Задача 8. Спектр поглощения молекулярного иода. (Задачи атомного практикума)

Московский Государственный Университетим. М.В. ЛомоносоваНАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ им. Д.В.СКОБЕЛЬЦИНААтомный практикумМосковский ГосударственныйУниверситет им. М.В. ЛомоносоваНАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ им. Д.В.СКОБЕЛЬЦИНАБ.А.Брусиловский, Г.И.Горяга ,С.В.Ищенко, С.С.Красильников,Е.Ю.МелкумоваАтомный практикумСпектр поглощениямолекулярного иодаЛабораторная работа № 8Спектр поглощениямолекулярного иодаЛабораторная работа № 8Под редакцией Красильникова С.С.УНЦ ДОМосква2005УНЦ ДОМосква20051УДК 539.18ВВЕДЕНИЕББК 22.28Б.А.Брусиловский, Г.И.Горяга ,С.В.Ищенко, С.С.Красильников,Е.Ю.Мелкумова .АТОМНЫЙ ПРАКТИКУМ. Спектр поглощениямолекулярного иода.Лабораторная работа №8.Под редакцией Красильникова С.С.Учебное пособие. М.

:Издательский отдел УНЦ ДО , 2005 . – 58 стр.IBSN 5-211-03287Лабораторная работа из цикла «Атомный практикум» физического факультета МГУ по общемукурсу «Атомная физика».Для студентов физического факультета МГУ.ISBN 5-211-03287© Б.А.Брусиловский, Г.И.Горяга ,С.В.Ищенко, С.С.Красильников, Е.Ю.Мелкумова©Московский ГосударственныйУниверситет, 20052Как известно, спектры свободных атомовсостоят из отдельных линий, длины волн которых характеризуют переходы между энергетическими состояниями электронов в атоме. В случаемолекул приходится иметь дело с более сложными спектрами, которые нельзя объяснить спомощью модели, используемой при описанииатомных спектров.

Это связано с тем, что присоединении атомов в молекулы их электронныеоболочки объединяются. Электрическое полеперестает быть сферически симметричным. Появление новых степеней свободы движения вмолекуле приводит к усложнению структурыэнергетических уровней молекулы, что отражается на структуре молекулярных спектров.Как и в атоме, в молекуле имеется быстрое движение электронов, и с этим связанаэлектронная энергия молекулы Ee ; кроме этогопроисходит периодическое изменение относительного расположения ядер - колебательноедвижение и периодическое изменение ориентации молекулы как целого - вращательное движение молекулы.

Этим движениям соответствуютдва вида энергии: колебательная E v и вращательная E J . Полную энергию молекулы можнорассматривать как сумму энергий электронного,колебательного и вращательного движенийE=Ee+3Ev+EJ.(В.1)Такое разделение возможно в силу слабойзависимости друг от друга степеней свободыдвижения молекулы, представляющих соответствующие виды движений и их энергий. Электронная, колебательная и вращательная энергиисущественно отличаются по величине, их соотношение может быть представлено оценкойEe : E v : E J ≈ 1 :m/M:m/ MEe ~pehR∼.(В.3)Кинетическая энергия электрона, следовательно, имеет порядок величины~.mRh2e2~2RmR(В.2)Кулоновское отталкивание ядер в молекулекомпенсируется отрицательным электроннымобъемным зарядом, сосредоточенным междуними.

Если R - межъядерное расстояние, тоимпульс электрона, локализованного междуядрами, согласно соотношению неопределенностей, можно оценить величинойmh22.(В.4)Поскольку кинетическая и потенциальнаяэнергии электрона суть величины одного порядка (теорема вириала),где m - масса электрона, M- приведеннаямасса ядер.Эту оценку нетрудно провести на примередвухатомной молекулы.pe2,(В.5)то размер молекулы оказывается величиной порядка атомного размера (боровского радиуса ao )Rh2~me2= ao ≈ 0.5·10-8 см,(В.6)а энергия электрона в молекуле - порядкаатомных энергийEe~h2~ 10 эВ.ma 2o(В.7)Колебательное движение ядер друг относительно друга определяется частотой колебаний ω ∼k / M , где M - приведеннаямасса ядер, k - константа квазиупругой связи.45В разложении потенциала Uв рядТейлора по малым смещениям ядер от положения равновесия x = R − R oU (R) ≅ U ( R o )dx 2величинаRo+…2dx<< 1 .m/M(В.11)EJ(В.8)2= L /2I ,(В.12)2d 2U ( R)Ro2определяетконстанту упругой связи.оценки2∼здесь L - момент количества движения (моментdxd 2U ( R)E v / EeВращательная энергия по порядку величины определяется формулой жесткого ротатора+(R − R o )2d 2U ( R)СледовательноR o ∼k-Полагая дляU (R o )∼R 2oEeR 2o, (В.9)и, используя формулы (В.6) и (В.7), получим≅kh2mR 4o6ции.Согласно правилу квантования , моментколичества движения равен L = h J ( J + 1) .Тогда энергия вращательного движения молекулы имеет порядок величины.EJh2∼MR,2(В.13)а соотношение её с электронной энергией есть;kEv ~ h~ Ee m / MMимпульса) молекулы, I = MR o - ее момент инер-EJ;(В.10)Ee∼7mM.(В.14)Таким образом, характерные значения этихэнергий:E e ∼ 1 ÷ 10 эВ,E v ∼ 10 ÷ 10 эВ,-2EJ-1∼ 10-4 ÷ 10-3 эВ .В действительности различные степени свободы молекулы, хотя и слабо связаны между собой, их взаимодействия проявляются в тонкихдеталях молекулярных спектров.

