А.М. Будылин - Ряды и интегралы Фурье, страница 4

Такая продолженная функцияf равномерно непрерывна и, фиксировав произвольно ε > 0, можно выбрать δ > 0 такое, что |x2 − x1 | < δ ⇒|f (x2 )−f (x1 )| < ε. Выберем далее функцию ω(x) так, чтобы она была положительной непрерывно дифференцируемойR +∞четной функцией равной нулю при |x| > δ и такой, чтобы −∞ω(x) dx = 1 . Разумеется, последний интеграл неявляется несобственным, в действительности интегрирование ведется только по интервалу [−δ, δ].

Составим далеесвертку+∞Zg(x) =f (t)ω(x − t) dt ,Ряды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательЛитератураВеб – страницаТитульный листJJIIJI−∞где под f понимается продолженная функция. Заметим, что+∞Z+∞Zω(t) dt =−∞+∞Zω(x − t) dt = 1ω(−t) dt =−∞Страница 31 из 127−∞и, как и ранее (в периодическом случае), получаем оценку |f (x) − g(x)| < ε для всех x, в частности, для исходнойфункции f , если a 6 x 6 b.Выберем g так, чтобы kf − gk∞ = max |f (x) − g(x)| <a6x6bтаково, чтоε.

Пусть, далее, λ2(b − a)НазадПолный экранZb ε g(x)eiλx dx 6 .2ЗакрытьaВыходТогдаZb Zb Zbε iλxiλx f (x)e dx 6 (f (x)−g(x))e dx+ g(x)eiλx dx 6 (b−a)kf −gk∞ + = ε .2aaaРяды ФурьеИнтегралы ФурьеДоказательство 2. Будем считать, что f продолжена непрерывно как константа заграницы [a, b].Zbiλxf (x)eb+hb+hZZiλ(t−h)−iλhdx =f (t − h)edt = ef (t − h)eiλt dt .aa+hПредметный указательЛитератураВеб – страницаa+hТитульный листπВыберем h = . ТогдаλZbb+hZiλxf (x)e dx = −f (t − h)eiλt dt .aa+hПрибавляя к обеим частям равенства интеграл2af (x)eiλx dx =Zbaf (x)eiλx dx и используя аддитив-IIJIСтраница 32 из 127aность интеграла, находимZbRbJJНазадZab+hZiλtf (t − h)e dt −f (t − h)eiλt dt .a+hb[f (t) − f (t − h)]eiλt dt −Первый интеграл справа мал при λ → ∞ в связи с равномерной непрерывностьюфункции f . Малость двух остальных — тривиальна: они оцениваются через M |h|,где M — наибольшее значение модуля функции f на интервале.Полный экранЗакрытьВыходТеперь, чтобы сформулировать основную теорему о сходимости, нам потребуетсяпровести одно предварительное вычисление.Определение 2.15.

Ядром Дирихле называется функцияnXDn (x) =Ряды Фурьеeikx .Интегралы Фурьеk=−nПредметный указательЛемма 2.16. Ядро Дирихле Dn является непрерывной периодической с периодом2π четной функцией равнойЛитератураВеб – страницаsin (2n+1)x2Dn (x) =,sin x2Титульный листпричем12πZ2π(2.13)Dn (x) dx = 1 .0Доказательство.Dn (x) =nXk=−nikxe−inx=e2nXix j−inx 1(e ) = ej=0ei= e−inxJJIIJIСтраница 33 из 127− ei(2n+1)x1 − eixНазад2n+1x2ixe2·e−i2n+1x2ix− ei2n+1x2ixe− 2 − e 2sin (2n+1)x2=,sin x2Полный экраноткуда вытекает, также, свойство четности.

