А.М. Будылин - Ряды и интегралы Фурье, страница 8

Собственные числа образуют бесконечную монотонно возрастающую последовательность, стремящуюся к бесконечностиλ1 < λ 2 < . . . < λ n < . . . ,λn → ∞ .Веб – страницаТитульный листJJIIJIn→∞Это свойство будет доказано в курсе вариационного исчислениия, см. файлvar.pdf.Рассмотрим унитарное пространство непрерывных дифференцируемых функций,удовлетворяющих краевым условиям (4.6), определяя скалярное произведение равенством (4.9). Собственные функции задачи Штурма–Лиувилля yn будем считатьнормированными:Zb2kyn k = |yn (x)|2 ρ(x) dx = 1 .Страница 68 из 127НазадПолный экранaТогда они образуют ортонормированную систему.

Коэффициенты Фурье функцииf (из описанного унитарного пространства) относительно такой ортонормированнойЗакрытьВыходсистемы определены соотношением12Zbcn (f ) = hf |yn i =f (x)yn (x)ρ(x) dx .aРазложение функции f в ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма–Лиувилля имеет вид∞Xf∼cn (f )yn .Ряды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательЛитератураn=1Можно показать, что системы собственных функций регулярных задач Штурма–Лиувилля полны (замкнуты), так что ряд Фурье сходится к функции в среднеквадратичном.4.4.Полнота собственных функций регулярной задачи Штурма–ЛиувилляОграничимся наброском доказательства полноты считая, что:1. ρ = 1 ,Веб – страницаТитульный листJJIIJIСтраница 69 из 1272. Унитарное пространство V1 состоит из вещественных непрерывных функций,удовлетворяющих условиям Дирихле (4.7).НазадВ рассматриваемом случаеПолный экранZbhf |gi =f (x)g(x) dx .Закрытьa12 напомнимо предполагаемой вещественности собственных функцийВыходПоложимZbI(y) ≡ hL(y)|yi =Zb0 0[−(py ) + qy]y dx =a[py 02 + qy 2 ] dx .aРяды ФурьеВ курсе «Вариационное исчисление» будет показано, см.

файл var.pdf, что наименьшее значение квадратичного функционала I(y) при условияхy(a) = y(b) = 0 ,kyk = 1 ,достигается и равноИнтегралы ФурьеПредметный указательЛитератураВеб – страницаmin I(y) = λ1 ,λ1 = I(y1 ) ,где λ1 — наименьшее собственное значение рассматриваемой задачи Штурма–Лиувилля и y1 — соответствующая собственная функция, ky1 k = 1. Более того,имеет место следующее утверждение, известное как вариационный принцип в проблеме собственных значений.Пусть y1 , y2 , . . .

yn−1 — ортонормированная система собственных функций, отвечающих первым n − 1 собственным числам задачи Штурма–Лиувилля, расположенным в порядке возрастания λ1 < λ2 < . . . < λn−1 . Тогда наименьшее значениеквадратичного функционала I(y) при условияхy(a) = y(b) = 0 ,kyk = 1 ,y ⊥ ykТитульный листJJIIJIСтраница 70 из 127∀k = 1, 2, . . . (n − 1) ,Назаддостигается, причемmin I(y) = λn ,λn = I(yn ) ,где λn — n-ое собственное значение рассматриваемой задачи Штурма–Лиувилля иyn — соответствующая собственная функция.Воспользуемся этим принципом для доказательства полноты (замкнутости) системы собственных функций оператора Штурма–Лиувилля L в пространстве V1 .Полный экранЗакрытьВыходПоложимrn = f −n−1Xck yk ,k=1где ck = hf |yk i — коэффициенты Фурье функции f , так что yk ⊥ rn при k < n.ТогдаРяды ФурьеИнтегралы ФурьеhL(rn )|rn i = hL(f )|rn i −n−1Xck hL(yk )|rn i = hL(f )|rn i −k=1n−1Xck λk hyk |rn i ,k=1и в силу hyk |rn i = 0 получаемПредметный указательЛитератураВеб – страницаhL(rn )|rn i = hL(f )|rn i .Титульный листСчитая, что krn k =6 0, полагаемrn = krn ken ,JJIIJIтак чтоken k = 1 ,en ⊥ y1 , .

