А.М. Будылин - Ряды и интегралы Фурье, страница 10

Это пространство функций состоит из бесконечно дифференцируемых функций, которые вместе со всеми своими производными убываютна бесконечности быстрее любой степени |x|: dn f (x) Cn,k6ndx1 + |x|kCk|f (x)| 6,1 + |x|kИнтегралы Фурье∀n, k ∈ N .Согласно предыдущему пункту оператор Фурье F функцию класса Шварца переводит снова в функцию класса Шварца. Поскольку обратный оператор Фурье сточностью до отражения P совпадает с преобразованием Фурье, то заключаем, чтооператор Фурье отображает пространство Шварца на все пространство Шварца взаимно однозначно:F :F−1:Ряды ФурьеS(R) → S(R) ,Предметный указательЛитератураВеб – страницаТитульный листJJIIJIS(R) → S(R) .Превратим пространство Шварца в унитарное пространство, задавая в нем скалярное произведение равенствомСтраница 94 из 127+∞Zhf |gi =f (x)g(x) dx .Назад−∞При этомПолный экран+∞Z2kf k =|f (x)|2 dx .Закрыть−∞ВыходНапомним, что в абстрактном унитарном пространстве V оператор A∗ называетсясопряженным к оператору A, еслиhAa|bi = ha|A∗ bi .∀a , b ∈ V :Оператор A называется при этом унитарным, еслиAA∗ = A∗ A = I ,Ряды Фурьет.е.

A∗ = A−1 .Унитарное преобразование сохраняет скалярное произведение и, в частности, нормувектора:hAa|Abi = ha|A∗ Abi = ha|bi , kAak = kak .Теорема 5.5. Оператор Фурье унитарен на пространстве Шварца:F ∗ = F −1 .Интегралы ФурьеПредметный указательЛитератураВеб – страницаТитульный листДоказательство. Пусть f, g ∈ S(R). Тогда+∞+∞+∞+∞ZZZZ11−iξxdxdξ f (x)eiξx g(ξ)dx f (x)eg(ξ) = √hF f |gi =dξ √2π2π−∞−∞−∞−∞+∞+∞ZZ1√=dx f (x)eiξx g(ξ) dξ = hf |F −1 gi .2π−∞IIJIСтраница 95 из 127−∞Перестановка порядков интегрирования возможна ввиду равномерной сходимостиинтегралов.НазадПолный экранСледствие 5.6 (Равенство Парсеваля).+∞+∞ZZ2b|f (ξ)| dξ =|f (x)|2 dx .−∞JJ−∞ЗакрытьВыходВ дальнейшем вообще через F ∗ будет обозначаться оператор∗F = PF ,∗F :f 7→ fe,1fe(ξ) = √2π+∞Zf (x)eiξx dx ,−∞Ряды Фурьеи называться сопряженным преобразованием Фурье.Интегралы ФурьеЗамечание 5.7.

Как легко видеть, формулаПредметный указательЛитература∗hF f |gi = hf |F giбудет верна для значительно более широкого класса функций, нежели класс Шварца. Достаточно, чтобы f и g были непрерывными (кусочно непрерывными), абсолютно интегрируемыми функциями. Как следствие, будем иметь равенствоhfb|bg i = hf |gi ,если f — непрерывная, абсолютно интегрируемая функция, а gb — абсолютно интегрируемый образ Фурье дифференцируемой и абсолютно интегрируемой функции g.Действительно, в этом случае, в силу формулы обращения, g = F −1 gb и тогдаhfb|bg i = hF f |bg i = hf |F −1 gbi = hf |gi .В частности, равенство ПарсеваляВеб – страницаТитульный листJJIIJIСтраница 96 из 127Назадkfbk = kf kПолный экрансохраняет силу, когда fb — абсолютно интегрируемый образ Фурье дифференцируемой и абсолютно интегрируемой функции f . В действительности, методами функционального анализа можно показать, что для равенства Парсеваля достаточно лишьодной квадратичной интегрируемости функций!ЗакрытьВыход6.Свертка функцийСверткой функций f и g на вещественной оси называется интеграл1f ∗ g(x) = √2π+∞Zf (t)g(x − t) dt .(6.1)−∞Ряды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательВ отличие от периодического случая мы должны позаботиться о сходимости интеграла (6.1).

