Д.В. Гальцов - Лекции по физике для математиков (Часть 2), страница 10

÷ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑÉÍÐÕÌØÓÁ ÓÌÅ×Á ÏÔ ÔÏÞËÉ ÐÏ×ÏÒÏÔÁ ÏÔ×ÅÞÁÀÔ ' = , ÐÒÉÞ£Í ÏÂÈÏÄ ÔÏÞËÉ = 0 × ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ Ó×ÅÒÈÕ (ÔÏ ÅÓÔØ ÐÅÒÅÈÏÄ ÏÔ ' = 0 Ë ' = ) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ jpj ! j j1=2ei=2 , Á ÏÂÈÏÄ ÓÎÉÚÕ |jpj ! j j1=2e i=2 . ó ÕÞ£ÔÏÍ ÍÎÏÖÉÔÅÌÑ p1p , ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÆÏÒÍÕÌÙ ÓËÌÅÊËÉC1 = Dei=4 ; C2 = De i=4 :(5)úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÏÂÈÏÄÅ ÔÏÞËÉ ÐÏ×ÏÒÏÔÁ × ×ÅÒÈÎÅÊ ÐÏÌÕÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÍÙ ÐÏÌÕÞÉÌÉ ÌÉÛØ ÏÄÎÏ ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ× ÓÕÍÍÅ ÒÅÛÅÎÉÊ (1). ðÏÔÅÒÑ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÉ Ï ÄÒÕÇÏÍ ÓÌÁÇÁÅÍÏÍ Ó×ÑÚÁÎÁ Ó ÔÅÍ, ÞÔÏ × ×ÅÒÈÎÅÊ ÐÏÌÕÐÌÏÓËÏÓÔÉÏÎÏ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÜËÓÐÏÎÅÎÃÉÁÌØÎÏ ÍÁÌÙÍ. þÔÏÂÙ ÏÂÎÁÒÕÖÉÔØ ÅÇÏ ÐÒÉÓÕÔÓÔ×ÉÅ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍ ÏÂÈÏÄ ÔÁËÖÅ ×ÎÉÖÎÅÊ ÐÏÌÕÐÌÏÓËÏÓÔÉ.éÔÁË, ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÓËÌÅÅÎÎÕÀ ÐÁÒÕ Ë×ÁÚÉËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÈ ÒÅÛÅÎÉÊ × ×ÉÄÅ Rx08>11pcospdx>4 ;< p ~x(x) = > Rx 1>: 2pjpj exp 1~ jpjdx ;x0x < x0 ;x > x0 ;(6)36çìá÷á 3.ïäîïíåòîïå ä÷éöåîéåÇÄÅ ÎÏÒÍÉÒÏ×ÏÞÎÙÊ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ÐÅÒÅÄ ËÏÓÉÎÕÓÏÍ ×ÙÂÒÁÎ ÒÁ×ÎÙÍ ÅÄÉÎÉÃÅ.áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÍÏÖÎÏ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÓËÌÅÅÎÎÕÀ ÐÁÒÕ ÄÌÑ ÌÅ×ÏÊ ÔÏÞËÉ ÐÏ×ÏÒÏÔÁ, ËÁË ÐÏËÁÚÁÎÏ ÎÁÒÉÓÕÎËÅ 2.

