А.М. Будылин - Ряды и интегралы Фурье, страница 12

Тогда утверждение о равномерной сходимостипримет видmax |g(x) − g ∗ DN (x)| → 0 .N →∞x∈[−K,K]Интегралы ФурьеПредметный указательЛитератураВеб – страницаТитульный листВоспользуемся неравенствомkg − g ∗ DN k 6√2Kmaxx∈[−K,K]v Zu|g(x) − g ∗ DN (x)| + ut|g ∗ DN(x)|2IIJIdx .|x|>KНапомним, чтоСтраница 121 из 127Z|g ∗ DN (x)|2 dx =|x|>KZ1dxπZbg(t)2sin N (x − t) dtx−taНазадa|x|>Kи в силу неравенства Минковскогоvu Zv Z2 ZbZbuu1sinN(x−t)1uudxg(t)dt 6dt |g(t)|ttπx−tπ|x|>KJJa|x|>KПолный экранsin2 N (x − t)dx(x − t)2ЗакрытьВыходИнтеграл по x в правой части неравенства сходится равномерно относительно Nи t ∈ [a, b] и, если K достаточно велико, может быть сделан сколь угодно малымнезависимо от N . Пусть ε > 0 произвольно. Согласно сделанной оценке можновыбрать K столь большим, что независимо от Nv Zuεu|g ∗ DN (x)|2 dx < ,t2Ряды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указатель|x|>KЛитератураФиксировав K, выберем N столь большим, чтобы√2Kmaxx∈[−K,K]|g(x) − g ∗ DN (x)| <ε,2откуда заключаем, что при N → ∞ для финитной гладкой функции gkg − g ∗ DN k → 0 .Пусть теперь f — финитная непрерывная функция.

Мы можем аппроксимироватьее равномерно финитной гладкой функцией, см. пункт 6. В силу финитности отсюдавытекает, что функция f может быть аппроксимирована финитной гладкой функциейg (с любой степенью точности) в среднеквадратичном. Фиксируем ε > 0 и пустьkf − gk <ε.3Веб – страницаТитульный листJJIIJIСтраница 122 из 127НазадЗаметим, что в силу неравенства треугольникаkf − f ∗ DN k 6 kf − gk + kg − g ∗ DN k + kg ∗ DN − f ∗ DN k .Выберем N столь большим, чтобыkg − g ∗ DN k 6Полный экранЗакрытьε.3ВыходЗаметим далее, чтоg ∗ DN − f ∗ DN = h ∗ DN = F ∗ ΓN F h, ,h=g−f,и в силу леммы A.2Ряды ФурьеkF ∗ ΓN F hk = kΓN F hk 6 kF hk = khk .Интегралы Фурье(здесь лемма была использована в обоих равенствах).

Как следствиеПредметный указательЛитератураkf − f ∗ DN k < ε ,Веб – страницат.е.kf − f ∗ DN k → 0 .Титульный листN →∞Полученное соотношение будет выполняться и для кусочно непрерывных финитных функций, т.к. такие функции могут быть аппроксимированы в среднеквадратичном с любой степенью точности непрерывными финитными функциями, послечего предыдущая аргументация повторяется дословно.Пусть, наконец, f (x) — кусочно непрерывная квадратично интегрируемая функция. Заметим, что опять с использованием леммы A.2JJIIJIСтраница 123 из 127vuZBuut dxAZK6|t|6Lvu +∞2 u Zuf (t)DN (x − t) dt 6 tdx−∞Z2f (t)DN (x − t) dtНазадK6|t|6L= kF ∗ ΓN F (ΓL f − ΓK f )k = kΓN F (ΓL f − ΓK f )k 6 kF (ΓL f − ΓK f )kv Zu= kΓL f − ΓK f k = u|f (x)|2 dx .tПолный экранЗакрытьK6|x|6LВыходПереходя к пределу по L при L → ∞ получаемvuZB Z2 vuu Zuf (t)DN (x − t) dt 6 ut dxtAK6|t||f (x)|2 dx .K6|x|Ряды ФурьеОтсюдаИнтегралы ФурьеvuZu +∞ Zudxt−∞Предметный указатель2 vu Zf (t)DN (x − t) dt 6 utK6|t||f (x)|2dx .ЛитератураK6|x|Веб – страницаТогдаkf − f ∗ DN k 6 kf − ΓK f k + kΓK f − F ∗ ΓN F ΓK f k + kF ∗ ΓN F ΓK f − F ∗ ΓN F f k ,т.е.vuZ+∞Zu +∞ 2 vu Zutdxf (x) −f (t)DN (x − t) dt 6 ut−∞−∞K6|x|−∞−KJJIIJI|f (x)|2 dxvvuZu +∞+KZu +∞ 2 u Z Zuu+tdxΓK f (x) −f (t)DN (x − t) dt + tdx−∞Титульный лист2f (t)DN (x − t) dt .K6|t|В этом неравенстве справа первое и третье слагаемые могут быть сделаны скольугодно малыми при достаточно большом K независимо от N .

