А.М. Будылин - Ряды и интегралы Фурье, страница 3

уменьшению ∆):∆(c1 , . . . cn , cn+1 ) 6 ∆(c1 , . . . cn , 0) = ∆(c1 , . . . cn ) .(2.9)Полный экранЗакрытьВыходРяды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательЛитература−→aВеб – страницаТитульный листJJIIJI−→e2→→λ1 −e1 + λ2 −e2Страница 21 из 127Назад−→e1→→c1 −e1 + c2 −e2Полный экранРис. 1: Перпендикуляр — наименьшее расстояние до подпространстваЗакрытьВыход2.3.Ряды Фурье на пространстве непрерывных 2π−периодическихфункцийОчевидно, пространство [комплекснозначных] непрерывных периодических с периодом 2π функций является комплексным векторным пространством: такие функцииможно складывать и умножать на комплексные числа не выходя за рамки этого множества функций.

Превратим это пространство в унитарное, введя в нем скалярноепроизведениеZ2π1hf |gi =f (x)g(x) dx .(2.10)2π01kf k =2πZ2πИнтегралы ФурьеПредметный указательЛитератураВеб – страницаСвойства 1)–3) скалярного произведения очевидны. Четвертое свойство являетсяследствием непрерывности рассматриваемых функций. Действительно, если2Ряды Фурье|f (x)|2 dx = 0 ,Титульный листJJIIJI0то f (x) ≡ 0 именно благодаря своей непрерывности.

6Обозначим это унитарное пространство [комплекснозначных] непрерывных периодических с периодом 2π функций через C2π . Через en , n ∈ Z, будем обозначатьфункции x 7→ einx . Покажем, что функции en образуют ортонормированную системув C2π .Z2πZ2π11inx −imxhen |em i =e edx =ei(n−m)x dx = δnm ,2π2π0Страница 22 из 127НазадПолный экран0см. (1.2).Закрыть6Для разрывных функций такого заключения сделать уже нельзяВыходЕсли f — произвольная непрерывная периодическая с периодом 2π функция, тоее коэффициенты Фурье относительно ортонормированной системы (en ) равны1cn (f ) =2πZ2πf (x)e−inx dx .(2.11)Ряды Фурье0Интегралы ФурьеЗаметим, что в силу леммы Римана-ЛебегаПредметный указательЛитератураZ2πf (x)einx dx → 0 .n→∞Веб – страница0Неравенство Бесселя принимает вид+∞XТитульный лист1|cn | 62πn=−∞2Z2π|f (x)|2 dx ,1kf k =2πZ2πIIJI0где cn = cn (f ) и2JJ|f (x)|2 dx ,Страница 23 из 1270Далее мы покажем, что для f ∈ C2π неравенство Бесселя превращается в равенствоZ2π+∞X1|cn |2 =|f (x)|2 dx2πn=−∞0НазадПолный экранЗакрытьи называется равенством Парсеваля или уравнением замкнутости.ВыходФункции видаTn (x) =nXλk eikxk=−nназываются тригонометрическими полиномами.

Среди всех тригонометрических полиномов степени не выше n наилучшей аппроксимацией (в смысле среднеквадратичной нормы) функции f (x) является частичная сумма ряда Фурье этой функцииРяды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательnXf (x) ≈Литератураck (f )eikx .k=−nВеб – страница2.4.Свертка периодических функцийТитульный листОпределение 2.8. Пусть f и g — произвольные непрерывные периодические с периодом 2π функции. Их сверткой f ∗ g называется функцияf ∗ g (x) =12πJJIIJIZ2πf (t)g(x − t) dt ,x ∈ R.0Очевидно, свертка f ∗ g — периодическая с периодом 2π и непрерывная функция:f ∗ g (x + 2π) =12πZ2πf (t)g(x + 2π − t) dt =12π0Z2πf (t)g(x − t) dt = f ∗ g (x) ,Страница 24 из 127Назад0Полный экранпоскольку g периодична.

