Н.И. Чернова - Теория вероятностей

Что было, а также чего не было, но что вполне могло бы бытьпрочитано в курсе лекций под названиемТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙЧернова Н.И.— Знаете что, милый Арамис? — сказал д’Артаньян,ненавидевший стихи почти так же сильно, как латынь. —Добавьте к достоинству трудности достоинство краткости,и вы сможете быть уверены в том, что ваша поэма будетиметь никак не менее двух достоинств.СодержаниеВведение . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4Г л а в а 1. Классическая вероятностная схема . . . . . . . . . . . . 6§ 1. Основные формулы комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . 6§ 2. Элементарная теория вероятностей . . .

. . . . . . . . . . . . 11Г л а в а 2. Геометрическая вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . 18§ 1. Определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18§ 2. Существование неизмеримых множеств . . . . . . . . . . . . . 20Г л а в а 3. Аксиоматика теории вероятностей . . . . . . . . . . . . 22§ 1. Алгебра и сигма-алгебра событий . . . . .

. . . . . . . . . . . 22§ 2. Мера и вероятностная мера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Глава§ 1.§ 2.§ 3.§ 4.4. Условная вероятность, независимостьУсловная вероятность . . . . . . . . . . . . .Независимость . . . . . . . . . . . . . . . . .Формула полной вероятности . . . . . . . . .Формула Байеса . .

. . . . . . . . . . . . . ...................................................33333436372ОГЛАВЛЕНИЕГлава§ 1.§ 2.§ 3.§ 4.5. Схема Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Распределение числа успехов в n испытаниях . . . . . . . . .Номер первого успешного испытания . . . . . .

. . . . . . .Независимые испытания с несколькими исходами . . . . . .Приближение гипергеометрического распределения биномиальным . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 5. Теорема Пуассона для схемы Бернулли . . . . . . . . . . . .Глава§ 1.§ 2.§ 3.§ 4.§ 5.§ 6.§ 7.6. Случайные величины и их распределения .Случайные величины .

. . . . . . . . . . . . . . . .Распределения случайных величин . . . . . . . . .Функция распределения . . . . . . . . . . . . . . .Примеры дискретных распределений . . . . . . . .Примеры абсолютно непрерывных распределенийСвойства функций распределения . . . . . . .

. .Свойства нормального распределения . . . . . . .....................................................39394041. 42. 43........4646495353555963Г л а в а 7. Преобразования случайных величин . . . . . . . . . . . 65§ 1. Измеримость функций от случайных величин . .

. . . . . . . . 65§ 2. Распределения функций от случайных величин . . . . . . . . . 66Глава§ 1.§ 2.§ 3.§ 4.§ 5.§ 6.§ 7.8. Многомерные распределения . . . .Совместное распределение . . . . . . . . .Типы многомерных распределений . . . . .Примеры многомерных распределений . .

.Роль совместного распределения . . . . . .Независимость случайных величин . . . . .Функции от двух случайных величин . . . .Примеры использования формулы свёртки........................................................................................6969707273747678Глава§ 1.§ 2.§ 3.§ 4.§ 5.9. Числовые характеристики распределений . . . . . . .Математическое ожидание случайной величины . . . . . .

.Свойства математического ожидания . . . . . . . . . . . . .Дисперсия и моменты старших порядков . . . . . . . . . . .Свойства дисперсии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Математические ожидания и дисперсии стандартных распределений . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......8181828486. 87Г л а в а 10. Числовые характеристики зависимости . . . . . . . . 91§ 1. Ковариация двух случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . 91§ 2. Коэффициент корреляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93ОГЛАВЛЕНИЕ3§ 3. Свойства коэффициента корреляции . .

. . . . . . . . . . . . . 94§ 4. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Г л а в а 11. Куда и как сходятся последовательности случайныхвеличин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 1. Сходимости «почти наверное» и «по вероятности» .

. . . . .§ 2. Неравенства Чебышёва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 3. Законы больших чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 4. Примеры использования ЗБЧ Чебышёва . . . . . . . . . . .. 99. 99. 104. 106. 108Г л а в а 12. Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . .§ 1. Как быстро среднее арифметическое сходится к математическому ожиданию? . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 2. Слабая сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 3. Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . . . . . .§ 4. Предельная теорема Муавра — Лапласа . . . . . . . . . . .§ 5.

Примеры использования ЦПТ . . . . . . . . . . . . . . . . .. 110. 111. 114. 115. 116Глава§ 1.§ 2.§ 3.§ 4.. 120. 120. 122. 125. 12613. Характеристические функции . . . . . . .Примеры вычисления . . . . . . . . . . . . . . . .Свойства характеристических функций . . . . . .Доказательство ЗБЧ Хинчина . . . . .

