Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач, страница 55

В этомслучае реализуются свободные незатухающие гармоническиеколебания. При этом уравнение цепи имеет вид:d2X+ ω20 X = 0 ,(11.14)dt 2где ω0 = 1 LC – частота собственных гармонических колебаний.Решением уравнения (11.14) являетсяX (t ) = X 0 cos(ω0 t + ϕ 0 ) ,(11.15)где Х0 – амплитудное значение исследуемой величины, ϕ0 – начальная фаза колебаний. Константы Х0 и ϕ0 находятся из начальных условий, т.е. из значений переменной X(t) и её производной при t = 0.В реальной цепи потери энергии всегда существуют, т.е. β > 0всегда, но потери за один период могут быть малыми по сравнениюс запасом энергии в контуре, и тогда приближенно можно считатьколебания гармоническими.2) β < ω0.Этот случай возможен, только если в цепи присутствуют все L,С и R элементы.

При этом реализуются свободные затухающие колебания.Если константа X∞, входящая в уравнение (11.13), отлична отнуля (X∞ ≠ 0), то после затухания колебаний (при t → ∞ ) соответствующая переменная (ток в цепи, напряжения на элементах цепиили установившиеся заряды на конденсаторах) не равна нулю (аналог в механике – колебания со смещённым от нуля положением354ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧравновесия из-за приложения к колебательной системе постояннойсилы).Решение уравнения (11.13) в этом случае имеет видX (t ) = X ∞ + X 0 e −βt cos(ωt + ϕ0 ) ,(11.16)где константы Х0 и ϕ0, как и в предыдущем случае, находятся из начальных условий, т.е.

из значений переменной X(t) и её производ-ной при t = 0, а ω = ω20 − β 2 – частота собственных затухающихколебаний.При очень слабом затухании (β << ω0) обычно говорят о величине X 0 e−βt как о зависящей от времени амплитуде затухающихколебаний.Выражение (11.16) удобно преобразовать к виду:X (t ) = X ∞ + e −βt ( a cos ωt + b sin ωt ) ,(11.17)где а и b – константы, для определения которых используются начальные условия:X(0) = X∞ + а;X′(0) = –βа + ωb.3) β ≥ ω0В этом случае колебания в цепи отсутствуют, и реализуется переходной процесс установления напряжения на элементах цепи(силы тока в цепи).Аналогично (11.11) решение уравнения цепи в этом случаеимеет вид:X (t ) = X ∞ + Ae −β1t + Be −β2t ,где β1,2 = β ± β 2 − ω20 , (11.18)а константы А и В определяются из начальных условий.В частном случае β 2 = ω02 решение уравнения (11.13) имеетвидX (t ) = X ∞ + ( A + Bt ) e −βt .(11.19)Основными характеристиками, которыми определяются потери энергии в любой колебательной системе, в том числе и приописании затухающих колебаний, являются: коэффициент затухания β (определен выше), логарифмический декремент затухания θ идобротность Q.Гл.

11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.355Логарифмический декремент затухания θ определяется соотношениемX(11.20)θ = ln n ,X n +1где Xn и Xn+1 – два последовательных максимальных отклонения(амплитуды) колеблющейся величины в одну и ту же сторону. Учи1ω1тывая, что X n = e − γ ( t1 + nT ), где t1 = arctg , Т – периодωγ1 + ( γ / ω) 2затухающих колебаний, получаемθ = βT .Логарифмический декремент затухания – это величина, обратная числу колебаний Ne , за которые амплитуда колебаний убывает вe ≈ 2,7 раза:1.(11.21)NeНапример, если θ = 0,01, то амплитуда уменьшится в e раз после 100 колебаний.θ=Коэффициент затухания β, частота колебаний ω и логарифмический декремент затухания связаны следующим соотношением2πβ.(11.22)ωДобротность колебательной системы Q определяется соотношениемπQ = = πN e ,(11.23)θПри малом затухании (β << ω0) добротность можно такжепредставить какθ = βT =Q≈Wω0= 2π,2β∆W(11.24)где 〈W〉 – средняя за период энергия, запасённая в цепи, 〈∆W〉 –уменьшение энергии за один период колебаний.

При очень большой величине добротности амплитуда уменьшается медленно, иформа колебания мало отличается от гармонической.356ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЕсли при описании затухающих колебаний использовать в качестве основных параметров частоту ω0 и добротность Q, то частоту собственных затухающих колебаний можно представить в виде1 .ω2 = ω02 1 −(11.25)2  4Q Мощность, подводимая к элементу цепи, равнаP (t ) = U ( t ) I (t ) ,(11.26)где U(t) и I(t) –напряжение на данном элементе (сопротивлении,конденсаторе, катушке) и ток через этот элемент. Эта мощностьможет выделяться на резисторе в виде тепла или расходоваться назарядку конденсатора и создание магнитного поля в катушке индуктивности.§ 11.2 Основные типы задач (классификация)11.1.

Задачи на определение временных зависимостей напряжения на элементах цепи или силы тока при переходных процессахв RC и RL-цепях.11.2. Задачи на определение временных зависимостей зарядов,напряжений и токов в RLC-цепях.11.3. Расчет энергетических характеристик процессов (мощность, энергия, количество выделенного тепла и т. д.).§ 11.3 Методы решения и примеры решения задачМетоды решения задач типа 11.1 и 11.2 практически совпадаюти сводятся к процедурам, описанным ниже.Из условия задачи нужно определить переменную Х, поведениекоторой следует исследовать (ток, напряжение, заряд).Далее для указанной в условиях задачи схемы записать правилаКирхгофа (11.7), (11.8) и, пользуясь соотношениями (11.1) – (11.6),получить дифференциальное уравнение для искомой величины Х.Используя математические преобразования, привести полученное дифференциальное уравнение цепи к стандартному виду (11.9),(11.11), (11.13) и определить порядок уравнения.Записать начальные условия для Х(0) и Х ′(0).

