Феодосьев В.И. - Десять лекций-бесед по сопротивлению материалов (1113498), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Краевые задачи„характерные для механики деформируемых систем, действительно создают трудности для машины. И чем выше порядок уравнения, тем сложнее решить краевую задачу. Например, для уравнения четвертого порядка нам пришлось бы производить подбор уже не одного, а двух начальных параметров для того, чтобы добиться соблюдения двух граничных условий на конце участка интегрирования. Конечно, в большинстве случаев и зтп грудносгп преодолимы. Мо кно построить программу, содержащую блок Рвс.
108. линейной интерполяции по двум, трем и даже четырем параметрам, и получить искомое решение. Однако, не всегда. Рассмотрим в качестве примера цилиндрическую оболочку, защемленную по торцам н нагруженную внутренним давлением р (рис. 108), Дифференциальное уравнение упругой линии образующей имеет вид (9) где ш радиальное перемещение, И К>>з 4 12 (1 — И2) 12 (1 — ~Р) ' Л~Ь~ Попробуем решить это хорошо известное уравнение численным методом и обратимся к описанной выше элементарной процедуре.
Для зтого введем обозначения.' ЙР >12и> ,1з, — — = ц,> — =Ш вЂ” — И ~х 1' ~х~ 2> ,л~з з' ',Гогда получим четыре конечно-разностных уравнения~ Прп х=О величина и и и~, равны нулю. Что же касается и2 и и~„то они должны быть определены подбором с таким расчетом, чтобы при х=1 величины и~ и и~1, т. е. перемещение и угол поворота обратились в нуль. Казалось бы, все ясно. Но беда заключается именно в этом подборе двух начальных параметров. Оказывается, для достаточно длинной оболочки они должны быть вычислены со столь высокой степенью точности, что ни одна из существующих машин с этой задачей справиться не может.
Объясняется это следующим обстоятельством. Аналитическое решение уравнения (9) имеет вил и~ = е "" (С, з1п Йх+ С, соз Йх) + +ю ~СВВ1пйх+С4 соя пх) 1 В этом решении содержится две характерные функции! одна быстро затухающая и другая — столь же быстро возрастающая. -Для того чтобы при х= ~ функция в обратилась в нуль, необходимо очевидно> чтобы константы С~ и С, имели величину порядка которая при большом ~ столь мала, что ленспт за пределами возможной точности вычислений.
При аналитическом же решении мы просто полагаем, что С,=С, О, и получаем решение для области, расположенной вблизи левого торца. Аналогичным образом получается решение и для окрестности второго края оболочки. Машина способностью к такому разделению возрастающей и убывающей функций не ооладает, и поэтому описанная вычислительная процедура практически яе может быть реализована. Следовательно, численное решение уравнения (9) следует строить по иному принципу. Й настоящее время для лпнеттных уравнений такие приемы детально разработаны. Эго — метод прогонки, метод деления участка интегрирования на укороченные интервалы и различные их модификации.
Нодробнос изложение этих приемов имеется в многочисленных руководствах 0о численным методам. Примеры трудностей, возникающих при решении краевых задач, можно было бы продол'кить. С ними приходится встречаться довольно часто. Поэтому, готовясь к выходу па машину, очснь важно во-время разглядеть возможные препятствия и обойти их либо на стадии выбора расчетной схемы, либо при построенпн алгоритма (процедуры вычисления) или, наконец, ва стадии программирования.
Таким образом, мы видим, что машина, освобождая нас от многих ранее упомянутых обязанностей, не освобождаег во всяком случае от двух: от необходимости владеть математическим аппаратом и творчески мыслить, Ыы рассмотрели довольно простые примеры, когда решение задач сводится к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ну, а если нужно решить уравпстттте в частных производньтх7 Для лттнейных уравнений в частных производных одним из очевидных приемов является применение метода сеток. Тогда уравнение в частных производных заменяется сттстемой линейных алгебраических уравнений с числом неизвестных, зависящим от числа взятых точек Основным препятствием здесь является недостаточный объем стамяпт существующих машин. Для нелнпепных уравнений в частных производных применоние метода сеток приводит, как правило, и непреодолимым трудностям.
Поэтому в тех случаях, когда имеют в виду в далт ттеттшем использовать электронно-цифровую машттн~, предварительно стремятся свести уравнение в частных производных к одному или нескольким обыкновенным дпфференцпальным уравненияхт. Так, ттапример, если уравнение составлено относительно неизвестной функцп~ сс от двух независимых переменных х в у, то можно попытаться представить и~ в виде и>(х, р) = /, ( ~) сг, (у) -, '- ~., (х) ср, (у) +... + /, (х) ср„, (у) (1 0) Система функций ~т„(х) подбирается заранее с таким расчетом, чтобы, с одной стороны, наиболее полно были отражены особенности ожидаемого решения, а с другой,— удовлетворены условия на границах пнтервала изменения ,г.