. . yn−1 .В силу вариационного принципа находимhL(rn )|rn i = krn k2 hL(en )|en i > krn k2minkyk=1,y⊥y1 ,...yn−1hL(y)|yi = λn krn k2 ,Страница 71 из 127Назадоткуда в силу неравенства Шварцаλn krn k2 6 hL(f )|rn i 6 kL(f )k · krn k ,т.е. ввиду λn → +∞ при n → ∞krn k 6Полный экранЗакрытьkL(f )k→ 0.λn n→∞ВыходНо это в точности и означает замкнутость системы собственных функций.Вернемся, теперь, к уравнениюL(y) = f .Заметим, что в силу симметричности LРяды ФурьеИнтегралы Фурьеcn (L(y)) = hL(y)|yn i = hy|L(yn )i = hy|λn yn i = λn hy|yn i = λn cn (y) ,Предметный указательЛитературатак что равенствоλn cn (y) = cn (f )является равенством коэффициентов Фурье L(y) и f . Вопрос о том, будет ли функция∞Xcn (f )y=ynλnn=1действительно являться решением задачи Штурма–Лиувилля, зависит от скоростисходимости этого ряда.4.5.Веб – страницаТитульный листJJIIJIТеорема ШтурмаВ этом параграфе мы познакомимся с характером поведения собственных функцийоператора Штурма–Лиувилля.Теорема 4.1 (Штурм).

Пусть y1 и y2 решения, соответственно, уравненийy 00 + a1 (x)y = 0 ,y 00 + a2 (x)y = 0 ,НазадПолный экранЗакрытьгде a1 и a2 — непрерывные функции, причемa1 (x) 6 a2 (x)(4.10)(4.11)Страница 72 из 127(∀x) .ВыходТогда между любыми двумя нулями решения y1 уравнения (4.10) находится покрайней мере один ноль решения y2 уравнения (4.11):y1 (x1 ) = y1 (x2 ) = 0 ,⇒x1 < x2∃x3 ∈ [x1 , x2 ] :y2 (x3 ) = 0 .Доказательство. Умножим равенствоy100на y2 , а равенствоРяды Фурье+ a1 y1 = 0Интегралы ФурьеПредметный указательЛитератураy200 + a2 y2 = 0на y1 и вычтем первое из второго. ПолучимВеб – страница(y1 y20 − y2 y10 )0 + (a2 − a1 )y1 y2 = 0 .Титульный листПусть x1 и x2 — смежные корни решения y1 .

Предположим, что в интервале [x1 , x2 ]нет корней решения y2 . Без ограничения общности (в силу однородности уравнений)можем считать, что y1 и y2 неотрицательны на интервале [x1 , x2 ]. Проинтегрируемпоследнее равенство в интервале [x1 , x2 ], получимx2 Zx200 (y1 y2 − y2 y1 ) + (a2 − a1 )y1 y2 dx = 0 ,x1x1JJIIJIСтраница 73 из 127откуда−y2 (x2 )y10 (x2 ) + y2 (x1 )y10 (x1 ) 6 0 .НазадНо в силу простоты корней решения y1 и из предположения y1 > 0 на интервале[x1 , x2 ] заключаем, что y10 (x1 ) > 0 и y10 (x2 ) < 0. По предположению, также, y2 > 0 винтервале [x1 , x2 ], т.е.Полный экран−y2 (x2 )y10 (x2 ) + y2 (x1 )y10 (x1 ) > 0 ,противоречие.ЗакрытьВыходПосмотрим теперь на уравнение на собственные значения оператора Штурма–Лиувилля. Воспользуемся простейшей из нормальных форм:−y 00 + ry = λyилиРяды Фурьеy 00 + (λ − r)y = 0 .Напомним, что λn → +∞.

Если λn такое собственное значение, что λn − r > k 2 ,πто соответствующая собственная функция yn в каждом интервале длиныбудетkиметь хотя бы один корень. Это вытекает из теоремы Штурма и того факта, чторешением уравненияy 00 + k 2 y = 0является функция y = C1 cos kx + C2 sin kx, обладающая этим свойством. Такимобразом, собственные функции (с большими номерами) регулярных операторовШтурма–Лиувилля являются осциллирующими.Интегралы ФурьеПредметный указательЛитератураВеб – страницаТитульный листJJIIJIСтраница 74 из 127НазадПолный экранЗакрытьВыходЧасть IIИнтегралы ФурьеПреобразование ФурьеИнтеграл Фурье: интуитивный подходРяды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательПреобразование Фурье абсолютно интегрируемой функцииЛитератураФормула обращенияОбратное преобразование ФурьеВеб – страницаГладкость и скорость убывания преобразований ФурьеТитульный листПространство ШварцаСвертка функцийПримеры и приложенияСводка формулJJIIJIРаспространение тепла в бесконечном стержнеСтраница 75 из 127Частотный спектрДобавлениеНазадПолный экранЗакрытьВыход5.5.1.Преобразование ФурьеИнтеграл Фурье: интуитивный подходРассмотрим непрерывно дифференцируемую на всей оси абсолютно интегрируемуюфункцию f (x):+∞Z1f ∈ C (R) :|f (x)| dx < ∞ .Ряды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательЛитература−∞Разложим ее в ряд Фурье на интервале [−l, l] большой длины 2l:Zl+∞Xπ1f (t)ei l n(x−t) dt ,f (x) =2ln=−∞Веб – страницаx ∈ (−l, l) .Титульный лист−lВведем разбиение оси R точкамиξn =при этомπnlπ∆ξn =l→l→+∞iξn (x−t)f (t)eJIСтраница 76 из 127+∞Zdt →f (t)eiξn (x−t) dt−∞−lII0.Заметим, что при l → +∞ZlJJ(n ∈ Z) ,НазадПолный экрани можно думать (вспоминая суммы Римана), что+∞+∞ZlZZ+∞11 Xiξn (x−t)∆ξn f (t)edt →dξf (t)eiξ(x−t) dt ,f (x) =l→+∞ 2π2π n=−∞−l−∞−∞ЗакрытьВыходт.е.