Для определенияустановившегося стационарного значения Х∞ нужно в полученномГл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.357уравнении цепи приравнять нулю все производные по времени ирешить это уравнение.Исходя из типа полученного уравнения цепи, выбрать решениев виде (11.10), (11.12), (11.15), (11.16) - (11.19).Из начальных условий найти все неизвестные коэффициенты ввыбранном решении.Проанализировать решение и написать ответ.Задачи типа 11.1Задачи на определение временных зависимостей напряжения наэлементах цепи или силы тока при переходных процессахв RC- и RL-цепяхБазовыми задачами этого раздела являются задачи 11.3.1,11.3.2, 11.3.3.Задача 11.3.1 (базовая задача).

Резистор R, незаряженныйконденсатор C и генератор постоянного напряжения E соединеныпоследовательно (последовательная RC-цепь, рис. 11.1 а). Определить зависимость напряжения на конденсаторе от времени послезамыкания ключа К.РешениеПо второму правилу Кирхгофа(11.8) сумма напряжений на резисторе UR и конденсаторе UC после замы+ –кания ключа в любой момент времени должна быть равна E:Uc +UR = E .Согласно выражениям (11.1) иРис.11.1а. Зарядка конденсатора(11.2)в последовательной RC -цепиdU C(задача 11.3.1)UR = R IR , I C = C.dtТак как все элементы цепи соединены последовательно, силатока на всех участках цепи одинаковаI (t ) = I R = I C .Выберем в качестве исследуемой величины напряжение наконденсаторе UC.

Совершив обход контура по выбранному направ-358ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧлению тока и используя записанные выше соотношения, получимуравнение цепи:dU cU c + RC=E.dtПриведём это уравнение к стандартному виду (11.9)dU c1+(U c − E) = 0 .dtRCДо замыкания ключа К напряжение на конденсаторе было равно нулю. Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, следовательно, и сразу после замыкания ключа это напряжениебудет равно нулю. Таким образом, начальное условие можно записать в виде: U c (0) = 0 .В соответствии с (11.10) решением этого уравнения будетфункцияU c (t ) = E (1 − e −t τ ) ,где время релаксации τ = RC.

График этой зависимости представленна рис. 11.1 б.Приt=τнапряжениенаконденсатореравно−1U C (t ) = E (1 − e ) ≈ 0,63 E .Ответ: U C (t ) = E (1 − e −t τ ) .Замечание 1. Используя полученный результат, можно определить зависимость от времени и всех остальных параметров цепи: напряжения нарезисторе, силы тока в цепи и зарядаконденсатора:Рис. 11.1б. Зависимость напряжения на конденсаторе от времени при его зарядке в последовательнойRC-цепи(задача11.3.1)U R (t ) = E − U c (t ) = E e −t τ ;I (t ) =U R (t ) E − t τ= e ;RR()Q (t ) = CU c (t ) = CE 1 − e −t τ .Замечание 2. Если до замыкания ключа конденсатор был заряжен до напряжения U0, то начальное условие будет иметь видU C (0) = U 0 , и напряжение на конденсаторе будет меняться со временем по следующему закону:359Гл. 11.

Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.U c (t ) = E + (U 0 − E )e −t τ .Задача 11.3.2 (базовая задача). Заряженный до напряжения U0конденсатор C и резистор R соединены последовательно (последовательная RC-цепь, рис. 11.2а). Определить зависимость напряжения на конденсаторе от времени после замыкания ключа К.РешениеПо второму правилу Кирхгофа(11.8) сумма напряжений на резистореUR и конденсаторе UC после замыканияключа в любой момент времени должРис.11.2 а. Разрядка конденсана быть равна 0:тора в последовательной RCцепи (задача 11.3.2)UC + U R = 0 .Аналогично решению задачи 11.3.1 можно записатьdU CUR = R IR , I C = C,dtI (t ) = I R = I c .Выберем в качестве исследуемой величины напряжение наконденсаторе UC.

Выполнив обход контура по выбранному направлению тока и используя записанные выше соотношения, получимуравнение цепи и приведём его к виду (11.9):1dU C+UC = 0 .dtRCСразу после замыкания ключанапряжение на конденсаторе равноU0, то есть U C (0) = U 0 . В соответствии с (11.10) решением этого уравРис.11.2 б Зависимость напряже- нения будет функцияния на конденсаторе от времениU C (t ) = U 0 e − t τ ,при разрядке в последовательнойRC-цепи (задача 11.3.2)где время релаксации τ = RC.График этой зависимости представлен на рисунке 11.2 б.Ответ: U c (t ) = U 0 e −t RC .Замечание. Режим зарядки и разрядки конденсатора можно получить, если вместо источника постоянного напряжения и ключа ис-360ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧпользовать генератор прямоугольного импульса(рис.11.3 б):E(t) = 0 при t < 0, t > Tи;напряженияE(t) = E0 при 0 < t < Tи.Здесь длительность импульса должна быть намного большевремени релаксации (Tи >> τ ), чтобы за время действия импульсанапряжение на конденсаторе практически сравнялось с его стационарным значением E0.Задача 11.3.3 (базовая задача).