Равенство (2.13) вытекает из (1.2).ЗакрытьЯдро Дирихле замечательно тем, что частичная сумма Фурье функции f является сверткой функции f с ядром Дирихле, как сразу следует из (2.12) и билинейностиВыходсверткиnXf ∗ Dn = f ∗ek =nXck (f )ek .k=−nk=−nk=−nnXf ∗ ek =Теорема 2.17 (Дирихле). Если функция f непрерывно дифференцируема и периодична с периодом 2π, то ряд Фурье сходится к функции f поточечно:1f ∈ C2π⇒+∞Xf (x) =cn einx ,x ∈ R,cn =n=−∞12πZ2πРяды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательf (x)e−inx dx .Литература0Веб – страницаДоказательство.1f (x) − f ∗ Dn (x) = f (x)2πZ2π1Dn (x − t) dt −2π0Z2πf (t)Dn (x − t) dt0Z2π1=[f (x) − f (t)]Dn (x − t) dt2π01=2πZ2π0f (x) − f (t) x − t(2n + 1)(x − t)·· sindt → 0 .n→+∞x−t2sin x−t2Последнее вытекает из леммы Римана-Лебега и непрерывности (по t) функцийf (x) − f (t)=x−tZ1f 0 (t + (x − t)θ) dθТитульный листJJIIJIСтраница 34 из 127НазадПолный экран0иЗакрытьx−tsin x−t2Выход(элементарно).Теорема 2.18 (Дирихле).

Если функция f непрерывно дифференцируема и периодична с периодом 2π, то ряд Фурье сходится к функции f равномерно.Ряды ФурьеДоказательство. Здесь все дело в скорости убывания коэффициентов Фурье. Пусть1f ∈ C2π. Тогда1cn (f ) =2πZ2π0Но1f (x)e−inx dx =2πZ2πe−inx1f (x) d=−in2πin0Z2π0+∞X|cn (f 0 )|2 сходится. Также сходится и рядn=−∞X 1. И тогда заключаем, что сходится рядn2n6=0+∞XПредметный указательЛитератураcn (f 0 )f 0 (x)e−inx dx =.in c (f 0 ) 1 1 n0 2|cn (f )| 6 +|c(f)|.6nn2 n2В силу неравенства Бесселя, рядИнтегралы ФурьеВеб – страницаТитульный листJJIIJI|cn (f )| . В силу теоремы 1.4,n=−∞ряд Фурье функции f сходится к своей сумме равномерно. Но в силу предыдущейтеоремы, его суммой является функция f (x).Страница 35 из 127НазадТеорема 2.19 (Основная). Если функция f непрерывна и периодична с периодом2π, то ряд Фурье сходится к функции f в среднеквадратичном, т.е.kf −nXk=−ncn en k → 0 ,n→∞Полный экранЗакрытьВыходгдеen (x) = einx ,Z2π1f (x)e−inx dx ,2π0vuZ2πuu 1tkf k =|f (x)|2 dx .2πcn =Ряды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательЛитература0Доказательство.

Фиксируем произвольно ε > 0. Аппроксимируем функцию f равε1номерно функцией g ∈ C2πтак, чтобы kf − gk∞ < . В силу теоремы Дирихле, если2nXεck (g)ek k∞ 6 . Из этих оценок и минимизирующегоn достаточно велико kg −2k=−nсвойства коэффициентов Фурье находимkf −nXk=−nck (f )ek k 6 kf −nXck (g)ek k 6 kf − gk + kg −k=−n6 kf − gk∞ + kg −nXВеб – страницаТитульный листJJIIJIck (g)ek kk=−nnXk=−nСтраница 36 из 127ck (g)ek k∞ε ε= + = ε.2 2Замечание 2.20. Этот же результат может быть получен как следствие плотноститригонометрических полиномов в C2π (теорема Стоуна – Вейершрасса).