ïÓÔÁ×ÌÑÑ × ÏÂÌÁÓÔÉ x < x0 ÌÉÛØ ÜËÓÐÏÎÅÎÃÉÁÌØÎÏ ÚÁÔÕÈÁÀÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ8 x>1 cos 1 R p dx ;p>4< p ~ x0(x) = > xR0 >: 2p1jpj exp ~1 jpjdx ;x > x0 ;x < x0 :x(7)óÌÅÄÕÅÔ ÐÏÄÞÅÒËÎÕÔØ, ÞÔÏ ÓËÌÅÊËÕ ÕËÁÚÁÎÎÙÍ ÍÅÔÏÄÏÍ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÇÏòÉÓ. 2. ìÅ×ÁÑ ÔÏÞËÁ ÐÏ×Ï- ÐÒÏÄÏÌÖÅÎÉÑ ÕÄÁ£ÔÓÑ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÔØ ÌÉÛØ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÊ, ÜËÓÐÏÎÅÎÃÉÁÌØÎÏ ÚÁÔÕÒÏÔÁÈÁÀÝÉÈ ×ÎÅ ÏÂÌÁÓÔÉ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÇÏ Ä×ÉÖÅÎÉÑ; ÐÒÉ ÜÔÏÍ × ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÐÏÌÎÏÅ ÏÔÒÁÖÅÎÉÅ (ÁÍÐÌÉÔÕÄÙ C1 É C2 ÐÏ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÅ ÒÁ×ÎÙ). áÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÅ ÐÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ ÜËÓÐÏÎÅÎÃÉÁÌØÎÏ ÒÁÓÔÕÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑÔÒÅÂÕÅÔ ÂÏÌØÛÅÊ ÁËËÕÒÁÔÎÏÓÔÉ, É ÍÙ ÐÏÌÕÞÉÍ ÎÉÖÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÄÒÕÇÏÇÏ ÐÒÉ£ÍÁ.òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÐÅÒØ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÞÁÓÔÉÃÙ × ÐÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÏÊ ÑÍÅ (ÒÉÓ. 3). åÓÌÉ ×ÎÕÔÒÉ ÑÍÙ ÕËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ ÂÏÌØÛÏÅ ÞÉÓÌÏ ÄÅÂÒÏÊÌÅ×ÓËÉÈ ×ÏÌÎ, ÔÏ ÎÁ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÍ ÕÄÁÌÅÎÉÉ ÏÔ ÔÏÞÅËÐÏ×ÏÒÏÔÁ ÒÅÛÅÎÉÑ (6) Ó x0 = x2 É ÒÅÛÅÎÉÑ (7) Ó x0 = x1 ÄÏÌÖÎÙ ÓÏ×ÐÁÄÁÔØ ×ÎÕÔÒÉ ÑÍÙ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÚÎÁËÁ, ÐÏÓËÏÌØËÕ ÜËÓÐÏÎÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ €È×ÏÓÔف ×ÏÌÎÏ×ÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ×ÎÅ ËÌÁÓÉÞÅÓËÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ×ÙÂpÁÎÙ ËÁË ÓÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍ, ÔÁË É Ó pÁÚÌÉÞÎÙÍ ÚÎÁËÏÍ.

ïÔÍÅÔÉÍ ÅÝÅ pÁÚ, ÞÔÏ × ÓÏÓÔÏÑÎÉÑÈ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÇÏ ÓÐÅËÔÒÁ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÍÏÖÎÏ ×ÓÅÇÄÁ ×ÙÂÒÁÔØ ×ÏÌÎÏ×ÕÀÆÕÎËÃÉÀ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ. üÔÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÐÏÓÔÏÑÎÓÔ×Á ×ÒÏÎÓËÉÁÎÁ, ÐÏÓÔÒÏÅÎÎÏÇÏ ÉÚ É : ÐÏÓËÏÌØËÕ ÎÁ 1 ×ÒÏÎÓËÉÁÎ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ, É ÄÏÌÖÎÙòÉÓ. 3. ðÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÁÑÂÙÔØ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÙ, É ×ÙÂÉÒÁÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÏÓÔÉ ÄÅÊÓÔÑÍÁ×ÉÔÅÌØÎÙÍ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÉÓËÏÍÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ.ðpÉpÁ×ÎÉ×ÁÑ ×ÙpÁÖÅÎÉÑ (6) Ó x0 = x2 É (7) Ó x0 = x1 ×ÎÕÔpÉ ÑÍÙ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÚÎÁËÁ, ÐÏÌÕÞÁÅÍÕÓÌÏ×ÉÅ Ë×ÁÎÔÏ×ÁÎÉÑ âÏÒÁ{úÏÍÍÅÒÆÅÌØÄÁ :Zx2x1 p dx = ~ n + 21 ;(8)ÇÄÅ n = 0; 1; 2; : : :.

ìÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÜÔÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÒÁ×ÎÁ ÐÏÌÏ×ÉÎÅ ÐÌÏÝÁÄÉ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ÆÁÚÏ×ÏÊ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÅÊ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÇÏ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ (p; x), ÐÏÜÔÏÍÕ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (8) ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÆÏpÍÕÌÙâÏÒÁ (2.2) ÌÉÛØ ÓÌÁÇÁÅÍÙÍ 1=2. ðÏÓËÏÌØËÕ ÐÒÉ ×Ù×ÏÄÅ (8) ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÏ Ë×ÁÚÉËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÅ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÉÅ, ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÅ ×ÄÁÌÉ ÏÔ ÔÏÞÅË ÐÏ×ÏÒÏÔÁ, ÐÒÉÞ£Í ÍÁÓÛÔÁÂÏÍ ÄÌÉÎÙ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅ-ÂÒÏÊÌÅ×ÓËÁÑ ÄÌÉÎÁ×ÏÌÎÙ ~=p, ÌÅÇËÏ ÐÏÎÑÔØ, ÞÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ ÐÒÉÍÅÎÉÍÏÓÔÉ ÆÏÒÍÕÌÙ (8) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ n 1. æÁËÔÉÞÅÓËÉ, Ë×ÁÚÉËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÅ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÉÅ ÞÁÓÔÏ ÄÁ£Ô ÈÏÒÏÛÉÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔp É ÐÒÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÍÁÌÙÈ n. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ,ÄÌÑ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÓÃÉÌÌÑÔÏÒÁ U = m!2 x2=2, x1;2 = 2E=m!2p(x) = m!(x21 x2)1=2 ;(9)É ÉÚ (8) ÓÌÅÄÕÅÔ En = ~!(n + 1=2), ÞÔÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞÎÙÍ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ÐÒÉ ×ÓÅÈ n.ðÏÌÕÞÉÍ ÔÅÐÅÒØ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ÐÒÏÈÏÖÄÅÎÉÑ ÞÅÒÅÚ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÙÊ ÂÁÒØÅÒ × Ë×ÁÚÉËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÍ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÉÉ (ÒÉÓ. 4).

äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÓËÌÅÅÎÎÏÅ × ÔÏÞËÁÈ x1 É x2, ËÏÔÏÒÏÅ × ÏÂÌÁÓÔÉ x > x2ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ ÞÉÓÔÏ ÐÒÏÛÅÄÛÅÊ ×ÏÌÎÙ01ZDi@x>x2 = pp exp ~ p dxA :xx2(10)÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÓËÌÅÅÎÎÙÈ ÐÁÒ (6,7) ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÐÏÓËÏÌØËÕ ÒÅòÉÓ. 4. ðÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÙÊ ÛÅÎÉÅ (10) × ÐÏÄÂÁÒØÅÒÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ ÂÕÄÅÔ ÓÏÄÅpÖÁÔØ ËÁË ÜËÓÐÏÎÅÎÃÉÁÌØÎÏÂÁÒØÅÒ × Ë×ÁÚÉËÌÁÓÓÉÞÅÓ- ÕÂÙ×ÁÀÝÅÅ, ÔÁË É ÜËÓÐÏÎÅÎÃÉÁÌØÎÏ ÒÁÓÔÕÝÅÅ ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ. îÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÐÏÜÔÏÍÕËÏÍ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÉÉÐÏÓÔÒÏÉÔØ ×ÔÏÒÙÅ ÐÁÒÙ ÌÉÎÅÊÎÏ-ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ, ÓËÌÅÅÎÎÙÈ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÑÈ ÐÒÁ×ÏÊ É ÌÅ×ÏÊ ÔÏÞÅË ÐÏ×ÏÒÏÔÁ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÕÞÁÊ ÐÒÁ×ÏÊ ÔÏÞËÉ ÐÏ×ÏÒÏÔÁ, ËÁË ÐÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ.