Чтобы показать непрерывность, заметим, что g — равномерно непрерывна, т.е.∀ε > 0 ∃δ > 0 :|x2 − x1 | < δ⇒Закрыть|g(x2 ) − g(x1 )| < ε .ВыходФиксируем ε > 0 и выберем такое δ по числуεM,где M = max |f (t)|. Тогда при06t62π|x − x0 | < δ 1 Z2π|f ∗ g (x) − f ∗ g (x0 )| = f (t)[g(x − t) − g(x0 − t)] dt2π0612πРяды ФурьеИнтегралы ФурьеZ2πПредметный указатель|f (t)||g(x − t) − g(x0 − t)| dtЛитература0ε16·M 2πZ2πε|f (t)| dt 6· M = ε.M0Теорема 2.9.

Пусть f — периодическая с периодом 2π и непрерывная функция. Если функция g является непрерывно дифференцируемой периодической спериодом 2π, то свертка f ∗ g также является непрерывно дифференцируемойпериодической с периодом 2π и1(f ∗ g) (x) =2π0Z2πf (t)g 0 (x − t) dt .Веб – страницаТитульный листJJIIJIСтраница 25 из 1270Доказательство. Следствие теоремы о дифференцировании интеграла по параметру: в данном случае частная производная подынтегральной функции∂[f (t)g(x − t)] = f (t)g 0 (x − t)∂xНазадПолный экранЗакрытьявляется непрерывной функцией обеих переменных.ВыходСледствие 2.10. Если g непрерывно дифференцируема k раз, то свертка f ∗ g (гдеf — непрерывна) — тоже k раз непрерывно дифференцируема и(f ∗ g)(k) = f ∗ g (k) .Интересны также следующие свойства свертки.Ряды ФурьеИнтегралы ФурьеТеорема 2.11. Свертка функций является билинейной, коммутативной и ассоциативной операцией, т.е.Предметный указательЛитература1.

(λf + µg) ∗ h = λf ∗ h + µg ∗ h ,Веб – страница2. f ∗ g = g ∗ f ,3. f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h .Титульный листДоказательство. Линейность по первому аргументу очевидна в силу линейностиинтеграла. Линейность по второму аргументу может быть установлена аналогично,но она также является следствием коммутативности. Докажем коммутативность.f ∗ g (x) =12πZ2πJJIIJIf (t)g(x − t) dt = [x − t = u, dt = −du]Страница 26 из 12701=−2πx−2πZ1f (x − u)g(u) du =2πxZxg(u)f (x − u) duНазадx−2π1=2πZ2πПолный экранg(u)f (x − u) du = g ∗ f (x) .0ЗакрытьВыходДокажем теперь ассоциативность.1(f ∗ g) ∗ h (x) =2πZ2π1f ∗ g (t)h(x − t) dt =4π 20=14π 2Z2π0f (s)g(t − s)h(x − t) dsdt02π−sZg(u)h(x − s − u) du =ds f (s)Z2πZ2π14π 2−s012πZ2πИнтегралы Фурьеg(u)h(x − s − u) duds f (s)0=Ряды ФурьеZ2π0Предметный указательЛитератураZ2πf (s)g ∗ h (x − s) ds = f ∗ (g ∗ h) (x) .Веб – страница0Титульный листДля приложений важность понятия свертки определяется следующим свойством,которое также объясняет свойства, описанные в предыдущей теореме.Теорема 2.12.

Пусть f и g — произвольные непрерывные периодические с периодом 2π функции. Тогдаcn (f ∗ g) = cn (f ) · cn (g) ,где cn — коэффициент Фурье соответствующей функции относительно ортонормированной системы экспонент en .Z2πin(x−t)f (t)e0IIJIСтраница 27 из 127НазадДоказательство. Заметим, сначала, что1f ∗ en (x) =2πJJinxdt = e12πZ2πПолный экранf (t)e−int dt = cn (f )en (x) ,0Закрытьтак чтоf ∗ en = cn (f )en .(2.12)ВыходТогдаcn (f ∗g) = (f ∗g)∗en (0) = f ∗(g∗en ) (0) = f ∗[cn (g)en ] (0) = cn (g)f ∗en (0) = cn (g)cn (f ) .Ряды ФурьеВ приложениях отображение f 7→ f ∗ g описывает прохождение сигнала f черезфильтр g.