при всех x ∈ R1f (x) =2π+∞+∞ZZdξf (t)eiξ(x−t) dt .−∞(5.1)−∞Последняя формула действительно имеет место и составляет содержание теоремыФурье, а интеграл в правой части равенства называется интегралом Фурье функцииf.Равенство (5.1) принято разбивать на два+∞Zfb(ξ) =f (t)e−iξt dt ,1f (x) =2π−∞+∞Zfb(ξ)eiξx dξ ,(5.2)Ряды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательЛитератураВеб – страница−∞Титульный листили, в симметричной форме,1fb(ξ) = √2π1f (x) = √2π+∞Zf (x)e−iξx dx ,−∞+∞Zfb(ξ)eiξx dξ .JJIIJI(5.3)(5.4)Страница 77 из 127−∞При этом функция fb (в обоих вариантах) называется преобразованием Фурье функции f .

Для определенности мы в дальнейшем будем пользоваться симметричнойформой преобразования Фурье.Для получения вещественной формы интеграла Фурье заметим, что если функ-НазадПолный экранЗакрытьВыходция f (x) — вещественная, то1f (x) =2π+∞+∞+∞+∞ZZZZidξf (t) cos ξ(x − t) dt +dξf (t) sin ξ(x − t) dt2π−∞1=2π−∞+∞Z1f (t) cos ξ(x − t) dt =πdξ−∞−∞+∞Z−∞Ряды Фурье+∞Zdξf (t) cos ξ(x − t) dt .0Равенство−∞+∞Z0Предметный указатель−∞Литература+∞+∞ZZdξf (t) cos ξ(x − t) dt1f (x) =πИнтегралы ФурьеВеб – страница(5.5)−∞Титульный листостается справедливым и для комплексных функций (оно верно как для вещественной, так и для мнимой части комплекснозначной функции и в силу линейностиинтеграла — для произвольной их линейной комбинации).Если воспользоваться формулой косинуса разности, равенство (5.5) запишется ввиде1f (x) =π+∞+∞+∞+∞ZZZZ1dξ cos ξxf (t) cos ξt dt +dξ sin ξxf (t) sin ξt dt .π0−∞0JJIIJIСтраница 78 из 127−∞НазадЕсли функция f (x) — четная, то+∞Zf (t) sin ξt dt = 0−∞Полный экранЗакрыть(как интеграл от нечетной функции по симметричному интервалу) и интеграл ФурьеВыходприводится к виду2f (x) =π+∞+∞ZZdξ cos ξxf (t) cos ξt dt .0(5.6)0Ряды ФурьеАналогично, если f (x) — нечетная, тоИнтегралы ФурьеПредметный указатель+∞+∞ZZ2dξ sin ξxf (t) sin ξt dt .f (x) =π0Литература(5.7)0Веб – страницаЕсли функция f (x) изначально задана на полуоси [0, +∞), то она может бытьпродолжена как четная или нечетная на всю вещественную ось.

Это позволяет представить функцию на полуоси любой из формул (5.6), (5.7).ОператорыrFc :f (x) 7→ fbc (ξ) =2πТитульный листJJIIJI+∞Zf (x) cos ξx dx ,0rFs :f (x) 7→ fbs (ξ) =+∞Z2f (x) sin ξx dx ,π0называются, соответственно, косинус- и синус-преобразованиями Фурье.

Согласноформулам (5.6), (5.7), повторное применение любого из этих двух преобразованийвозвращает нас к исходной функции, т.е.Fc2 = I ,где I — тождественное преобразование.Fs2 = I ,Страница 79 из 127НазадПолный экранЗакрытьВыход5.2.Преобразование Фурье абсолютно интегрируемой функцииПусть функция f (x) — непрерывная (кусочно–непрерывная) и абсолютно интегрируемая на вещественной оси:+∞Z|f (x)| dx < +∞ .Ряды ФурьеИнтегралы Фурье−∞Предметный указательЛитератураТогда определено отображениеF :f 7→ fb = F f ,1fb(x) = √2π+∞Zf (x)e−iξx dx ,−∞Веб – страницаТитульный листназываемое преобразованием (оператором) Фурье.