1. éÝÅÍ ÒÅÛÅÎÉÅ e × ×ÉÄÅ, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÍ (6),x14.37óëìåêëá ë÷áúéëìáóóéþåóëéè òåûåîéêÐÏÄÂÉÒÁÑ ÆÁÚÕ ËÏÓÉÎÕÓÁ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ×ÒÏÎÓËÉÁÎ, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÊ ÉÚ É e, W ( ; e) = e0ÑÎÎÙÍ ÐÒÉ x < x0 Rx08>11pcospdx+=4;>< p ~xe= Rx >A>p: jpj exp ~1 jpjdx ;x0x < x0 ;e 0 ÂÙÌ ÐÏÓÔÏ(11)x > x0:÷ ÏÂÌÁÓÔÉ x < x0 W = ~ 1 , Á × ÏÂÌÁÓÔÉ x > x0 W = A=~, ÏÔËÕÄÁ A = 1. áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÍÏÖÎÏÐÏÓÔÒÏÉÔØ ×ÔÏÒÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÌÑ ÌÅ×ÏÊ ÔÏÞËÉ ÐÏ×ÏÒÏÔÁ, ÒÉÓ. 2:8 x>1 cos 1 R p dx + =4 ;p>< p ~ x0e= xR0 >1>p: jpj exp ~1 jpjdx ;xx > x0 ;(12)x < x0:äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÐÒÏÈÏÖÄÅÎÉÉ ÞÅÒÅÚ ÂÁÒØÅÒ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ÚÑÔØ ÓÐÒÁ×Á ÏÔ ÂÁÒØÅÒÁ x > x2 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÌÉÎÅÊÎÕÀ ËÏÍÂÉÎÁÃÉÀ (7) É (12), Ó×ÏÄÑÝÕÀÓÑ Ë (10).

äÁÌÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÐÒÏÄÏÌÖÉÔØÉÚ ÐÏÄÂÁÒØÅÒÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ × ÏÂÌÁÓÔØ ÓÌÅ×Á ÏÔ ÔÏÞËÉ x1, ÇÄÅ ÏÎÏ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ×ÉÄ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁÃÉÉ" 0101#1 exp @ i Z p dxA + C exp @ i Z p dxA ;=px<x1p~~x1xx1x(13)ÇÄÅ ÎÏÒÍÉÒÏ×ÏÞÎÙÊ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ÐÅÒÅÄ ÐÅÒ×ÙÍ ÓÌÁÇÁÅÍÙÍ ÄÌÑ ÕÄÏÂÓÔ×Á ×ÙÂÒÁÎ ÒÁ×ÎÙÍ ÅÄÉÎÉÃÅ, Á C |ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ, ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÁÑ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÊ ÓËÌÅÊËÉ. ðÅÒ×ÏÅ ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ × (13) ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ×ÏÌÎÕ, Ä×ÉÖÕÝÕÀÓÑ ÓÌÅ×Á ÎÁÐÒÁ×Ï (ÐÁÄÁÀÝÕÀ), ×ÔÏÒÏÅ | ÏÔÒÁÖ£ÎÎÕÀ.

