Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач, страница 61

Т.е. Ẑ = Re( Ẑ ) (1 + i tg φ).Re( Z )Модуль этой величины равен вышеприведенному значению Z0.3) Вначале рекомендуется ознакомиться с решениями базовыхзадач 12.3.1-12.3.3, т.к. при решении ряда последующих используются результаты, полученные в этих задачах.tg φ =Задача 12.3.1 (базовая задача). Конденсатор емкостью 20 мкФи резистор, сопротивление которого равно 159 Ом, соединены последовательно с генератором переменного напряжения (частотаν = 50 Гц, эффективное напряжение Uэ = 120 В).Определить зависимость от времени силы тока в цепи I(t) и напря-401Гл. 12.

Цепи переменного токажений на конденсаторе UC (t) и резисторе UR (t).РешениеПоложим, что ЭДС зависит от времени как E = E0 cos(2πνt), гдеE0 = 2 Uэ ≈ 170 В – амплитуда источника ЭДС.При решении этой задачи можно воспользоваться как методомвекторных диаграмм, так и методом комплексных амплитуд.1) Решение методом векторных диаграмм (рис. 12.1)Выберем в качестве исходного направления направление векторатока I, поскольку ток одинаков во всей цепи.Вектор UR параллелен вектору тока I и имеетIUR длину UR = I R.φВектор напряжения на конденсаторе UС перпендикулярен к I (сдвинут по фазе наπIугол − ), его длина UС =.2ωCE0UCВсе элементы цепи соединены последовательно, поэтому E0 = UR + UC (векторная сумма).Рис.

12.1. Векторная диаПоскольку исходной для нас являетсяграмма для последовазависимостьЭДС от времени, то фазы остельной RС-цепи (задачатальныхнапряженийбудем отсчитывать от12.3.1)носительно вектора E0. Тогда фаза φ напряжения UR и тока I положительна и определяется соотношениемU1πtg φ = C =, а фаза напряжения UC будет равна φ – .2U R ωRCУчитывая, что UR = E0 cos φ , UC = E0 sin φ и используя известные из тригонометрии соотношения1tg ϕcos φ =, sin φ =,21 + tg ϕ1 + tg 2ϕможем записать:UR(t)= E011 + tg ϕUC(t) = E02cos(2πνt + φ) , I(t) =tgϕ1 + tg ϕ2cos(2πνt + φ –U R (t ).Rπ).2402ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧПри данных в условии задачи значениях R, C и ν имеемtg φ ≈ 1, т.е. φ = π/4 или 450.

Подставляя эти значения и заданныевеличины E0 и ν в предыдущие соотношения, получаемUR(t) = 120 cos(100πt + π/4) (В), UC(t) = 120 cos(100πt – π/4) (В),I(t) = UR(t)/R ≈ 0.75 cos(100πt + π/4) (А).2) Решение методом комплексных амплитудКак и в методе векторных диаграмм, для комплексныхамплитуд Ê0 , ÛC, ÛR можно записать следующее соотношение:Ê0 =ÛC +ÛR , где ÛR = Î R , ÛC =IˆIˆ − i π / 2.e=i ωC ωC1  = Ẑ Î , где Ẑ = Z0 eiϕ –Отсюда получим: Ê0 = Iˆ R +i ωC комплексное сопротивление (импеданс) цепи.

ЗдесьZ0 = R 2 +11= R 1 + tg2ϕ , tg φ = −<0.2ωRC( ωC )В отличие от предыдущего рассмотрения, в этих формулах ϕпредставляет собой сдвиг фазы ЭДС относительно фазы тока, ипоэтому ϕ < 0. Окончательный результат в комплексной записибудет иметь следующий вид:Î=E0 − iϕ E0 + i |ϕ|E0 i ( − ϕ − π / 2 )E0 i (|ϕ|− π / 2 ).e =e , ÛR = ÎR, ÛC =e=eZ0Z0ωCZ 0ωCZ 0Взяв реальную часть от полученных комплексных переменных,получим тот же результат, что и при использовании методавекторных диаграмм.Ответ: UR(t) = 120 cos(100πt + π/4) (В),UC(t) = 120 cos(100πt – π/4) (В),I(t) = UR(t)/R ≈ 0.75 cos(100πt + π/4) (А).Задача 12.3.2 (базовая задача).

