Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач, страница 58

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧL, то есть β << ω0. Поэтому в цепиCреализуются затухающие колебания и решение уравнения цепи вэтом случае имеет вид (11.17)По условию задачи r <<U C (t ) = U C∞ + e −βt (a cos ωt + b sin ωt ) ,где ω = ω 02 − β 2 (см. теоретический материал). Константы a и b,входящие в это уравнение, определяются из начальных условий:UС(0) = U C∞ + a =0,dU C(0) = −βa + ωb = 0 .dtОтсюда получаема = – UC∞ = – E0,βa β= E0 .ω ωПодставляя эти коэффициенты в решение, находим ответ:b=βU C (t ) = E0 1 − e −βt cos ωt + sin ωt   .ωβОтвет: U С (t ) = E0 1 − e −βt cos ωt + sin ωt   .ωДополнение. Определим добротность Q последовательной rLCцепи.

Так как β << ω0, то согласно формуле (11.24)Q=ω01 2L 1 L==.2β 2 LC rr CЗадача 11.3.12. Резистор r, конденсатор C, заряженный до напряжения U0 и катушка индуктивности L соединены в последовательную цепь (рис. 11.12).Определить зависимость от времени напряжения на конденсаторе после замыкания ключа К.Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.379РешениеАналогично задаче 11.3.11 уравнение цепи можно записать в видеРис.

11.12. Разрядка конденсатора в последовательной rLC-цепи(задача 11.3.12)d 2U CdU+ 2β C + ω02U C = 0 .2dtdtЗапишем начальные условия:UС(t = 0) = U0,dU C( t = 0) = 0 .dtИспользуя решение уравнения цепи в виде (11.17), получимU C (t ) = U 0 e −βt (cos ωt +Ответ: U C (t ) = U 0 e −βt (cos ωt +βsin ωt ) .ωβsin ωt ) .ωЗадача 11.3.13. В схеме, представленной на рис. 11.13, источникнапряжения формирует прямоугольный импульсE(t) = 0 при t < 0, t > Tи ;E(t) = E0 при 0 < t < Tи .Длительность импульса Ти существенно больше времени релаксации.1) Определить, при каких значениях R, L и C в схеме будут наблюдаться затухающие колебания.2) Определить зависимость от времени напряжения UС(t) на конденсаторе в режиме затухающих колебаний.РешениеЗапишем следующие соотношения:I = I1 + I2.

(первое правилоКирхгофа (11.7));RI + UС = E0 (второе правилоКирхгофа (11.8)),dU CРис. 11.13. Схема цепи в задаче.11.3.13dtНапряжения на ёмкости и индуктивности одинаковы:I2 = C380ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧUC = U L = LdI1,dtпоэтому1U C dt .LТогда из второго правила Кирхгофа получим следующее уравнение dU C 1E0 = U C + R  CU C dt  .+dtLI1 =∫∫Продифференцируем по времени это соотношение и приведём его кстандартному виду (11.13)d 2UdU+ 2β+ ω 02U C = 0 ,2dtdt11где ω02 =, β=.LC2 RC1) Затухающие колебания могут быть только при ω0 > β, т.е.111 L>, что соответствует условию R >.2 CLC 2 RC2) Затухающие колебания будут иметь следующий вид:При 0 < t < TиНачальные условия (t = 0):UС(0) = 0,dU C1E( 0) = I ( 0) = 0 ,dtCRCE0.RЗаписывая решение уравнения затухающих колебаний в виде(11.17), получим:EU C (t ) = 0 e −βt sin ωt , где ω = ω20 − β 2 .ωRCПри t ≥ TиОпределим начальные условия (t = Ти).т.к.

