Задача 19. Спектр гелия. (1121311)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ПРИНЦИП ТОЖДЕСТВЕННОСТИЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦИ ЕГО ПРОЯВЛЕНИЕВ СПЕКТРЕ ГЕЛИЯ2011Разработано в НИИ Ядерной ФизикиМосковского Государственного Университетаим. М.В. Ломоносова2ОГЛАВЛЕНИЕВведение...............................................................................................................................................3Обменное вырождение в двухэлектронной системе........................................................................3Изучение спектра Не..........................................................................................................................6Аппаратная (прибор) и компьютерная части....................................................................................8Методика эксперимента ...................................................................................................................10Порядок работы..................................................................................................................................10Обработка записанного спектра:......................................................................................................11Определение обменного расщепления............................................................................................14Задание................................................................................................................................................15Приложение.

Метод наименьших квадратов..................................................................................16Литература..........................................................................................................................................203ВведениеИзучение постулатов квантовой механики представляется важным этапом вучебном процессе, поскольку каждый постулат ставит перед студентом, как иученым, вечный вопрос: «почему?».

Почему постулируемое уравнениеШредингера есть единственно правильное уравнение, описывающееопределенную область явлений микромира? Особенно интересны с нашей точкизрения постулаты, которые не имеют никаких аналогов в классическоймеханике. Одним из таких постулатов является принцип тождественности (илинеразличимости) элементарных частиц. Мы остановимся на этом принципе,который приводит к чисто квантово-механическому явлению - обменномувырождению и снятию его за счет возмущения, энергия которого обычноназывается обменным взаимодействием и может быть достаточно простоопределена экспериментально и сравнена с теоретическим расчетом.

Мы небудем останавливаться подробно на теоретическом обзоре, поскольку принциптождественности и его следствия рассматриваются в любом курсе квантовоймеханики [1,2,3].Обменное вырождение в двухэлектронной системеПринцип тождественности проявляется лишь в том случае, когда числоодинаковых элементарных частиц N ≥ 2. Мы рассмотрим простейшую систему,содержащую два электрона – атом гелия.Уравнение Шредингера для такого атома имеет вид:Hˆ Ψ (1,2) = EΨ (1,2)(1)где операторHˆ = Tˆ1 + U 1 + Tˆ2 + U 2 + U 12- представляет собой гамильтониан атомной системы, в котором:22ˆˆT1 = −∆ 1 и T2 = −∆2m2m2- операторы кинетической энергии первого и второго электронов,2e 22e 2U=−и 2r1r2- потенциальные энергии первого и второго электронов в поле ядра (r1 и r2 –расстояния электронов от ядра), аU1 = −U 12 =e2r124- потенциальная энергия отталкивания двух электронов (r12 – расстояние междуэлектронами).Наличие именно этой величины, как известно, не дает возможности найтитакую систему координат, в которой переменные можно было бы разделить.Наиболее простым и наглядным приближенным методом решения такогоуравнения является теория возмущений, используемая в случае, когда малойвеличиной U12 в уравнении (1) в нулевом приближении можно пренебречь.Удалив этот член, мы получимуравнение Шредингера в нулевомприближении, которое можно записать в виде:Hˆ 0 Ψ 1 (1,2) = E0 Ψ 1 (1,2)00где Hˆ 0 = Hˆ 1 + Hˆ 2 ; E0 = E n + E m ; Ψ 1 (1,2) = ψ n (1)ψ(2)m( 2) .Уравнение (2) распадается на систему из двух идентичных уравнений,описывающих одноэлектронную задачу в кулоновском поле: Hˆ 1ψ n (1) = E n0ψ n (1) Hˆ 2ψ m (2) = E m0ψ m (2)(3)решения которой ψ n (1) и ψ m (2) хорошо известны (это волновые функцииэлектрона в кулоновском поле, например, в атоме водорода).Уже на данном этапе видно, что решения уравнения (2) имеют обменноевырождение.

