А.М. Будылин - Ряды и интегралы Фурье, страница 5

Тогда2k=−nkf −nXk=−nck (f )ek k 6 kf −nXk=−nck (g)ek k 6 kf − gk + kg −nXck (g)ek k 6 ε .Веб – страницаТитульный листJJIIJIСтраница 39 из 127Назадk=−nМожет все-таки вызвать некоторый интерес следующий вопрос. Пусть функциягладкая, за исключением нескольких точек (на периоде), где она имеет скачки. Какведет себя ряд Фурье в точках разрыва? (В среднеквадратичном ряд, конечно, сходится). Имеет место следующая теоремаПолный экранЗакрытьВыходТеорема 2.22 (Дирихле). Пусть функция f кусочно непрерывно дифференцируема и периодична с периодом 2π. Тогда ряд Фурье при ∀x сходится кf (x − 0) + f (x + 0),2т.е. в точке непрерывности ряд Фурье сходится к значению функции, а в точкеразрыва — к полусумме предельных значений.Напомним, что кусочная непрерывность 2π-периодической функции означает, чтона периоде функция имеет лишь конечное число разрывов первого рода (скачков).Кусочная непрерывная дифференцируемость будет, таким образом, означать, чтопроизводная функции имеет на периоде не более чем конечное число скачков (приэтом непрерывность самой функции, вообще говоря, не предполагается и при необходимости должна оговариваться отдельно).В точках разрыва функции f ряд Фурье сходится к функции очень неравномерно.Именно, если x0 — точка разрыва первого рода функции f и, для определенности,f (x0 − 0) < f (x0 + 0), тоlim sn (x) > f (x0 + 0) ,n→∞x→x0где sn =nXlim sn (x) < f (x0 − 0) ,Ряды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательЛитератураВеб – страницаТитульный листJJIIJIn→∞x→x0Страница 40 из 127ck ek , т.е.

предельная флуктуация частичной суммы Фурье больше,k=−nчем скачок самой функции в точке разрыва. Такое поведение суммы Фурье в точкахразрыва носит название явления Гиббса, см. рис. 3.НазадПолный экран2.7.1. Пример.Рассмотрим функцию f , заданную на интервале (0, 2π) равенством f (x) = x и далеепродолженную периодически на всю ось. Эта функция кусочно непрерывно дифференцируема. Именно, в точках x = 2πn , n ∈ Z она имеет разрывы-скачки, вЗакрытьВыходРяды ФурьеπИнтегралы ФурьеПредметный указательЛитература−2π02πВеб – страницаРис. 3: Пример с явлением Гиббсаостальных точках она бесконечно дифференцируема.

Как мы уже знаем, ряд Фурье будет сходится к этой функции в каждой точке x 6= 2πn , n ∈ Z (разумеется,никакой равномерной сходимости при этом нет: функция разрывна). В точках жеx = 2πn , n ∈ Z , будет происходить явление Гиббса и ряд Фурье должен сходитьсяв этих точках к значению π, см. рис. 3. Действительно,1c0 =2πZ2π12πJJIIJIСтраница 41 из 127Назадx dx = π ,0cn =Титульный листZ2πПолный экранxe−inx dx = −1,inn 6= 0 ,Закрыть0Выходоткудаf (x) = π −∞X einxXsin nx=π−2,innn=1x 6= 2πm,m ∈ Z.n6=0Заметим, что1kf k =2π2Z2πРяды Фурье4π 2x dx =.320π2 + 22.8.Предметный указательЛитератураРавенство Парсеваля имеет видоткудаИнтегралы Фурье∞X14π 2=,2n3n=1Веб – страницаТитульный лист∞X1π2=.n26n=1Интегрирование и дифференцирование рядов ФурьеВопрос об интегрировании рядов Фурье удобно начать с некоторого обобщения равенства Парсеваля.JJIIJIСтраница 42 из 127Теорема 2.23. Пусть f, g ∈ C2π .

Тогдаhf |gi =+∞X∞Xcn (f )cn (g) ≡ c0 (f )c0 (g) +cn (f )cn (g) + c−n (f )c−n (g) ,n=−∞n=1где1hf |gi =2πZ2πНазадПолный экранЗакрытьf (x)g(x) dx .0ВыходДоказательство. Теорема вытекает из уравнения замкнутости. Действительно,пустьnXsn =ck (f )ek ,k=−nт.е. частичная сумма ряда Фурье функции f . Тогда kf − sn k → 0 при n → +∞. Ноhsn |gi =nXРяды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательck (f )ck (g)Литератураk=−nи в силу неравенства Шварца|hf |gi −nXk=−nck (f )ck (g)| = |hf − sn |gi| 6 kf − sn k · kgkВеб – страница→n→+∞0.Теорема остается верной для значительно более широкого класса функций fи g, лишь бы для них выполнялись условия замкнутости (равенства Парсеваля),см. п. 2.7.

