Феодосьев В.И. - Десять лекций-бесед по сопротивлению материалов, страница 29

В предложенном же методе мы не ищем корни системы (15), а просто в правые части системы ~14) подставляем на каждом шаге значения предыдущего шага, что всегда легко выполняется. Мало того, решение задачи по шагам освобождает нас от необходимости анализировать многозначность форм равновесия. Она исключается однозначностью истории нагру".кения. Такнм образом, при использовании подхода, который мы называем шаговым, практически не чувствуется разли- ЫВ чия ме:кду линейными и нелинейными системами, больп1има и малыми перемещениями, между статикой и динамикой.

Открывается естественная возможность решения задач ползучестп как процесса, протекающего во времени. 1Паговая концепция является специфически мап)инной. В ней в настоящее время наиболее полно используются положительные стороны машины и относительно безболезненно обходятся «краевые препятствия». Технические трудности решения задач шаговым методом относительно невелики.

Они сводятся в основном к программированию. Однако имеются и некоторые спецпфические особенности. Во-первых, отсутствие первых производных Л ~ в системе (14) приводит в некоторых случаях к возникновению колебательных возмущений, налагающихся на закон изменения параметров А». Поэтому иногда бывает целесообразно искусственно ввести в уравнения движения линейное затухание, коэффициенты которого выбираются не настолько большими, чтобы исказить процесс, но достаточными, чтобы погасить возмущения, связанные с начальным этапом нагружения. Во-вторых, при птаговом методесистема сраспределенными массами, как мы видели, сводится к некоторой новой системе, обладающей конечным числом степеней свободы, равным числу варьируемых параметров. Гстественно, что при интегрировании по времени шаг доля'ен быть взят существенно меньшим периода собственных колебаний, соответствующего высшей парциальной частоте.

С увеличением числа варьируемых параметров зта частота возрастает. Следовательно, увеличение числа параметров увеличивает не только время счета в пределах одного шага, но также и число шагов на участке интегрирования. Необходимое машинное время при этом может оказаться чрезмерно болыпим, а реп1епне — практически неосуществпмым. Так, в частности, бывает в задачах, связанных с деформацией оболочки, если в уравнениях наряду с нор-. мальными перемещениями ш сохранить в явной форме перемещения и и и, парциальные частоты для которых существенно выше, чем для ш. В подобных случаях можно, конечно, выйти из затруднительного положения, перестроив тем или Йным способом систему уравнений. Но если задача не является динами- блесной по существу, то проще вместо времени 1 взять некогорый новый «календарный» параметр, характеризующий процесс деформирования, например, нагрузку или характерноее перемещение.

Это будет дальнейшим развитием и обобщением шагового метода. Вместо процедуры Галеркина при составлении уравнений удобно бывает воспользоваться потенциальной функцией. В частности, это возможно, если в пластически деформируемом теле не возникаег зон разгрузки или если они имеют несущественное влияние, Напишем выражение полной потенциальной энергии аля некоторой системы; У = о,,Ые, сй' — Р3., о (1О) Р = — = ~ о. —..

' Ю вЂ” Р— = О. д0 Р оа,; дЬ, дА,,) ' оА~ дА "1'аким образом получаем систему нелинейных уравнений относительно неизвестных А ~, А.„...~ К,(А,, А.„...)=О, Р«(А1, А. ) = О. (18) Зта система для сложных нелинейных систем практически неразрешима. Переходим к шаговому методу. Параметры А» считаем зависящими от обобщенного «времени». Пусть это будет сила Р. Уравнения (18) должны выполняться в любой момент «времени». Поэтому где и, и е; — интенсивность иапряя'ее1ного и деформированного состо яний, ~' — объем деформируемой обл асти, Р— обобщенная сила, а Х вЂ” соответствующее обобщенное перемещение, В дополнение к этому имеем соотиошения, связывающие деформации с перемещениями и, г и и~, и также соотношения упругости или пластичности. По- прежнему представляем перемещения и, и и ю в форме (11).

Из условий минимума потенциальной энергии найдем Ч'огда получаех1 дР~ дА~ дГ1 ИА» дР1 дА» + дР1 о дА1 дР дА» ЙР ' ' ' дА» йР дР д~» ~~А1 ~ дР» дАг ~ ~~'» ~~А» ~ д~ » О дА, ЫР +дА» йР ' ''' +дА» йР ~ дР Ио так кан согласно (17) д~~ дХ дР дА~ ' то в итоге получаем систему конечно-разностных ний; а„ЛА,+а1..ЛА,+... +а1»ЛА, =а, ЛР, уравне- (191 а„ЛА~+а„ЛА»+ ° .. +а«»ЛА,=а„~ЛР, дХ а~ — — — ", а~ — —— дА» ' дА„ Система (19) решается по шагам.

Коэффициенты а ~ и а~ вычисляются по значениям А ~ предыдущего шага. В программах, реализующих подобное решение, наиболее громоздким является вычисление коэффициентов системы (19). При нелинейной зависимости а; от е„, т. е. если задача решается в области пластических деформаций, вели чину де,/дА ~ в выражениях вида(17) лучше определять численно, давая А ~ малые приращения.

То же самое следует делать и при определении коэффициентов а„„~ системы (19). Это достигается составлением программы по принципу «цикл в цикле». При линейной зависимости подынтегральная функция в выражениях (17) может быть выражена, как правило, аналитически. Тогда логическая часть программы упрощается. На основе описанного подхода могут репгаться многие задачи, совершенно не поддающиеся анализу другими методами. Примеры таких задач приведены в главе 111. Понятно, что шаговый метод не являе~ ся единственным методом применения машин к расчету конструкций.

Могут быть предложены и многие другие. Шаговый метод наиболее эффективен в области задач с явно Выраженной нелинейностью. Вместе с тем его трудно применить к расчету элементов сложной геометрической формы, где не удается подоорать аппроксимирующие функции простого Вида. Заканчивая эту главу, хочется указать, что в настоящее время электронно-цифровые машины стали таким же 001)1денным средстВом познания, как авто1чашинь1 — средстВом передВ11женил. И подобно тому как Вождение аитомашины перестало оыть привилегией людей определенной профессии, ч ак и работу с электронно-цифрово11 машиной не следует рассматривать как сферу деятельностп одних только программистов и операторов.

Машина вошла и ъ*изнь научных, центров как повседневное средство поиска, а преодоление перечисленных выше и многих других трудностей машинного анализа представляет собой благодарную область приложения ума, выдумки, э11ергип и изобре-, тательности для молодого ученого. Оглавление 17. Основные правила и привцппы в сопротпвленпи материалов а ° ° ° е ° ° ° ° ° ° ° е ° ° ° ° ° ° ° в - 5м 9 ° ° ° ° ° 66 7. О температурных напряжениях .. И. О предельных состояниях . 7И.

Об усталостиой прочности... 7111. Об устойчивости.... 1Х. Еще об устойчивости 90 . 106 . 125 Х. Расчет конструкций и алектронно-цпфровые машины 150 Предисловие ..................... В 1. Сопротивление материалов, теория упругости и прочее 5 11. От реальной конструкции к расчетной схеме .... 12 111. От расчетной схемы к реальной конструкции ... 32 .