А.М. Будылин - Ряды и интегралы Фурье

Ряды и интегралы ФурьеРяды ФурьеИнтегралы ФурьеА.М.БудылинПредметный указательЛитератураbudylin@mph.phys.spbu.ru26 марта 2002 г.Веб – страницаТитульный листJJIIJIСтраница 1 из 127НазадПолный экранЗакрытьВыходЧасть IРяды ФурьеТригонометрические рядыИстория вопросаРяды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательЭкскурс в теорию комплексных чиселЛитератураОпределенияСлучай равномерной сходимостиВеб – страницаТригонометрические ряды ФурьеТитульный листПостановка задачиЭкскурс в теорию унитарных пространствJJIIJIРяды Фурье на пространстве непрерывных 2π –периодических функцийСвертка периодических функцийСходимость рядов ФурьеСтраница 2 из 127Понятие о полноте и замкнутости ортонормированной системыЗамечания по поводу сходимостиНазадИнтегрирование и дифференцирование рядов ФурьеРяды Фурье периодических функций с периодом T = 2lПолный экранРазложение четных и нечетных функцийВещественная форма тригонометрического ряда ФурьеЗакрытьВыходПонятие об улучшении скорости сходимости ряда ФурьеПримеры и приложенияПериодические решенияЗадача о колебаниях струныНетригонометрические ряды ФурьеРяды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательКраевые задачи теории дифференциальных уравненийЛитератураНормальная форма краевой задачиРегулярная задача Штурма–ЛиувилляВеб – страницаПолнота собственных функций регулярной задачи Штурма–ЛиувилляТеорема ШтурмаТитульный листJJIIJIСтраница 3 из 127НазадПолный экранЗакрытьВыход1.Тригонометрические ряды1.1.История вопросаСчитается, что самый первый тригонометрический ряд был написан Эйлером.

В его«Дифференциальном исчислении» 1755 года1 в главе «О представлении функцийрядами» можно найти следующее равенствоπ−xsin 2x sin 3x= sin x +++ ··· ,223an =1πf (x) cos nx dx ,−πbn =1πx ∈ (0, 2π) .1ЛитератураВеб – страницаТитульный листJJIIJIZπf (x) sin nx dx ,Страница 4 из 127−πдля функции f с периодом 2π, представимой в виде суммы тригонометрическогоряда∞a0 X+f (x) =(an cos nx + bn sin nx) .2n=12Интегралы ФурьеПредметный указательПриблизительно в это же время Даниил Бернулли, в связи с задачей о колебанииструны, впервые высказывает уверенность в возможности аналитического выражения «любой линии» на отрезке [0, 2π] рядом из синусов и косинусов кратных дуг.Однако положение здесь в значительной степени оставалось невыясненным вплотьдо 1805 года2 , когда Жан Батист Жозеф Фурье в статье о распространении теплавнутри твердых тел представил формулы для коэффициентов разложения функциив ряд по синусам и косинусам кратных дуг.

Именно с его именем стали связыватьследующие формулы для вычисления «коэффициентов Фурье»ZπРяды ФурьеВ действительности, впервые о нем Эйлер сообщил в письме к Гольдбаху в 1744 годуКнига Фурье "Аналитическая теория теплоты"была опубликована в 1822 годуНазадПолный экранЗакрытьВыходСледует, однако, подчеркнуть, что вопрос о представлении более или менее произвольной функции (с периодом 2π) в виде суммы тригонометрического ряда вовсе небыл решен Фурье, и еще на протяжении целого столетия математики занималисьпоисками тех или иных условий, при которых такое представление в том или иномсмысле имеет место.В настоящее время уже давно является осмысленным тот факт, что теория рядовФурье существенно зависит от понятия интеграла.3 Принимая в формулах Фурье всеболее и более общее определение интеграла (Коши, Римана, Лебега, Данжуа), мывсе более и более будем расширять класс тригонометрических рядов Фурье.

В настоящее время проводится разграничение даже между общими тригонометрическимирядами и тригонометрическими рядами Фурье. Так, например, тригонометрическийряд∞Xsin nxln nn=2сходится всюду, но не является рядом Фурье никакой интегрируемой (по Лебегу)функции.Наконец, следует отметить, что благодаря работам Гильберта (начало XX века)стало возможным излагать теорию рядов Фурье в геометрической форме как теориюортогональных (не только тригонометрических) разложений.Дальнейшее изложение ориентировано на интеграл Римана.4 Это обстоятельствоне позволит осмыслить многие факты, касающиеся сходимости рядов Фурье, но, пообразному выражению Хевисайда,5 «станете ли Вы отказываться от обеда толькопотому, что Вам не полностью понятен процесс пищеварения?»3 Это было отмечено еще Н.Н.Лузиным в его диссертации «Интеграл и тригонометрический ряд» в1915 году4 А не на более общий и более пригодный для данных рассмотрений интеграл Лебега5 Оливер Хевисайд — знаменитый английский физик и инженер, создатель операционного исчисленияРяды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательЛитератураВеб – страницаТитульный листJJIIJIСтраница 5 из 127НазадПолный экранЗакрытьВыход1.2.Экскурс в теорию комплексных чиселНапомним, что множество комплексных чисел — это множество упорядоченных парвещественных чисел (x, y) с операциями сложения(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 )(1.1)Ряды ФурьеИнтегралы Фурьеи умножения(x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) ,относительно которых множество комплексных чисел становится числовым полемC.