Например, достаточно потребовать непрерывности и абсолютной интегрируемости функции f и непрерывности и ограниченности функции g или наоборот,непрерывности и абсолютной интегрируемости функции g и непрерывности и ограниченности функции f . Как и в периодическом случае, легко показать, что сверткакоммутативна:f ∗g =g∗f.Свертка на бесконечном интервале, как и свертка периодическая, часто используется для сглаживания функции. Пусть f — равномерно непрерывная функция навещественной оси. Пусть ε > 0 фиксировано и δ таково, что|x − y| < δЛитератураВеб – страницаТитульный листJJIIJI⇒ |f (x) − f (y)| < ε .Страница 97 из 127Возьмем произвольно гладкую (непрерывно дифференцируемую или даже бесконечно дифференцируемую) функцию ω, удовлетворяющую условиям:Назад1.

ω(x) > 0 ,2. ω — четная функция,3. ω(x) = 0 при |x| > δ ,4.√12π+∞R−∞Полный экранЗакрытьω(x) dx = 1 .ВыходНапомним, что в силу этих свойств1√2π+∞Zω(x − t) dt = 1 .−∞Ряды ФурьеРассмотрим свертку g = f ∗ ω:Интегралы ФурьеПредметный указатель1g(x) = √2π+∞Zf (t)ω(x − t) dt .Литература−∞Веб – страницаЗдесь интеграл практически не является несобственным — интегрирование реальноведется по интервалу |x − t| 6 δ. Функция g является, очевидно, гладкой, причем1g (x) = √2π0+∞Zf (t)ω 0 (x − t) dt .JJIIJI−∞Вместе с тем функция g является равномерной аппроксимацией функции f :+∞ 1 Z|f (x) − g(x)| = √[f (x) − f (t)]ω(x − t) dt2π−∞Zε1|f (x) − f (t)|ω(x − t) dt 6 √6√2π2π|x−t|6δТитульный листСтраница 98 из 127НазадZω(x − t) dt = ε .Полный экран|x−t|6δОднако свертка функций не улучшает, вообще говоря, их убывания.

Нас сверткабудет интересовать с точки зрения преобразования Фурье.ЗакрытьВыходТеорема 6.1. Пусть функции f и g — непрерывны и абсолютно интегрируемы навещественной оси:+∞Z|g(x)| dx < +∞ .+∞Z|f (x)| dx < +∞ ,−∞Ряды Фурье−∞Интегралы ФурьеТогдаПредметный указатель(F f ) ∗ g = F (f · F ∗ g) ,Литератураили что то жеfb ∗ g = fd· ge ,ge = F ∗ g .Веб – страницаДоказательство. Существование свертки очевидно ввиду ограниченности функцииfb.

Формула вытекает из преобразований1√2π+∞+∞+∞ZZZ11bf (x)e−ix(ξ−η) dxdη g(η) √f (ξ − η)g(η) dη = √2π2π+∞+∞+∞ZZZ11−ixξ 1ixη√dx f (x)eg(η)e dη = √f (x)eg (x)e−ixξ dx=√2π2π2π−∞JJIIJI−∞−∞−∞Титульный лист−∞−∞Следствие 6.2. В предположениях предыдущей теоремы верна также формула(F ∗ f ) ∗ g = F ∗ (f · F g)Страница 99 из 127НазадПолный экранДоказательство. Заметим, что+∞+∞ZZf (t)g(−x − t) dt =f (−u)g(−x + u) du ,−∞−∞ЗакрытьВыходоткудаP (f ∗ g) = (P f ) ∗ (P g) .ТогдаP (F f ∗ g) = F ∗ f ∗ P gи P F (f · F ∗ g) = F ∗ (f · F P g) .Ряды ФурьеОтсюда в силу теоремы∗Интегралы Фурье∗F f ∗ P g = F (f · F P g) .Предметный указательОстается заменить P g на g .ЛитератураТеорема 6.3.