В результате амплитуда cn (f ) n-ой гармоники сигнала умножается наcn (g). Заметим, что в силу теоремы Римана-Лебега, не может существовать идеального фильтра, не искажающего сигнал:6 ∃g :f ∗g =f.11Теорема 2.13 (Плотность C2πв C2π ). Множество функций C2πплотно в C2π ,1т.е. ∀f ∈ C2π и ∀ε > 0 ∃g ∈ C2π :defmax |f (x) − g(x)| < ε .06x62πДоказательство. Функция f — равномерно непрерывна и, следовательно, для∀ε > 0 ∃δ > 0 :|x2 − x1 | < δ⇒|f (x2 ) − f (x1 )| < ε .1Пусть ε > 0 фиксировано и δ найдено.

Возьмем произвольно функцию ω ∈ C2π,удовлетворяющую следующим условиям:1. ω(x) > 0 ,Предметный указательЛитератураВеб – страницаНо вернемся к теореме 2.9. Она позволяет установить одно важное для дальнейшего свойство.1Обозначим через C2πмножество непрерывно дифференцируемых периодическихс периодом 2π функций. Это подмножество в C2π .kf − gk∞ =Интегралы ФурьеТитульный листJJIIJIСтраница 28 из 127НазадПолный экранЗакрытьВыходРяды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательЛитератураВеб – страница0−2πδ2πТитульный листJJIIJIРис.

2: Сглаживающая функция2. ω — четная функция,Страница 29 из 1273. ω(x) = 0 при x ∈ [δ, π] ,4.12π2πRНазадω(x) dx = 1 ,0см. рис. 2.Подобрать такую функцию нетрудно. Например, можно взять функцию k(cos πxδ +1), ограничить ее сначала на интервал (−δ, δ), затем продолжить нулем на оставшуюся часть интервала [−π, π] и далее продолжить периодически на всю ось. Константуk следует выбрать так, чтобы выполнялось условие нормировки (4).Полный экранЗакрытьВыходМы покажем (со ссылкой на теорему 2.9), что свертка f ∗ ω годится на рольфункции g.

Заметим прежде всего, что в силу четности и периодичности,12πZ2π1ω(t) dt =2π0Z2π1ω(−t) dt =2π0Z2πω(x − t) dt = 1 .Ряды Фурье0Интегралы ФурьеТогда,Предметный указательЛитератураZ2πZ2π11|f (x) − g(x)| = f (x)ω(x − t) dt −f (t)ω(x − t) dt2π2π0612πВеб – страница0Z2π|f (x) − f (t)|ω(x − t) dt =012πZ|f (x) − f (t)|ω(x − t) dt|x−t|6δ6ε2πZТитульный листJJIIJIω(x − t) dt = ε .|x−t|6δСтраница 30 из 1272.5.Сходимость рядов ФурьеНазадДалее нам понадобится чуть более общий вариант леммы Римана-Лебега.Теорема 2.14 (Лемма Римана-Лебега).

Если f — непрерывная функция на [a, b],тоZbf (x)eiλx dx → 0 .Полный экранЗакрытьλ→∞aВыходДоказательство 1. Рассмотрим сначала непрерывно дифференцируемую на [a, b]функцию g. ТогдаZbiλxg(x)eaZbdx =eiλxg(b)eiλbg(a)eiλa1g(x)d=−−iλiλiλiλaZbg 0 (x)eiλx dx → 0 .λ→∞aФиксируем произвольно ε > 0. Функция f может быть равномерно аппроксимирована непрерывно дифференцируемой функцией g.Например, можно использовать конструкцию типа f ∗ ω. Именно, продолжим f непрерывно на всю ось так, чтобывне интервала [a − 1, b + 1] она обращалась в ноль (например, можно соединить прямыми точки (a, f (a)) и (a − 1, 0) содной стороны и точки (b, f (b)) и (b + 1, 0) с другой, а далее считать функцию f нулем.