Важно также, что относительно комплексного сложения (1.1) и умножения навещественные числаc(x, y) = (cx, cy) ,Предметный указательЛитератураВеб – страницаТитульный листполе C можно рассматривать как двумерное вещественное векторное пространствоR2 , т.е. плоскость. Комплексное число вида (x, 0) при этом отождествляется с вещественным x. Выбирая в качестве базиса в R2 стандартный: 1 ≡ (1, 0) и i = (0, 1),приходим к алгебраической записи комплексного числаz = (x, y) = x + yi = x + iy .JJIIJIОперация предельного перехода определяется покоординатно. Таким образом,Страница 6 из 127lim zn = lim xn + i lim yn ,XXXzn =xn + iyn ,Назадгде zn = xn + iyn — последовательность комплексных чисел. Аналогично, еслиz = z(t) = x(t) + iy(t) — комплекснозначная функция вещественного переменного t,Полный экранЗакрытьВыходтоlim z(t) = lim x(t) + i lim y(t) ,t→t0t→t000t→t00z (t) = x (t) + iy (t) ,ZbZbz(t) dt =ax(t) dt + iaРяды ФурьеZby(t) dt .aИнтегралы ФурьеПредметный указательЛитератураВместе с тем, комплексная плоскость C является метрическим пространством, функция расстояния d на котором определена модулем разности комплексных чиселВеб – страницаd(z1 , z2 ) = |z2 − z1 |и операция предельного перехода может быть описана на языке «ε-δ» формально также, как и в вещественном случае (с заменой слов «абсолютная величина» словом«модуль»).

Например, критерий Коши существования конечного предела последовательности zn будет записываться так: последовательность zn имеет конечныйпредел тогда и только тогда, когда она фундаментальна, т.е.∀ε > 0 ∃N ∈ N :Титульный листJJIIJIn, m > N ⇒ |zn − zm | < ε .В тригонометрической теории (комплексных) рядов Фурье исключительную рольиграет комплексная экспонента exp(it) ≡ eit . Эта функция может быть определеналюбым из следующих эквивалентных способовeit = cos t + i sin t ,t neit = lim 1 + i,n→∞n∞X (it)neit =.n!n=0Страница 7 из 127НазадПолный экранЗакрытьВыходОтметим, что это периодическая функция с периодом 2π и|eit | = 1(t ∈ R) .Когда аргумент t пробегает отрезок [0, 2π), точка eit пробегает на комплексной плоскости единичную окружность в направлении против часовой стрелки. Как и вещественная экспонента, комплексная обладает свойствомРяды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательeis eit = ei(s+t) .Литература2πЗаметим, что eint , n ∈ Z, также периодична с наименьшим периодом |n|(n 6= 0), такчто число 2π является общим периодом для все этих экспонент.

Если n 6= 0, то einteintявляется производной функции, которая также имеет период 2π, так чтоin(Z2π2π , n = 0eint dt =(1.2)0,n = ±1, ±2, . . .Веб – страницаТитульный листJJIIJI0Напомним также формулы Эйлераcos t =eit + e−it,2sin t =eit − e−it.2iОтметим, наконец, одно важное свойство периодических функций.Лемма 1.1 (об интегрировании периодических функций). Пусть f (t) — непрерывная комплекснозначная периодическая функция с периодом T . Тогда ∀a ∈ Ra+TZZTf (t) dt =aСтраница 8 из 127НазадПолный экранЗакрытьf (t) dt .0ВыходДоказательство.

В силу аддитивности интегралаa+TZZ0f (t) dt =aZTf (t) dt +a+TZf (t) dt +f (t) dta0TZ0ZTZa=f (t) dt +f (t) dt +00Z0ZTZaf (t) dt +af (t) dt +0Интегралы Фурьеf (s + T ) dsa=Ряды ФурьеПредметный указательЛитератураZTf (s) ds =0f (t) dt .Веб – страница0Титульный лист1.3.ОпределенияОпределение 1.2 (Вещественная форма). Пусть an и bn — две последовательностикомплексных чисел. Тригонометрическим рядом называется рядa0 +∞X(an cos nx + bn sin nx) ,x ∈ R.JJIIJIСтраница 9 из 127n=1НазадЗаметим, что при n ∈ Nan cos nx + bn sin nx = aneinx + e−inxeinx − e−inx+ bn= cn einx + c−n e−inx ,22iгдеcn =an − ibn,2c−n =an + ibn.2Полный экранЗакрытьВыходИ наоборот,cn einx +c−n e−inx = cn (cos nx+i sin nx)+c−n (cos nx−i sin nx) = an cos nx+bn sin nx ,гдеan = cn + c−n ,bn = i(cn − c−n ) .Ряды ФурьеИнтегралы ФурьеОтсюдаПредметный указательОпределение 1.3 (Комплексная форма).

Пусть cn , n ∈ Z — последовательностькомплексных чисел. Тригонометрическим рядом называется рядc0 +∞Xinx(cn e−inx+ c−n e)≡+∞XВеб – страницаinxcn e,x ∈ R.n=−∞n=1Титульный листПереход от вещественной формы к комплексной и наоборот осуществляется пересчетом коэффициентовc0 = a0an − ibnan + ibncn =, c−n =,22an = cn + c−n , bn = i(cn − c−n ) ,n ∈ N.(1.3)Теорема 1.4. Пусть тригонометрический ряд удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий• рядыn=1|an | и∞X|bn | сходятся,JJIIJIn∈N1.4.