Аналогичный конструктивный подход основан на теореме Фейера, где тригонометрическийполином, являющийся равномерным приближением данной непрерывной функции,строится явно (как среднее арифметическое частичных сумм Фурье).НазадПолный экранЗакрытьВыходСледствие 2.21 (Равенство Парсеваля). Если функция f непрерывна и периодична с периодом 2π, тоZ2π+∞X12|cn | =|f (x)|2 dx ,2πn=−∞0Ряды Фурьегде cn = cn (f ).Интегралы ФурьеДоказательство. Воспользуемся (2.8):Предметный указательkf −nX22ck ek k = kf k −k=−nЛитератураnX2|ck | .k=−nПо доказанному в теореме, левая часть стремится к нулю.

Значит, стремится к нулюи правая, что ведет к равенству Парсеваля.Веб – страницаТитульный листВещественная форма равенства Парсеваля имеет видZ2π∞|a0 |1X122+(|an | + |bn | ) =|f (x)|2 dx ,42 n=12πJJIIJI20так как из формул (2.6) следуетСтраница 37 из 127|an |2 + |bn |2,|cn |2 + |c−n |2 =22.6.n ∈ N.Понятие о полноте и замкнутости ортонормированной системыВернемся к абстрактным обозначениям. Пусть e1 , e2 , .

. . — ортонормированная система в унитарном пространстве V . Она называется полной, еслиa ⊥ en(∀n)⇒a = 0.НазадПолный экранЗакрытьВыход(Полнота понимается в том смысле, что систему нельзя расширить, добавляя к нейновые векторы). Она называется замкнутой , если∀a ∈ V :kak2 =∞X|cn (a)|2 ,n=1Ряды Фурьет.е. для произвольного вектора выполнено равенство Парсеваля (уравнение замкнутости).

Как мы знаем, замкнутость означает возможность аппроксимировать (всмысле эрмитовой нормы) произвольный вектор a частичными суммами Фурье слюбой степенью точности, т.е.∀a ∈ V :ka −nXПредметный указательЛитератураВеб – страницаck (a)ek k → 0 .k=1n→∞Легко видеть, что полнота ортонормированной системы является следствием еезамкнутости. Действительно, если вектор ортогонален всем векторам замкнутой системы, то в силу уравнения замкнутости, норма такого вектора равна нулю, а, следовательно, и сам вектор равен нулю.Можно показать (методами теории гильбертовых пространств), что в действительности понятия замкнутости и полноты равносильны.В предыдущем пункте было, таким образом, доказано, что система экспонентen (x) = einx (n ∈ Z) является полной и замкнутой системой в унитарном пространстве непрерывных периодических с периодом 2π функций.2.7.Интегралы ФурьеЗамечания по поводу сходимостиСледует заметить, что ряд Фурье просто непрерывной (периодической) функции, необладающей каким-либо дополнительным свойством гладкости, может расходится вбесконечном (даже — несчетном) множестве точек, см.

[1]. Если функцию еще ухудшить, но так, что она останется интегрируемой по Лебегу, ряд Фурье вообще можетТитульный листJJIIJIСтраница 38 из 127НазадПолный экранЗакрытьВыходрасходится всюду, см. [5]. Эти примеры говорят о том, что вопрос о поточечнойсходимости рядов Фурье является неадекватным. Тем не менее отметим, что еслифункция непрерывна и имеет на периоде ограниченную вариацию (то есть являетсяразностью двух монотонных функций), то поточечная сходимость имеет место.Со сходимостью в среднеквадратичном дела обстоят намного лучше.

Например,если функция f интегрируема и интегралZ2πРяды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указатель2|f (x)| dxЛитература0существует как несобственный с конечным числом особенностей, то ряд Фурьефункции f сходится к ней в среднеквадратичном. Принципиальным здесь является тот факт, что любую такую функцию с любой степенью точности можно в среднеквадратичном аппроксимировать непрерывной функцией.

Действительно, пусть ε > 0 фиксировано и g — непрерывная периодическая с периодом 2πфункция, являющаяся аппроксимацией функции f в среднеквадратичном, так чтоεkf − gk 6 . Возьмем достаточно длинный отрезок ряда Фурье функции g так,2nXεчтобы kg −ck (g)ek k 6 .