Феодосьев В.И. - Десять лекций-бесед по сопротивлению материалов, страница 10

Во втором случае такого вывода сделать нельзя. Материал может не следовать закону Гука, но если изменение формы несущественно, к системе полность|о применимо зто правило. Если заранее известно, что между перемещениями и силами существует линейная зависимость, то можно поли уверенно утверждать, что при анализе системы можно придерживатьсл правила относительной жесткости. В качестве исключения можно представить себе лишь искус- ственно созданну1о систему, в которой нелпне11ности, связанные с существенными изменениями геометрической формы, в точности компенсировались бн пелинейностямп свойств материала.. Необходимо отметить, наконец, что уьке в закопе Гука а= Ез содерькптся в неявной форме признание принципа неизменности начальных размеров, поскольку не оговаривается, по отношению к какой пл щади и к какой длине следуег вычислять при пспыганиях У Г .

/ образцов величины а и з. Погреп1ности при Опреде- I ленни модуля Е будут не / меньше, есгественио, тех по- й~~ А~ греп1ностей, которь1е вносятся прпня гнем от11оснтел ьноп нэпзчее1ностп начальнь1х размеров. Ж ". д В связи со сказанным 3.', г НаИВНО ВЫГЛЯДЯГ ПОПЫТКИ прп помощи чисто геомегрпческого подхода учесть негу- Р ществепные изменения формы Гис, 29.

тела и тем самым «уточнить» решение зада~1и. Такого рода попыткп делаются обычно начинающими студентами при анализе, например, трехстерькневой системы, показанной на рис. 29, когда учащийся задается целью «учесть» нелинейность, возпикающую вследствпе изменения угла и, по схеме: Уравнение равпозесия— 2Г., сов (а: Ля) + Л'1 =- Р, уравнение деформаций— И =- И1 сов (Я вЂ” Ла). Понятно, что такого рода уточнение является иллюзорным, поскольку при з1ом не уточняется исходная зависимость И=ДР).

Системы, для которых соблюдается условие пропорциональности между перемещениями и внешними силами, подчиняются второму из основных правил (принципов сопротивления материалов) — принципу суперпозиция, или независимости действия сил. В соответствии с этим принципом перемещения, напряжения и деформации нагруженного тела считаются не зависящими от порядка приложения сил; действие суммы сил равняется сумме пх действий.

Положим, что к некоторому телу (рпс. 30) приложена сила Р». Перемещение точки А в некотором произвольно выбранном направлении "~Р~ будет пропорционально ° А силе Р„т. е. и« = 6«Р„($) где 6,— коэффициент проРис. 30. порциональности. Примем теперь, что сила Р, снята и в некоторой новой ~очке приложена сила Р,. Перемещение, которое вызовет эта сила в точке А в том же направлении, оудет и.,=6 Р .

(2) Коэффициенты пропорциональности 6, и 6, будут, конечно, различными, поскольку силы Р, и Р, приложены в разных точках тела. Будем считать, что принятая линейная зависимость между перемещениями и силами сохраняется как при возрастании, так и убывании сил и предопределяет, следовательно, и упругие свойства тела. Рассмотрим теперь совместное действие сил Р, и Р,.

Приложим к упругому телу силу Р„а затем, не снимая ее, силу Р,. Тогда перемещение, которое получит точка А, можно записать при помощи следующего выражения: иА =6»~ «+ 6Л. (3) Коэффициент 6, в данном случае будет тем же, что и в выражении (1), поскольку сила Р, прикладывалась к не- нагруженной системе. Коэффициент же 6.„в отличие от введенного ранее коэффициента 6~, отмечен п«трихом, так как сила Р., прикладывалась не к свободной системе, а к системе, предварительно нагруженной силой Р,. Если коэффициенты 6., и 6'., различны, то следует признать, что 6, зависит от силы Р».

Тогда выражение (3) противоречит основному предположению о том, что прн любых силах перемещения зависят от действующих сил линейно. Следовательно 6., от Р, не залисит. При Р,=О выражение (3) должно переходить в выражение (2). Следовательно, б;=б„и тогда ил=б1Р +б,Р (4) Таким образом, перемещение определяется суммой результатов независимых действий сил Р, и Р,. В частности, оно будет верным и в том случае, если силы Р, и Р, приложены в одной точке. Если изменить порядок приложения сил, то путем аналогичных рассуждений легко прийти к тому же выражению (4).

Следовательпо, результат действпя сил не зависит от порядка их приложения. Сказанное лагко обобщается и на случай любого числа сил. Итак, в основе принципа независимости действия сил лежит предположение о линейной зависимости между перемещениями и силами при любой системе сил и, кроме того, предположение об обратимости процессов нагрузки и разгрузки.