Среднее слагаемоепри фиксированном K может быть сделано сколь угодно малым за счет выборадостаточно большого N (функция ΓK f является финитной). Таким образом, и вэтом случаеkf − f ∗ DN k → 0 .Страница 124 из 127НазадПолный экранЗакрытьN →∞ВыходПредметный указательвариационный принцип, 70граничные условия, 61задача Штурма–Лиувилля, 66регулярная, 66интеграл Фурье, 77коэффициенты Фурье, 23в задаче Штурма–Лиувилля, 68вектора, 17тригонометрические, 14краевые условия, 61однородные, 61лемма Римана–Лебега, 19, 30минимизирующее свойство коэффициентов Фурье, 19неравенствоБесселя, 18, 23Минковского(интегральное), 117Шварца, 16норма вектора, 16оператор Фурье, 80оператор Штурма–Лиувиллярегулярный, 66ортогональность векторов, 16ортонормированная система, 16замкнутость, 38полнота, 37плотность C 1 в C, 28преобразование Фурье, 77, 80обратное, 89пространство Шварца, 94равенство Парсеваля, 23, 37, 118для интеграла Фурье, 95ряд Фурьев задаче Штурма–Лиувилля, 69тригонометрический, 15, 48сверткана оси, 97периодическая, 24скалярное произведение, 15, 22, 48теоремаДирихле, 34, 35, 39Пифагора, 17Фурье, 77, 86Ряды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательЛитератураВеб – страницаТитульный листJJIIJIСтраница 125 из 127НазадПолный экранЗакрытьВыходунитарность оператора, 95уравнение замкнутости, 23условия Дирихле, 64условия Неймана, 64функция Хевисайда, 110Ряды ФурьеИнтегралы Фурьечастотный спектр, 112Предметный указательЛитератураШтурма–Лиувиллязадача, 64оператор, 64явление Гиббса, 40ядро Дирихле, 33для интеграла Фурье, 83Веб – страницаТитульный листJJIIJIСтраница 126 из 127НазадПолный экранЗакрытьВыходСписок литературы[1] Бари Н.К.

Тригонометрические ряды. ФМ, М., 1961.[2] Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его применения. ФМ, М., 1963.Ряды Фурье[3] Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. ИЛ, М., 1948.[4] Дороговцев А.Я. Математический анализ. Вища школа, Киев, 1985.Интегралы ФурьеПредметный указательЛитература[5] Зигмунд К. Тригонометрические ряды, т.1–2. Мир, М., 1965.[6] Князев П.Н. Интегральные преобразования.

Вышэйшая школа, Минск, 1969.[7] Привалов И.И. Ряды Фурье. ОНТИ, М., 1934.Веб – страницаТитульный лист[8] Смирнов В.И. Курс высшей математики, т.2. Наука, М., 1974.[9] Снеддон И. Преобразование Фурье. ИЛ, М., 1955.[10] Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. ОГИЗ, М., 1948.JJIIJI[11] Толстов Г.П. Ряды Фурье. Наука, М., 1980.[12] Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции одного переменного, часть 3.Наука, М., 1970.[13] Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении, т.1–2. Мир, М., 1985.[14] Katznelson Y. An introduction to harmonic analysis.

Dover publications, N.Y.,1976.Страница 127 из 127НазадПолный экранЗакрытьВыход.