Резистор R, конденсатор С ииндуктивность L соединены в последовательную цепь (рис. 12.2а) иподключеныкгенераторупеременногонапряжения403Гл. 12. Цепи переменного токаE(t) = E0 cos(ωt).1) Определить амплитудные значения тока в цепи I0 и напряжений на конденсаторе и индуктивности (UC и UL) и сдвиг фазы токаLϕI относительно фазы ЭДС.~ E(t) C2) При каких частотах ω эти амплитуды будут иметь максимальныеRзначения? Чему равны эти максимальные значения? При расчётахположить, что добротность Q >> 1. Рис.

12.2а. ПоследовательнаяRLC-цепь (задача 12.3.2)3) Исследовать случаи ω → 0 иω → ∞.Решениеа) Решение методом комплексных амплитуд1. Ток в цепиКомплексное сопротивление цепи имеет вид1ωL −1iϕωC .Zˆ = R + i  ωL − = Z 0e , tg ϕ =ωC RЗдесь φ – сдвиг фаз между напряжением генератора и током вцепи,21 Z 0 = R 2 +  ωL −ωC – модуль полного сопротивления цепи (импеданса). Комплекснаяамплитуда Î тока в цепи равнаEEEIˆ = 0 = 0 e − iϕ = 0 eiϕ I ,Z0Zˆ Z 0где сдвиг фаз ϕI тока относительно напряжения генератораопределяется соотношением1− ωLtg ϕ I = tg( −ϕ) = ωC.RОтсюда сразу получаем, что амплитуда тока в цепи равна404ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧI0 =E0=Z0E01 R 2 +  ωL −ωC 2.Максимальное значение амплитуды тока, а значит, инапряжения на сопротивлении R, достигается на резонанснойчастотеω pI = ω0 =1Eи равно I p 0 = 0 .RLCПри ω → 0 амплитуда тока также стремится к нулю, а сдвигфаз ϕI → +π/2 (ток опережает напряжение). Если ω → ∞, то токI → 0, а сдвиг фаз ϕI → – π/2 (ток отстает от напряжения).2. Напряжение на конденсатореКомплексная амплитуда Û C напряжения на конденсаторе равна:Iˆ1 E0E0 i ( −φ−π /2)E0 i ( φI −π/2).Uˆ C ===e=eˆωCZ 0i ωC iωC Z ωCZ 0Фаза напряжения на конденсаторе ϕС = ϕI − π 2 отстаёт от фазытока на 90º.Для удобства дальнейшего анализа преобразуем величину1 (iωC Ẑ ), подставив в нее Zˆ = R + i  ωL −:ωC1iωCZˆ = (1 − ω2 LC ) + iωrC = 2 ( ω02 − ω2 ) + i 2βω .ω0[]Здесь ω0 = 1 LC , β = R 2 L .

Теперь зависимость амплитудынапряжения на конденсаторе от частоты ω может бытьпредставлена в следующем видеω02E0UC =.( ω20 − ω2 ) 2 + 4β 2 ω2Максимальное значение UС достигается при резонансной час1  , где Q – добротность контура.тоте ω2pC = ω02 − 2β 2 = ω02 1 −2Q 2 При ω = ωрС резонансная амплитуда напряжения на конденсаторе405Гл. 12. Цепи переменного токаравнаUрС =ω20 E04β 2 ( ω02 − β 2 ).Если Q >> 1, то UрС ≈ QE0.В области низких частот напряжение на конденсаторе равнонапряжению генератора UС = E0 , и совпадает с ним по фазе(ϕС = 0). В области высоких частот (ω → ∞) UС → 0, а сдвиг фазϕС → (–π).3. Напряжение на катушке индуктивностиКомплексная амплитуда Û L напряжения на индуктивностиравнаπi (φ + )ωLI2 .Uˆ L = i ωLIˆ = E0eZ0Фаза напряжения на катушке ϕL = ϕI + π 2 опережает фазу токана 90º.Проводя расчёты, подобные расчётам в пункте 2 настоящейзадачи, и опуская промежуточные выкладки, получим:ω2E0UL =.( ω02 − ω2 ) 2 + 4β2 ω2Максимальное значение UL достигается при резонанснойчастотеω20ω pL =ω02 − 2β2и равноUpL = U L (ω pL ) =E0ω0QE0=.2 β  1− 12β  1 − 2 4Q 2 ω0 Если Q >> 1, то UрL ≈ QE0.В области высоких частот (ω >> ω0) индуктивное сопротивлениевелико по сравнению с сопротивлением конденсатора и активнымсопротивлением, поэтому напряжение на индуктивности фактическиравно напряжению генератора, т.е.