В свете сказанного становится правомерным наряду с силовым рассматривать и температурное воздействие. Температурная деформация пропорциональна изменению температуры. Если материал подчиняется закону Гука и при нагреве не возникает пластических деформаций, то в приведенных выше рассуждениях под Р1 или Р, или под тем и другим вместе можно понимать температуры или, точнее говоря, температурные поля. Естественно, это верно до таких значений температур, при которых модуль упругости Е может считаться не зависящим от температуры, как до этого он считался независимым от сил.

Точно так же и коэффициент линейного расширения и предполагается не зависящим от напряжений и температуры. Применимость правила относительной жесткости предопределяет заранее и применимость принципа суперпозиции. Обратное — неверно. Сказанное можно пояснить схемой, изображенной на рпс. 31, где показана группа систем, имеющих линейные и нелинейные зависимости между перемещениями и силами, а также области прпменения двух рассмотренных выше правил, Применение принципа независимости действия сил к решению задач сопротивления материалов и теории упругости дает очень много.

Оно позволяет, во-первых, при большом числе внешних сил получить решение как результат наложения частных решений. Кроме того, на основе принципа независимостп действия сил можно получить общие теоремы (теоремы взаимности, Кастилиано и др.), применение которых позволяет создать эффективныо методы расчета многих сложных систем. Перейдем теперь к принципу Сен-Венана, Этот принцип утверждает следующее: есчп в пределах некоторой области 1упругого тела приложена система сил, то на расстояниях, Дыюиич щппцип п~зИкя Ост Зсбсабйя шя ПРу~кякО щзпЦлО Р/пипсО~пилы~05 экос!пкпспа существенно превыша|ощих характерные размеры взятой области, напряжения и деформации практически одинаковы для всех статически эквивалентных систем спл.

Принцип Сен-Венана прочно вошел в методы реп|ения задач сопротивления материалов, и все то, что зтпм принципом утверждается, воспринимается обычно как само собой разумеющееся, Так, например, при решении задачи оо изгибе балки (рис. 32) пе ставится вопрос о том, как приложена сила Р и каким ооразом осуществляется связь р балки с опорами. Между тем здесь возможен целый ряд конструктивных вариав1ов.

Некоторые из них показаны на рис. 33. Рис„32. В данном случае прин- цип Сен-Венана утверждает, что независимо оч конструкции узлов, и, следовательно, независимо от способа передачи усилпй на балку, в зонах, достаточно удаленных от мест приложения сил, напряжения и деформации в балке определяются только равнодействующими — силой Р и связанными с ней реакциями опор.

Расстояние, на котором особенности приложения сил уже теряют свое значение, имеет величину порядка размеров поперечного сечения бруса Исследование напряжений, возникающих в подвесках, проушинах, тележках, сварных швах и в заклепках, пред- ставляет собой особую задачу. При аналпзе аапрягкенпй в пределах каждого узла принцпп Сен-Вепапа также находит свое место. В частности, напряженпя в заклепках узла, показанного на рис. 34, определяюгся величиной равнодействующей и практически не зависят от того, каким образом распределены внешппе силы в зоне проушины.

Рис. 33. Применение принципа Сен-Вепаыа позволяет существенно расширить общность основных расчетных формул сопротивления материалов, поскольку освобождает от необходимости учитывать конкретные особенности местного распределения сил. Принцип Сен-Вепана, как и все прочие принципы, в общем виде не доказывается, хотя в ряде частных случаев полностью подтверждается на примерах решения задач методами теории упругости, Гпс.

35 Для подавляющего больгпинства встречающихся йа практике систем можно применять принцип Сен-Венана. Так, на основе применения этого принципа построен расчет стержневых и рамных систем. На основе этого прин- ципа устанавливаются стати- Ф чески эквивалентные условия Ф Ф -Ф- на контуре пластин или обо- ФФ Ф~ лочек. Имеются и другие наглядные примеры его эф. фективности.

В данном случае, однако, интереснее рассмотреть не столько правила, сколько исключения. Прежде всего следует ука- Р зать на то что по своей сущ- ! ности принцип Сен-Венана Рис. 34. не имеет смысла, когда речь идет о местных напряжениях или, иначе говоря, об определении напряжений в зоне приложения сил. К числу подобных задач относятся в первую очередь все контактные задачи. Сюда же относятся задачи об определении напряжений в зоне наложения местных связей типа жестких вставок или, наоборот, Р ненагруженных отверстий. Широкий класс систем, при анализе которых не всегда можно воспользоваться принципом СенВенана, образуется на ос- 1 нове схемы тонкостенного стержня.

На рис. 35 показано нагружение тонкостенного и сплошного стержня силой Р, передаваемой через жесткую скобу. Как в одном, так и в другом случае в окрестности торца напряжения по поперечному сечению распределены неравномерно. Обычно принимается, что эта неравномерность является существенной лишь для областей, простирающихся по оси стержня на расстояние порядка размеров поперечного сечения. Для сплошного стержня такое ут- верждение является правильным. Для тонкостенного же стержня размер зоны неравномерного распределения напряжений будет существенно выше.