Если функции f и g — непрерывны, абсолютно и квадратичноинтегрируемы:+∞Z|f (x)| dx < +∞ ,+∞Z|g(x)| dx < +∞ ,−∞−∞+∞Z|f (x)|2 dx < +∞ ,+∞Z|g(x)|2 dx < +∞ ,−∞Веб – страницаТитульный лист−∞то свертка f ∗ g является абсолютно интегрируемой функцией иJJIIJIСтраница 100 из 127f[∗ g = fb · gb .НазадДоказательство. Заметим, что в силу неравенства Шварца свертка f ∗g существует,причем интеграл сходится равномерно по x: Z|t|>TZ2f (t)g(x − t) dt 6|t|>T|f (t)|2 dtZ|t|>T|g(x − t)|2 dt =Z|t|>T|f (t)|2 dtПолный экран+∞Z|g(s)|2 ds .Закрыть−∞ВыходОтсюда, согласно теореме об интегрировании несобственного интеграла по параметру, свертка также является абсолютно интегрируемой функцией:+∞+∞+∞+∞ZZZZdxf (t)g(x − t) dt 6dx|f (t)g(x − t)| dt−∞−∞−∞Ряды Фурье−∞+∞+∞+∞+∞ZZZZ=dt |f (t)||g(x − t)| dx =|f (t)| dt|g(s)| ds .−∞−∞−∞+∞+∞ZZ−iξx 1√f (t)g(x − t) dtdx e2π−∞ЛитератураВеб – страницаТитульный лист−∞+∞+∞ZZ11−iξt√√=dt ef (t)e−iξ(x−t) g(x − t) dx2π2π−∞Предметный указатель−∞Тогда опять с использованием теоремы об интегрировании несобственного интегралапо параметру находим1√2πИнтегралы ФурьеJJIIJI−∞1=√2π+∞+∞ZZ1−iξtdt ef (t) √e−iξu g(u) du .2π−∞−∞Замечание 6.4.

В действительности, в условиях последней теоремы можно показать,чтоf ∗ g = F ∗ (fb · gb) ,причем произведение fb · gb является абсолютно интегрируемой функцией, откуда,в частности, вытекает непрерывность и убывание на бесконечности свертки f ∗ gСтраница 101 из 127НазадПолный экранЗакрытьВыход(ввиду соответствующих свойств преобразований Фурье абсолютно интегрируемыхфункций).Ряды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательЛитератураВеб – страницаТитульный листJJIIJIСтраница 102 из 127НазадПолный экранЗакрытьВыход7.

Примеры и приложения7.1.Сводка формулВычислим образы Фурье для некоторых функций.Ряды Фурье1.(e−x , x > 0,f1 (x) =0,x < 0.Интегралы ФурьеПредметный указательЛитератураТогда+∞+∞Z1 1 − iξ1111 ex(−1−iξ) .=√ ·=√ ·fb1 (ξ) = √ex(−1−iξ) dx = √ ·2π 1 + ξ 22π 1 + iξ2π −1 − iξ 02π02.(0 , x > 0,f2 (x) =ex , x 6 0.Веб – страницаТитульный листJJIIJIТогда f2 = P f1 , откуда fb2 = P fb1 , т.е.11 + iξfb2 (ξ) = √ ·.2π 1 + ξ 2Страница 103 из 127Назад3.f3 (x) = e−|x| .Полный экранВ силу f3 = f1 + f2 находимrfb3 (ξ) =Закрыть21·.π 1 + ξ2Выход4.f4 (x) = sgnx · e−|x| .В силу f4 = f1 − f2 находимr2ξbf4 (ξ) = −i·.π 1 + ξ2Ряды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указатель5.f5 (x) =∗Заметим, что F f5 (ξ) =r1.1 + x2ЛитератураВеб – страницаπ −|ξ|e. Тогда в силу F = P F ∗2rπ −|ξ|bf5 (ξ) =e.26.f6 (x) =x.1 + x2rπsgnξ · e−|ξ| .

Тогда, аналогично с предыдущим,Заметим, что F f6 (ξ) = i2rπbsgnξ · e−|ξ| .f6 (ξ) = −i2∗Титульный листJJIIJIСтраница 104 из 127НазадПолный экран7.(1 , x ∈ [−1, 1],f7 (x) =0 x∈/ [−1, 1].ЗакрытьВыходТогда1fb7 (ξ) = √2πZ1−iξxe−11e−iξ − eiξdx = √ ·=−iξ2πr2 sin ξ·.πξРяды Фурье8.sin xf8 (x) =.xЗаметим, что F ∗ f8 (ξ) =rИнтегралы ФурьеПредметный указательπf7 (ξ) .