. . . . . .Доказательство центральной предельной теоремы............................... 110Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Простые и непростые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Предметный указатель . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139ВведениеСтудентам первого курса ЭФ читатьвведение строго воспрещается!Учебное пособие практически дословно повторяет курс лекций по теории вероятностей, читаемый автором студентам первого курса отделенияэкономики экономического факультета НГУ.Курс теории вероятностей продолжается далее полугодовым курсом математической статистики. Затем студентам предстоит полугодовой курс регрессионного анализа, полугодовой курс теории временных рядов (в рамкахкурса эконометрии), знакомство в ряде дальнейших курсов с основами теории игр и теории принятия решений.Объём курса ограничен рамками не более чем пятнадцати лекций короткого весеннего семестра и слабой подготовленностью слушателей, за плечами которых к моменту начала изучения предмета имеется лишь один семестрматематического анализа и линейной алгебры.Несмотря на это, читаемый автором курс не избегает, в том числе, такихабсолютно не знакомых студентам абстрактных понятий, как сигма-алгебрыи меры, и вообще стремится быть корректным, полным и доказательным, вотличие от чисто рецептурных курсов, читаемых на экономических факультетах и отделениях остальных вузов.Такое содержание курса сложилось в последние пять-шесть лет, и авторпока не видит необходимости в упрощении материала.

Оправданием сложности курса могут служить два обстоятельства: во-первых, постоянный семестровый контроль работы студентов приводит к тому, что более четвертислушателей усваивают материал полностью в течение семестра на отличном или близком к нему уровне. Ещё примерно половина студентов вполнесправляется с материалом после дополнительных летних месяцев подготовки. Во-вторых, студенты первого курса, не будучи ещё расслаблены «лёгкими» предметами, способны воспринять как должное курс лекций практически любой (разумной) сложности и насыщенности.Основная проблема, которую читатель отметит для себя в данном пособии, заключается в сжатости материала.

Несмотря на стремление к стро-ВВЕДЕНИЕ5гости изложения в целом, математическое ожидание излагается так, какэто принято на нематематических факультетах — в дискретном и непрерывном случаях, без изложения общей теории интеграла Лебега. Не тольконедостаточный в сравнении с механико-математическим факультетом объём курса математического анализа тому причиной, но и глубокая уверенность автора, что во всём — в том числе и в уровне серьёзности материала — следует знать меру.С нежеланием перегрузить студентов неподъёмным для их возраста иопыта материалом связано и отсутствие в курсе важной для экономистовтемы про условные распределения и условные математические ожидания.В 2004/5 уч. г.

этой теме была посвящена последняя лекция «для любителей», но в пособие она не вошла. И напротив, в тексте присутствует рядутверждений и примеров, которые не входят обычно в курс лекций,— например, теорема 13, доказательство теоремы 5, пример 13.Читателю, желающему освоить курс, стоит выполнять все содержащиеся в тексте упражнения и отвечать на заданные вопросы. В конце имеетсясписок полезных задач по тем разделам курса, которые не вполне покрываются практическими занятиями, либо дополняющих (но не заменяющих)материал практических занятий.Автор искренне признателен своим коллегам по кафедре теории вероятностей и математической статистики ММФ НГУ, в течение многихлет вынужденным терпеть рассказы автора о высоком уровне обученияматематике на ЭФ. Автор снимает шляпу перед самоотверженным трудомсвоих друзей и ассистентов Е.

А. Бакланова и В. В. Милосердова, по зовудуши и долгу службы этот уровень обеспечивающих за счёт своего времени,сил и нервов.Н. И. ЧерноваГЛАВА 1Классическая вероятностная схема. . . Да, первые страницы рассказа обнаруживают, что я очень плоходумаю о публике. Я употребил обыкновенную хитрость романистов:начал повесть эффектными сценами, вырванными из средины иликонца её, прикрыл их туманом. Ты, публика, добра, очень добра, апотому ты неразборчива и недогадлива. На тебя нельзя положиться, что ты с первых страниц можешь различить, будет ли содержание повести стоить того, чтобы прочесть её, у тебя плохое чутьё, ононуждается в пособии, а пособий этих два: или имя автора, или эффектность манеры.Н.Г.Чернышевский, Что делать?§ 1. Основные формулы комбинаторикиВ данном разделе мы займёмся подсчётом числа «шансов».

О числешансов говорят, когда возможно несколько результатов какого-либо действия (извлечение карты из колоды, подбрасывание кубика или монетки).Число шансов — это число способов проделать это действие или, что то жесамое, число возможных результатов этого действия.Теорема о перемножении шансов. Пусть одно действие можно проделать пятью способами, а другое — двумя. Каким числом способов можнопроделать пару этих действий?Теорема 1. Пусть множество A состоит из k элементов: A == {a1 , .

. . , ak }, а множество B — из m элементов: B = {b1 , . . . , bm }.Тогда можно образовать ровно km пар (ai , bj ), взяв первый элементиз множества A, а второй — из множества B.Замечание 1. Можно сформулировать утверждение теоремы 1 так: если первый элемент можно выбрать k способами, а второй элемент — m способами, то паруэлементов можно выбрать km способами.Доказательство. С элементом a1 мы можем образовать m пар:(a1 , b1 ), (a1 , b2 ), . . . , (a1 , bm ). Столько же пар можно составить с элементом a2 , столько же — с элементом a3 и с любым другим из k элементовГЛАВА 1.