UL = E0 , и совпадает с ним по фа-406ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧзе. В области низких частот напряжение на катушке индуктивностиблизко к нулю.При малом затухании все три резонансные частоты ϕрI, ϕрC иϕрL практически совпадают. Поскольку амплитуды напряжений навсех элементах при этом максимальны, это называется резонансомнапряжений [1, §50]б) Решение методом векторных диаграммВекторная диаграмма для последовательной RLC цепи представлена на рис. 12.2б (см.

также задачуUL = ωLI0,12.3.6).Здесь:UR = rI0,ULUC = I0/(ωC), где I0 – амплитуда тока в цепи.Векторы E0, UR, (UL+ UC) составляютE0прямоугольный треугольник. ПоэтомуUL+UCможно записать:φ222E0 = UR + (UL – UC) , tg φ = (UL – UC)/UR .IURУчитывая взаимосвязь между амплитудой тока в цепи и амплитудами напряUCжений на резисторе, конденсаторе и индуктивности (12.6)-(12.8), получим:Рис.12.2б.ВекторнаяI0 =E01 R 2 +  ωL −ωC 2, UL = ωLI0,диаграммадляпоследовательной RLC-цепи12.3.2I0.ωCСдвиг фазы напряжения генератора E(t) относительно тока вцепи равен1ωL −ωC .tg ϕ =RВ примере, показанном на рис.12.2 ϕ > 0, а сдвиг фазы токаотносительно напряжения генератора φI = –ϕ отрицателен, т.е.

токI(t) запаздывает по фазе относительно напряжения генератора E(t).Дальнейший расчёт, в соответствии с вопросами 2 и 3 условия за-UC =407Гл. 12. Цепи переменного токадачи, можно провести так же, как это сделано выше.Ответ: 1) I 0 =E01 R 2 +  ωL −ωC 2, UC =ω02 E0( ω20 − ω2 ) 2 + 4β 2 ω2,1− ωLUL =, tg ϕ I = ωC;R( ω02 − ω2 ) 2 + 4β 2 ω2ω2 E02) I p 0 =E0; UрС ≈ UрL ≈ QE0, ω рез ≈ ω0 =R1;LC3) При ω → 0: I → 0, ϕI → +π/2;UС ≈ E0, UR ≈ UL ≈ 0.E0, ϕI → 0, UR ≈ E0, UрС ≈ UрL ≈ QE0;Rω → ∞: I → 0, ϕI → – π/2; UL ≈ E0 , UR ≈ UС ≈ 0.ω → ωрез: I p 0 =Задача 12.3.3 (базовая задача). Конденсатор и резистор соединены последовательно и включены в цепь переменного тока снапряжением Eэ = 50 В и частотой ν = 50 Гц.

Какую емкость должениметь конденсатор для того, чтобы через резистор протекал токI = 0,1 А и напряжение на резисторе было равно UR = 30 В? Напряжения и токи понимаются как эффективные.РешениеПри решении этой задачи можно использовать два способа.Первый способ основан на непосредственном использованиирезультатов задачи 12.3.1. Полученные там соотношения дляамплитуд тока и напряжения можно поделить на2 и сразузаписать их для эффективных значений:U11UR = Eэ, tgφ = −, где R = R , ω = 2πν.2ωRCI1 + tg ϕОтсюда следует C =IωU R tg ϕОкончательно получаем2, где tg φ = E0  − 1 .UR 408ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.