Для наших целей достаточно того, что теорема остается верной дляпериодической функции g, определенной при x ∈ [0, 2π] равенствами(1 , при x ∈ (α, β) ⊂ [0, 2π] ,g(x) =0 , при x ∈/ (α, β) .Такая функция элементарно аппроксимируется в среднеквадратичном непрерывнойфункцией, см. рис.4. Например, отличиеr в среднеквадратичном функции g от апS, где S — суммарная площадь заштрипроксимации на рис.4 не превосходит2πхованных треугольников.

Эта величина может быть сделана сколь угодно малой иТитульный листJJIIJIСтраница 43 из 127НазадПолный экранЗакрытьВыходРяды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательЛитератураВеб – страница1Титульный лист0αβJJIIJI2πСтраница 44 из 127НазадРис. 4: Сглаживание разрывовПолный экранЗакрытьВыходтогда, как было показано в п. 2.7, ряд Фурье функции g сходится к ней в среднеквадратичном, а, следовательно, теорема 2.23 остается верной и для такой функцииg.Запишем утверждение теоремы 2.23 для произвольной непрерывной периодической с периодом 2π функции f и функции g, определенной выше.

Тогда ввиду1cn (g) =2πZβ1e−inx dx =2παinxeПредметный указательdx ,ЛитератураαнаходимZβВеб – страницаZ2πf (x) dx =αРяды ФурьеИнтегралы ФурьеZβf (x)g(x) dx = 2π0+∞Xcn (f )cn (g) =n=−∞+∞Xn=−∞Zβcn (f )einx dx ,αно это в точности означает возможность интегрировать почленно ряд Фурье функции f . Заметим, что исходный ряд Фурье не сходился (вообще говоря) равномернои теорема об интегрировании из общей теории рядов не применима. Заметим также,что проинтегрированный ряд сходится равномерно относительно α и β, посколькуимеет сходящийся мажорантный ряд2π|c0 (f )| + 2Титульный листX |cn (f )|.nn6=0Нами доказанаТеорема 2.24. Ряд Фурье непрерывной периодической с периодом 2π функцииможно интегрировать почленно, причем проинтегрированный ряд сходится равномерно относительно пределов интегрирования (считая, что последние изменяются на интервале длиной в период).JJIIJIСтраница 45 из 127НазадПолный экранЗакрытьВыходПерейдем теперь к вопросу о дифференцировании. Как было показано в ходедоказательства теоремы Дирихле о равномерной сходимости (с помощью формулыинтегрирования по частям), если f — непрерывно дифференцируемая периодическаяс периодом 2π функция, тоcn (f 0 ) = in · cn (f ) ,(2.14)что соответствует возможности почленного дифференцирования ряда Фурье такойфункции f с получением ряда Фурье (сходящемся, вообще говоря, лишь в среднеквадратичном) ее производной.

В силу леммы Римана-Лебега, из этого соотношениявытекает оценка скорости убывания при n → ∞ коэффициентов Фурье функции1класса C2π(т.е. непрерывно дифференцируемой, периодической):1cn (f ) = o,nт.е. быстрее чем n1 . Если функция f k раз непрерывно дифференцируема, то применяя k раз формулу (2.14) получимcn (f (k) ) = (in)k · cn (f ) ,откуда вытекает оценка 1 cn (f ) = o knдля коэффициентов Фурье k раз непрерывно дифференцируемой периодической спериодом 2π функции.Из этих оценок и из теоремы о дифференцировании общих функциональных рядов вытекает, что ряд Фурье k раз непрерывно дифференцируемой периодическойфункции можно почленно дифференцировать (k − 1) раз с сохранением равномерной сходимости ряда. k-е дифференцирование будет приводить к ряду Фурье k-ойпроизводной, но сходимость ряда надо понимать уже в среднеквадратичном.Верно и обратное наблюдение: если коэффициенты Фурье некоторой функцииубывают достаточно быстро, такая функция будет достаточно гладкой.

Именно, вернаРяды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательЛитератураВеб – страницаТитульный листJJIIJIСтраница 46 из 127НазадПолный экранЗакрытьВыходТеорема 2.25. Пусть коэффициенты Фурье некоторой (периодической с периодом 2π) функции f удовлетворяют оценке:cn (f ) =σnnk+∞X(n 6= 0) ,|σn |2 < ∞ .n=−∞Тогда функция f (k − 1) раз непрерывно дифференцируема.Доказательство. Действительно, тригонометрический ряд, полученный в результате формального почленного дифференцирования (k − 1) раз, имеет коэффициенты(in)k−1 cn (f ) = ik−1σnnи, следовательно, абсолютно сходится, что оправдывает возможность дифференцирования почленно данное количество раз.2.9.Ряды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательЛитератураВеб – страницаТитульный листJJIIJIРяды Фурье периодических функций с периодом T = 2lЕстественно, мы могли рассматривать с тем же успехом периодические функции спроизвольным периодом T = 2l.