òÅÚÕÌØÔÉÒÕÀÝÉÊ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÐÒÏÈÏÖÄÅÎÉÑ ÞÅÒÅÚ ÂÁÒØÅÒ d = jDj2. ïÐÕÓËÁÑ ÐÒÏÍÅÖÕÔÏÞÎÙÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ, ÐÒÉ×ÅÄ£Í ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ, ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×ÙÊ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÜËÓÐÏÎÅÎÃÉÁÌØÎÏ ÍÁÌÙÈ ÞÌÅÎÏ×:0 Zx2 1d = exp @ ~2 jpjdxA :x1(14)õÓÌÏ×ÉÅ ÐÒÉÍÅÎÉÍÏÓÔÉ Ë×ÁÚÉËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÇÏ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÉÑ ÔÒÅÂÕÅÔ, ÞÔÏÂÙ ÐÏËÁÚÁÔÅÌØ ÜËÓÐÏÎÅÎÔÙ ÐÏ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÅ ÂÙÌ ×ÅÌÉË. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, × Ë×ÁÚÉËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÍ ÐÒÅÄÅÌÅ ÐÒÏÈÏÖÄÅÎÉÅ ÞÅÒÅÚ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÙÊ ÂÁÒØÅÒ ÜËÓÐÏÎÅÎÃÉÁÌØÎÏ ÍÁÌÏ.çÌÁ×Á 4.ôÒ£ÈÍÅÒÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉx 15. íÏÍÅÎÔ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á Ä×ÉÖÅÎÉÑ÷ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÅ ÍÏÍÅÎÔ ÉÍÐÕÌØÓÁ ÍÁÔÅÒÉÁÌØÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔ ËÁË ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÒÁÄÉÕÓ-×ÅËÔÏÒÁ ÎÁ ÉÍÐÕÌØÓ:L = [r p]:(1)óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ× ËÏÏÒÄÉÎÁÔ É ÉÍÐÕÌØÓÁ ÄÁ£Ô ÓÁÍÏÓÏÐÒÑÖÅÎÎÙÊ ÏÐÅÒÁÔÏÒ, ËÏÔÏpÙÊ × ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÍ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:L = ~i [r r]:(2)úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ×ÅËÔÏpÎÏÅ ÐpÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÈÏÄÑÔ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ ËÏÍÐÏÎÅÎÔÙ pÁÄÉÕÓÁ-×ÅËÔÏpÁ É ÉÍÐÕÌØÓÁ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÐpÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÁÍÏÓÏÐpÑÖÅÎÎÙÍ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏÍ ÂÅÚ ÄÏÐÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÉÍÍÅÔpÉÚÁÃÉÉ:Lx = ~i (y@z z@y );Ly = ~i (z@x x@z );(3)Lz = ~i (x@y y@x ):÷ÙÞÉÓÌÉ× ËÏÍÍÕÔÁÔÏÒÙ, ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ× ÔÏÍ, ÞÔÏ ËÏÍÐÏÎÅÎÔÙ ÍÏÍÅÎÔÁ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÁÌÇÅÂÒÕ SO(3):[Li ; Lj ] = i~ijk Lk ;(4)ÇÄÅ ijk | ÓÉÍ×ÏÌ ìÅ×É{þÉ×ÉÔÁ É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÁÍÉ SO(3)-ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ×ÏÌÎÏ×ÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ.

äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÐÒÉ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÈ ÐÏ×ÏÒÏÔÁ ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÁÌÙÊ ÕÇÏÌ'r ! r0 = r [' r](5)ÉÍÅÅÍ(r0 ) = (r) [ ' r] r = (r) '[r r] = 1 i ( ' L) :(6)~÷ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ (r; ; '), ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ x = r sin cos ', y = r sin sin ',z = r cos , ÕÄÏÂÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÅ ËÏÍÂÉÎÁÃÉÉ ËÏÍÐÏÎÅÎÔ Lx É Ly É ÐpÏÅËÃÉÀ ÎÁ ÏÓØ z:ë×ÁÄÒÁÔ ÍÏÍÅÎÔÁ ÉÍÐÕÌØÓÁL = Lx iLy = ~ei' (@ + i ctg @' );Lz = ~i @' :L2 = L2x + L2y + L2z =~2 11 @2 @sin@+sin sin2 '(7)(8)(9)x15.íïíåîô ëïìéþåóô÷á ä÷éöåîéñ39ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÏÐÅÒÁÔÏÒ ìÁÐÌÁÓÁ ÎÁ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÓÆÅÒÅ. âÕÄÕÞÉ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÍ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ×ÒÁÝÅÎÉÊ, ÜÔÏÔ ÏÐÅÒÁÔÏÒ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÅÔ ÓÏ ×ÓÅÍÉ ËÏÍÐÏÎÅÎÔÁÍÉ ÍÏÍÅÎÔÁ, É ËÁË ÏÔÍÅÞÁÌÏÓØ × x 7, ÉÍÅÅÔ ÏÂÝÉÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ Ó ÏÄÎÏÊ ÉÚ ËÏÍÐÏÎÅÎÔ, × ËÁÞÅÓÔ×Å ËÏÔÏpÏÊ ÕÄÏÂÎÏ ×ÙÂpÁÔØ Lz .

þÔÏÂÙ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØÓÐÅËÔÒ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ× L2 É Lz , ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÍ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÅÍ, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÎÏÍÕ × x 13 ÄÌÑ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÓÃÉÌÌÑÔÏÒÁ.ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ L2 × ×ÉÄÅL2 = L L+ + L2z + ~Lz(10)É ÐÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ×ÅÌÉÞÉÎÙ L Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÅÓÔÎÉÞÎÙÍÉ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁÍÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÏÂÝÉÈ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ×ÅËÔÏÒÏ× ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ× L2 , Lz , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏpÑÀÝÉÈ ÕpÁ×ÎÅÎÉÑÍL2 j; mi = ~2 j; mi ;Lz j; mi = ~m j; mi ;(11)(12)ÇÄÅ m É | ÂÅÚÒÁÚÍÅÒÎÙÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ.

÷ ÓÉÌÕ ËÏÍÍÕÔÁÃÉÏÎÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ[Lz ; L ] = ~L(13)ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ L j; mi ÔÁËÖÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ Lz Ó ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ~(m 1):Lz (L j; mi) = L Lz j; mi + [Lz ; L ] j; mi = ~(m 1)(L j; mi):(14)ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁÞÁ× Ó ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ m, ÂÕÄÅÍ ÐÏÌÕÞÁÔØ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÉÈ É ÕÂÙ×ÁÀÝÉÈÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ Ó ÅÄÉÎÉÞÎÙÍ ÛÁÇÏÍ. ïÄÎÁËÏ, ËÁË ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁL2z = L2 (L2x + L2y );(15)ÐpÉ ÆÉËÓÉpÏ×ÁÎÏÍ ÓÐÅËÔÒ Lz ÏÇÒÁÎÉÞÅÎ Ó×ÅÒÈÕ É ÓÎÉÚÕ, ÔÁË ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ mmax = l, ÔÁËÏÅ ÞÔÏL+ j; li = 0:(16)ðÒÉÍÅÎÑÑ Ë ×ÅËÔÏÒÕ j; li ÏÐÅÒÁÔÏÒ L2 , ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÊ × ×ÉÄÅ (10), ÐÏÌÕÞÁÅÍ = l(l + 1):(17)÷ ÓÉÌÕ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ (15) ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÉÎ×ÅÒÓÉÉ Lz ! Lz , ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÖÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ mÒÁ×ÎÏ l, ÔÁËÏÅ, ÞÔÏL j; li = 0:(18)óÏÓÔÏÑÎÉÅ j; li ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÐÏ×ÔÏpÎÙÍ ÐpÉÍÅÎÉÅÍ ÏÐÅpÁÔÏpÁ L Ë ÓÏÓÔÏÑÎÉÀ j; li ÞÅÒÅÚ 2l + 1 ÅÄÉÎÉÞÎÙÈ ÛÁÇÏ×.