сразу после включения генератора ток I = I2 =UС(t = Tи) = 0,Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.381так как к моменту времени t = Tи переходной процесс закончился инапряжение на конденсаторе равно нулю.Сразу после выключения генератора ток, который протекал через индуктивность L, ещё не изменил своей величины и направлеEния. Этот ток равен I1 = 0 , а ток I, протекающий через резистор R,Rравен нулю. Из первого правила Кирхгофа получим, чтоI = I1 + I2= 0, то есть I2 = –I1.dU C1E(t = Tи ) = I 2 (t = Tи ) = − 0 .dtCRCЗависимость от времени напряжения на конденсаторе в этомслучае будет согласно (11.17) иметь видEU (t ) = − 0 e −β( t −Tи ) sin ω(t − Tи ) .ωRC1 LОтвет: 1) В системе будут затухающие колебания, если R >.2 CE2) при 0 < t < Tи : U (t ) = 0 e −βt sin ωt ;ωRCEпри t ≥ Tи: U (t ) = − 0 e −β( t −Tи ) sin ω(t − Tи ) ,ωRCгде ω = ω20 − β 2 .Замечание.

Определим добротность Q этой параллельной RLCцепи. Согласно (11.24) при ω0 >> βωRCCQ= 0 ==R.2βLLCЭто выражение не совпадает с формулой для добротности по1 Lследовательного контура Qпосл =(см. дополнение к задачеR C11.3.11).Если Q >> 1, то ω ≈ ω0. В этом случае начальная амплитуда колебаний напряжения на конденсаторе (при t = 0 и при t = Tи) будетE0Eравна U C max ≈= 0 .ω0 RC Q382ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 11.3.14.

Конденсатор, заряженный до разности потенциалов U0,Сразряжается на цепь, состоящую из соRLпротивления R и индуктивности L, соU0единенных параллельно (рис. 11.14).Найти заряды, прошедшие через нихпри разряде конденсатора. Омическим Рис. 11.14. Схема соединенияцепи в задачесопротивлением катушки индуктивно- элементов11.3.14сти пренебречь.РешениеВсе элементы схемы (L, R, C) соединены параллельно. Поэтомуправила Кирхгофа (11.7) и (11.8) можно записать в видеdIRI R = L L ,dtU C = RI R ,IC = I R + I L .Структура этих уравнений такова, что для решения поставленной задачи (определить QL и QR) нет необходимости находить явную зависимость токов IR(t) и IL(t) от времени.Действительно, проинтегрировав по времени от 0 до ∞ правуюи левую части первого уравнения, получимRQR = L[I L ( ∞ ) − I L (0)] .Учитывая, что I L ( ∞ ) = I L (0) = 0 , получимQR = 0 .Интегрируя в тех же пределах последнее уравнение и учитывая, что UC(0) = U0, UC(∞) = 0, получимQL = QC (0) = CU 0 .Ответ: QR = 0 , QL = CU 0 .Задача 11.3.15.

На сколько процентов отличается частота свободных колебаний в контуре с добротностью Q = 5 от частоты собственных незатухающих свободных колебаний в таком же контуре,но без потерь энергии?Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.383РешениеИспользуя формулу (11.25) теоретического материала приQ = 5, получим:ω1= 1−= 1 − 0,01 ≈ 0,995 .ω04Q 2Ответ: отличие составит 0,5% .Замечание.

Даже при такой сравнительно небольшой добротности различием величин ω и ω0 практически можно пренебречь.Это довольно типичная ситуация. Даже при Q = 3 отличие составляет менее 1,5%. Поэтому при выполнении расчетов полезно сделать оценку добротности контура, что часто может упростить дальнейшие численные расчеты.Задача 11.3.16. Колебательный контур содержит последовательно соединённые емкость C = 0,25 мкФ, индуктивность L = 1 Гни активное сопротивление R = 20 Ом. Через какое количество колебаний N амплитуда тока в этом контуре уменьшается в е раз?РешениеИспользуем формулы (11.21) – (11.23) теоретического материала, а также значение коэффициента затухания β в последовательнойRLC-цепи (задача 11.3.11):4Lω02 − β 2 1ω−1==2θ 2πβ2 πβ  ⇒ N = CR.2πRβ=2LДля выполнения численного расчета оценим сначала величиныω0 и β:ω0 = 2000 с-1, β = 10 с-1.Поскольку ω0 >> β, для численного расчета можно использоωвать приближенную формулу (11.24), из которой N = 0 .