Тогда (в силу четности)2rπfb8 (ξ) =f7 (ξ) .2ЛитератураВеб – страницаТитульный листВыпишем для этого случая равенство Парсеваля:+∞Z−∞9.sin x 2dx =xZ1πdx = π .2−1JJIIJIСтраница 105 из 1272f9 (x) = e−x .Заметим, что1fb9 (ξ) = √2πНазад+∞+∞ZZ21−x2 −ixξeedx = √e−x cos(xξ) dx .2π−∞Полный экран−∞ЗакрытьВыходПри этом1d bf9 (ξ) = − √dξ2π+∞+∞ZZ21de−x−x2√xesin(xξ) dx =sin(xξ)22π−∞−∞+∞Z2ξξ=− √e−x cos(xξ) dx = − fb9 (ξ) .22 2π−∞Ряды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательЛитератураРешая полученное дифференциальное уравнение, находимВеб – страница2− ξ4fb9 (ξ) = Ce,Титульный листконстанта определяется из начального условия1fb9 (0) = √2πОкончательно,+∞Z21e−x dx = √ .2−∞ξ2e− 4fb9 (ξ) = √ .2JJIIJIСтраница 106 из 127НазадОтметим, что в примерах 6 и 8 функции f6 и f8 не являются абсолютно интегрируемыми.На практике часто бывают полезны следующие простые свойства преобразованияФурье.

ПустьFf (x) fb(ξ) .ТогдаПолный экранЗакрытьВыходF1. f (ax) 1 b ξ f, — так называемая «терема подобия»,a aF2. f (x)eiαx fb(ξ − α) , — так называемая «теорема смещения»,F3. f (x − b) fb(ξ)e−iξb , — так называемая «теорема запаздывания».Ряды ФурьеИнтегралы ФурьеДоказательство этих свойств элементарно:+∞+∞ZZξdu−iξx,f (ax)edx =f (u)e−i a ua−∞−∞+∞+∞ZZiαx −iξxf (x)e edx =f (x)e−i(ξ−α)x dx ,−∞ЛитератураВеб – страницаТитульный лист−∞+∞+∞ZZ−iξxf (x − b)edx =f (u)e−iξ(u+b) du .−∞Предметный указатель−∞Дополним эту сводку формул доказанными ранее теоремами о дифференцировании«оригинала», о дифференцировании «изображения», о свертке и таблицей примеров:JJIIJIСтраница 107 из 127НазадПолный экранЗакрытьВыходТаблица 1: Таблица преобразований Фурьеf (x)fb(ξ)f (ax)1 b ξ fa aРяды Фурьеf (x)eiαxfb(ξ − α)f (x − b)−iξbИнтегралы ФурьеПредметный указательЛитератураВеб – страницаТитульный листdn f (x)dxnfb(ξ)e(iξ)n fb(ξ)JJIIJIСтраница 108 из 127nx f (x)1√2π+∞Zf (t)g(x − t) dtdn fb(ξ)indξ nfb(ξ) · gb(ξ)НазадПолный экран−∞ЗакрытьВыход1 − iξ1√ ·1+ ξ22πe−x H(x)re−|x|12·π 1 + ξ2Ряды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательre−|x| sgnx−i2ξ·π 1 + ξ2ЛитератураВеб – страницаr11 + x2x1 + x2π −|ξ|e2rπ −|ξ|−iesgnξ2rH(x + 1) − H(x − 1)2 sin ξ·πξТитульный листJJIIJIСтраница 109 из 127Назадsin xxrπ[H(ξ + 1) − H(ξ − 1)]2Полный экранЗакрытьВыходξ2e− 4√22e−xРяды ФурьеЗдесь H(x):(1,H(x) =0,x > 0,x < 0.Интегралы ФурьеПредметный указательЛитература— так называемая функция Хевисайда.В качестве иллюстрации вычислим преобразование Фурье функции fN , введенной при доказательстве теоремы Фурье.