуду полного тока можно записать в видеI 0 = I R2 + I C2 = E01+ ( ωC ) 2 или, что удобнее2RI0 =IRE= 0 1 + tg 2ϕ .cos ϕ R413Гл. 12. Цепи переменного токаЗависимостьполногоI (t ) = I 0 cos(ωt + ϕ) .токаотвременибудетПри заданных в условии задачи значениях R, C и ν имеемtg φ ≈ 1, т.е.

φ = π/4 или 450. Подставляя эти значения и величины E0и ν в предыдущие соотношения, получаемEI R (t ) = 0 cos(2πνt ) ≈ 1,07 cos(100πt ) (А),RI C (t ) = −E0 2 πνC sin(2 πνt ) ≈ −1,07 sin(100πt ) (А),I (t ) = I 0 cos(2πνt + π / 4) ≈ 1,51cos(100πt + π / 4) (А).2) Решение методом комплексных амплитудКак и в методе векторных диаграмм, для комплексныхамплитуд токов Î0, ÎC и ÎR можно записать следующие соотношения:Î0 = ÎC + ÎR , где IˆR = E0 R , IˆC = E0 iωC = E0 ωCe i π 2 .Амплитуда ЭДС взята в действительном виде, поскольку онаодна, фаза ее не имеет значения и может быть положена нулевой.1Отсюда получим:Î0 = E0  + i ωC  = E0 Ŷ, где Ŷ = Y0 e iϕ –Rкомплексная проводимость цепи.

Здесь11+ ( ωC ) 2 =1 + tg 2 ϕ ,2RRОкончательный результат для полного тока в комплекснойзаписи будет иметь следующий вид:tg φ = ωRC , Y0 =Î0 = E0 Y0 e iϕ .Умножая полученные комплексные амплитуды на e iωt и берядействительную часть от этих комплексных решений, получим тотже результат, что и при использовании метода векторныхдиаграмм.Ответ:E0cos(2πνt ) ≈ 1,07 cos(100πt ) (А);RI C (t ) = −E0 2 πνC sin(2 πνt ) ≈ −1,07 sin(100πt ) (А);I R (t ) =I (t ) = I 0 cos(2πνt + π / 4) ≈ 1,51cos(100πt + π / 4) (А).414ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача12.3.7. На участке цепи, изображенном на рис. 12.5а, заданы величины L, R, C и сила тока через участок RCI2 = I0 cos ωt.

Найти напряжение U(t), токчерез катушку I1(t) и сдвиг фазы φ междуU(t) и напряжением UC на конденсаторе.РешениеНапряжение U(t) можно сразу найти,зная ток I2(t) и импеданс правой частицепи. В комплексных амплитудах:U(t)RLI1I2СРис. 12.5а.Схемаэлектрической LCR цепи кзадаче 12.3.721 ˆ1iϕ0 Iˆ = ( ωRC ) + 1 e − i|ϕ0| Iˆ , I 2 = R 2 +Û =  R +e22i ωC ωC( ωC )2где Iˆ2 = I 0 , ϕ0 – угол фазового сдвига напряжения U(t) относительно1< 0.

Берятока I2(t), определяемый из соотношения tg ϕ0 = −ωRCдействительную часть от Û eiωt , находим напряжение U(t):( ωRC ) 2 + 1I 0 cos(ωt − ϕ 0 ) .ωCТеперь можно найти силу тока в левой части цепиU(t) =UˆIˆ1 ==iωL( ωRC ) 2 + 1 i ( −|ϕ0 |− π / 2 ) ˆeI2 .ω2 LCДействительная часть от Î1 eiωt дает ток I1(t):( ωRC ) 2 + 1I 0 cos(ωt − ϕ 0 − π / 2) .ω2 LCЧтобы найти сдвиг фазы φ между U(t) и напряжением UC(t),запишем выражение для комплексной амплитуды ÛC:I1 =1 ˆ1 −i π / 2 ˆUˆ C =I2 =eI2 .iωCωCРазность фаз между найденной выше комплексной амплитудой π πÛ и ÛС составляет ϕ = − ϕ 0 −  −  = − ϕ 0 . 2 2415Гл. 12. Цепи переменного токаЭту задачу можно легко решить и с использованием методавекторных диаграмм.Векторная диаграмма, соответствующая поставленной задаче,представлена на рис.

12.5б.URI2В качестве исходного вектора для отϕ0счета углов фазового сдвига, как и выше,Uберем вектор силы тока I2. Вектор напряϕ1ϕжения на резисторе UR параллелен вектоI1ру I2 и имеет модуль UR = I0R. Вектор наUCпряжения на конденсаторе UC перпендиπРис. 12.5б. Векторная диакулярен к I2 (повернут на − ) и его дли- грамма напряжений и токов2(задача 12.3.7)Iна U C = 0 .ωCВекторы UR, UC образуют прямоугольный треугольник.Поэтому амплитуда напряжения U(t) равнаU0 =U R2 + U C2 = I0 R 2 +1.( ωC ) 2Модуль угла сдвига фаз между U(t) и I2(t) определяетсяравенствомU1.tg ϕ 0 = C =U R ωRCСам угол ϕ0 отрицателен, поскольку напряжение U(t)1запаздывает по фазе относительно тока I2(t): tg ϕ 0 = −< 0.ωRCМодуль угла сдвига фаз ϕ между U(t) и напряжением наопределяетсясоотношениемконденсатореUC(t)tg ϕ = U R U C = ωRC = ctg ϕ0 . Напряжение UC(t) запаздывает пофазе относительно E(t), поэтому ϕ < 0 и tgϕ = − ωRC .U L U0=.