Под2πβставляя в нее найденные численные значения, находим N = 32.Ответ: N = 32.N=384ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадачи типа 11.3Расчет энергетических характеристик процессов (мощность,энергия, количество выделенного тепла и др.)Метод решения. Для решения задач этого типа требуется сначала найти напряжения и токи, т.е. решить задачу типа 11.1 или11.2.Кроме стандартных расчётов, требуется также использоватьвыражение (11.26) для мощности, которая выделяется на участкецепи.В некоторых задачах вопрос сформулирован так, что для ответанет необходимости решать динамическую задачу.

Достаточно произвести простое интегрирование полученного уравнения.Задача 11.3.17. Конденсатор ёмкости Cзаряжается от источника постоянного напряжения E0 через сопротивление R. Определить зависимость от времени мощностиP(t), подводимой к конденсатору.Рис. 11.15. ЭлектричеРешениеская схема цепи к задаМощность P(t), подводимая к конденса- че 11.3.17тору, равна (11.26)P ( t ) = U ( t ) I (t ) .Здесь U и I – падение напряжения и ток через конденсатор.В базовой задаче 11.3.1 получено, что при зарядке конденсатораот постоянной ЭДС, напряжение на нём меняется по законуU (t ) = E0 (1 − e −t RC ) ,а в замечании 1 к этой же задаче получено, что при зарядке конденсатора в последовательной RC-цепи сила тока в ней изменяется позаконуEI (t ) = 0 e − t RC .R2EОтсюда получаем P (t ) = 0 1 − e − t RC e − t RC .RE02Ответ: P (t ) =1 − e − t RC e − t RC .R(())385Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.Замечание. Возможно решение этой задачи и другим, энергетическим, способом, что позволяет не находить зависимость силы тока от времени.При зарядке конденсатора его энергия изменяется со временемCU 2 (t ) CE02 (1 − e −t RC ) 2по закону W (t ) ==.

А значит, для этого не22обходимо подводить к нему мощностьdW (t ) E02P (t ) ==1 − e − t RC e − t RC .dtR()Задача 11.3.18. В последовательном RLC контуре, добротностькоторого Q >> 1 и собственная частота колебаний равна ω, возбуждены затухающие колебания (см. базовую задачу 11.3.12). Через какое время энергия, запасённая в контуре, уменьшится в n раз?РешениеЭнергия, запасённая в последовательном контуре, равнаLI 2 CU С2+,22где I – сила тока в цепи, а UС – напряжение на конденсаторе.

Используя результат базовой задачи 11.3.12 и условие малости затухания (Q >> 1, ω0 >> β), для напряжения и силы тока можно записатьследующие приближенные соотношения:W (t ) =dU C= ω0CE0 e −βt sin ω0t .dtТогда для энергии, запасённой в контуре, получимU С (t ) = E0 e −βt cos ω0t ;I (t ) = CCE02 − 2βte= W0 e − 2βt .2Если за время t энергия уменьшится в n раз, тоWW (t ) = 0 = W0 e − 2βt .nОткуда для времени t получимln n = 2βt .Так как затухание мало (ω0 >> β), то, используя соотношениеω Q(11.24) теоретического материала  Q = 0  , получим t =ln n .2β ω0W (t ) =386ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧОтвет: t =Qln n .ω0§ 11.4 Задачи для самостоятельного решенияЗадача 11.4.1. Определитьзависимость от времени зарядаQ(t) на обкладках конденсатора Cвсхеме,приведеннойнарис. 11.16 после замыкания ключа K.Ответ:Q (t ) = E0CРис. 11.16. Соединение элементовцепи в задаче 11.4.1R2(1 − exp( −t / τ) ) , где τ = CR1 R2 .R1 + R2R1 + R2Задача 11.4.2.

Определить закон изменения силы тока I(t) черезисточник постоянного напряжения E0 после замыкания ключа K всхеме, приведенной на рис. 11.17.Ответ:11 t I (t ) = E0  +exp −  , τ  R1 R21где τ =.R2 CРис. 11.17. Соединение элементов цепив задаче 11.4.2Задача 11.4.3. Определить зависимость от времени силы тока IL(t) через катушку индуктивности L в схеме,приведенной на рис. 11.18 после замыкания ключа K.Рис. 11.18. Соединение элементов цепи в задаче 11.4.3Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.Ответ: I L (t ) =387E0  t 1 − exp −   ,R1  τ  11  .где τ = L + R1 R2 Задача 11.4.4.