Спектр двухатомной молекулы существенно отличается отспектров атомов. Наличие колебательных ивращательных степеней свободы приводит к тому, что оптические спектры излучения и поглощения молекулы имеют “полосатый” вид в отличие от “линейчатых” спектров атомов.Для такого сложного образования как молекула решение этого уравнения возможно толькоприближенными методами.

Впервые приближенное решение уравнения Шредингера для про-+стейшей молекулы H 2 было предложено в1927г. М.Борном и Р.Оппенгеймером. На основании приближения Борна-Оппенгеймера (адиабатического приближения) проводится разделение уравнения Шредингера на отдельные уравнения для электронной и ядерной подсистем [1].Из-за большого различия в массах ядра иэлектроны представляют две слабо связанныемежду собой подсистемы - тяжелую и легкую.Ядра движутся настолько медленно, что ихможно считать в первом приближении неподвижными. На основании адиабатического приближения используется теория возмущения смалым параметром m / M « 1 для разделенияядерных и электронных переменных в уравненииШредингера [2].В уравнении Шредингера∧1.СТРУКТУРА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УРОВНЕЙИ СПЕКТРЫ ДВУХАТОМНЫХ МОЛЕКУЛ.Молекула, как и атом, является микроскопической системой, которая подчиняется квантовым законам и обладает совокупностью стационарных состояний с определенными значениямиэнергии – набором дискретных уровней энергии.Уровни энергии молекулы определяются из решения уравнения Шредингера.8H ψ = Eψ∧H∧(1.1)- гамильтониан молекулы ,h2h2 2∇ i2 − ∑∇ j + V nn + V ne + Vee22MmiijH = −∑(1.2)9в котором первые два члена - операторы кинетической энергии ядер и электронов, Vnn , Vne ,Vee- члены, соответствующие потенциальнойэнергии взаимодействия ядер, электронов с ядрами и электронов между собой, Е- допустимоезначение энергии системы, Ψ ( r , R ) - волновая функция, полностью определяющая состояние системы.

Основное допущение адиабатического приближения состоит в том, что волноваяфункция Ψ ( r , R ) может быть представлена ввидепроизведенияΦ n ( R)Ψe (r , R ) • Φ n ( R) ,где- волновая функция, описывающаядвижение ядер и зависящая только от координатядер R ≡ R1 , R2 ,…, Ψe ( r , R ) - волноваяфункция электронов, зависящая от координатэлектронов r ≡ ri , r j ,… и ядер R , но координаты ядер входят в нее только как параметры.Обычно параметрическую зависимость от координат ядер для двухатомной молекулы записывают, вводя межъядерное расстояние R .В адиабатическом приближении вкладкинетической энергии ядер в уравнении (1.1)мал, поэтому при использовании метода разделения движений в данном уравнении можнопренебречь вкладом кинетической энергии ядерh2(т.е. оператором − ∑∇ i2 )i 2M i10∧H e Ψe (r , R )∧He=Ee ( R ) Ψe (r , R )h2 2= −∑∇ + Vnn + Vne + Vee .jj 2m,(1.3)(1.4)Уравнение (1.3) описывает движение электронов в поле неподвижных ядер.

В этом уравнении для электронного состояния Ψe ( r , R )энергия Ee ( R ) есть полная энергия электронов, включающая энергию электростатическогоотталкивания ядер. Эту величину называютэлектронным термом.Так как электроны движутся значительно быстрее ядер, то энергия электронов принимаетзначение, соответствующее положению ядер.Прибавив к энергии электронов кулоновскуюэнергию отталкивания ядер получаем потенциальную энергию, под влиянием которой ядра совершают колебания. Таким образом, электронный терм и есть, фактически, потенциальнаяэнергия взаимодействия ядер.