Действительно, кроме функции Ψ 1 (1,2) решением уравнения (2)является и функция Ψ 2 ( 2,1) , а также любая их линейная комбинация:Ψ = C1Ψ 1 (1,2) + C 2 Ψ 2 (2,1)(4)Можно показать, что правильными решениями нулевого приближения как разявляются две такие линейные комбинации:ΨSΨA1{ψ n (1)ψ m (2) + ψ n ( 2)ψ m (1)}21={ψ n (1)ψ m (2) − ψ n (2)ψ m (1)}2=(5)(6)обладающие свойствами обменной симметрии:Ψ S не меняет свой знак при обмене электронами и называется симметричной.Ψ A меняет знак при обмене и называется антисимметричной.(5) и (6) - два решения при одном собственном значении энергии E0.Теперь перейдем к первому приближению теории возмущений, в которомвырождение будет снято. Для этого к гамильтониану нулевого приближениянужно добавить отброшенный член:5U 12 =e2,r12используя решения (5) и (6) нулевого приближения:( Hˆ 0 + U 12 ) ΨS,A= EΨ(7)S,Aс полной энергией, равной:E = E0 + K ± A .(8)ЗдесьK=∫ ψ n (1)2e2ψr122m( 2) dτ 1 dτ 2 ,(9)так называемый кулоновский интеграл, представляет собой энергию2кулоновского отталкивания электронных облаков ( ψ n (1) представляет собой2электронную плотность первого электрона, а ψ m (2) - второго) .

Третий член в(8) A – называется обменным интегралом и представляет собой принципиальноновый тип интеграла, характерного для квантовой механики многиходинаковых элементарных частиц:e2A = ∫ ψ (1)ψ m (2) ψr12*nm(1)ψ n* (2)dτ 1 dτ2(10)dτ 1dτ 2 - элементы объема первого и второго электронов.Разумеется, как К, так и А представляют собой энергию.Как видно из (10), каждый электрон оказывается одновременно в двух разных(n-ом и m-ом) состояниях (термин «обмен» произошел из решения по теориивозмущений задач, зависящих от времени, где показывается, что электроны сопределенной частотой обмениваются местами, переходя из n-ого состояния вm-ое и обратно).Обменный интеграл представляет собой типичную квантово-механическуюреализацию принципа тождественности элементарных частиц.

Обменныйинтеграл стремится к нулю по мере уменьшения перекрывания электронныхоблаков в n-ом и m-ом состояниях. В данной задаче оба интеграла K и Aявляются положительными величинами, что приводит к тому, что энергиясимметричного состояния:E = E0 + K + Aбольше, чем энергия антисимметричного:(11)6E = E0 + K − A(12)Напомним, что спектр гелия состоит из системы синглетных и системытриплетных уровней (парагелий и ортогелий соответственно).Нетрудно показать, что симметричным состояниям соответствуют синглетныетермы, а антисимметричным – триплетные термы в спектре гелия (см.

[1]).Таким образом, энергетический уровень любого состояния сдвигается вверх изза кулоновской поправки и раздвигается на 2A из-за обмена.Исключение составляет основное состояние (1s2), которое не вырождено иучитывает только поправку на кулоновское отталкивание электронов. Такимобразом, обменное взаимодействие приводит к расщеплению, равному 2A.синглеты2AKЭнергиянулевогоуровняКулоновскаяпоправкаK+AK-AтриплетыКулоновскаяи обменнаяпоправкиРис. 1.

Корреляционная диаграмма обменного расщепления.На рисунке триплетные уровни из-за малого расщепленияизображены одной линией.Заканчивая краткое описание принципа тождественности и его следствия –обменных интегралов, подчеркнем, что последние возникают не из-за новыхтипов взаимодействий – они как были электростатическими, так и остаютсяими, а из-за свойств волновой функции тождественных частиц, которая из-заучета симметрии относительно обмена распадается на два решения.Изучение спектра НеТеперь нам предстоит выяснить, как указанные выше поправки отразятся наспектре гелия.7Приведем энергетическую схему спектра гелия (с интересующими наспереходами):ОбменноерасщеплениеРис.2. Схема уровней энергии и переходов в спектре He.Каждый триплетный терм представлен одной чертой.Как видно из схемы, 2s уровни синглета и триплета расположены друготносительно друга в соответствии с расщеплением 2s терма в результатеобменного взаимодействия.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лабораторной работы