После подстановки ы в дифференциальное уравнение последнее тем или иным способом разделяется на и обыкновенных уравнений относительно функций ср~(у). Для их определенпя используется машина. Далее, найденные функции подставляются в выражение (10) для ы и теперь в качестве неизвестных рассматриваются функции «~(х). Процедура повторяется несколько раз, пока в решении не будет достигнута определенная степень правдоподобия. Такой подход в некоторых случаях может оказаться очень полезным, но имеет ограниченную область применения и представляет технические трудности опять в связи с необходимостью хранить в памяти мапшны для построения следующего приближения довольно большой объем информации. Более совершенным, а главное, универсальным, является способ перехода от краевой задачи к задаче Коши.
На этом методе стоит специально остановиться в связи с тем, что он перекликается с общей концепцией расчета на прочность, изложенной в главе Ш. Сущность этого метода сводится к следующему. Перемещения и, г, в в деформируемой области аппрок. симируются спстемой функций, содержащих некоторое число неопределенных параметров, причем безразлично, будут ли этп перемещения функциями одного, двух или трех переменных, важно лишь, чтобы при аппроксимации наиболее полно были отражены особенности ожидаемого решения и удовлетворены условия на границах области. Из соображений полноты решения выбирается и число неопределенных параметров.
Возможностями машины зто число, как правило, не лимитпруется. Обычно для практически необходимой точности достаточно бывает 5 — 10 параметров (5 — 10 степеней свободы). В результате, например, получаем и = А,«, (х, у, г) + А2«г (х, у, г) + Аз~э (г у г) ц = А4«, (т, у, г) + А,«, (х, у, г) + А,«, (т, у, г), (11) и~ = А,У, (гз у~ г) + Ае«8 (г у г) + А9«9 (т у г)з где А д — неопределенные параметры, а «д — аппроксимирующие функции. Далее, по перемещениям определяются компоненты деформаций в любой точке области: зх —— — ел (А,, Лг..., х, у, г), е,, = е,,(А1, А„...,,г, у, г),,(12) до д~ум Х+ + дю др д~и р — =о.
дт „ до„ вЂ” т=+ дх ду дтгу д~у р — „,=о; от,. — '+ =+ дж ду дг, р — =о д~ дя где Р— плотность материала. Используя процедуру Галеркина, умножаем первое уравнение последовательно на Х„7, и 7з, второе — на 7„ ~, и ~„а третье — на ~,, 7', и ~,, и интегрируем эти произведения по х, у и х в пределах объема деформируемой обласги. В результате получаем систему девяти уравнений: а,|А1+ а12А2+ ° ..
+а„>Ав =-~.1 (А1, А2 ° ) а21А,-г-а~,А,-; —... + а,Л, =А (А,, А,...), (14) а„Л, + а,,А, +... + а„А, = Е, (А, Л,„...), где ад,„— некоторые коэффициенты, а Ед(Л„А„...)— величины, зависящие от параметров А1, А~, ... и от заданных нагрузок. Система (14) интегрируется по шагам на электронно- цифровой машине. Величины 1.„определяются при этом по значениям Ад предыдущего шага также при помощи машины последовательным переходом от выражений (11) к (12), (13), (14), Еще удобнее обратиться к стандартной программе интегрирования по Рунге — Кутта, а вычисление величин Б~ располо'кить в блоке определения правых частей. В результате интегрирования получаем 'зависимость напряжений и перемещений от времени. Что касается сил, 167 Связь между деформациями и напряжениями задается соотношениями упругости или пластичности.
Поэтому можно найти напряжения: о„=о„(А„Л,,...,х, д, х), о =о (А„А„..., х, у, г),... (13) Остается использовать условия равновесия. И вот здесь делается неожиданный, но решающий для дальнейшего шаг. Составляются не уравнения равновесия, а уравнения движения, следовательно, вводится время Х.
Тогда по- лучаем то их зависпмость от времепи с штается заданной, В частности, в случае статического нагруженпя можно принять, что силы меняются пропорционально временп. Коэффициент пропорциональности при этом должен быть взят достаточно малым. Что же дает описанный подход и в чем его препмущества1 С позиций постановки расчета конструкции характерно то, что здесь определяется «биография» системы, начинал с исходного ненагруженного состояния и до исчерпания ее работоспособности. При помощи машипы создается как бы кинофильм о «жизни» конструкции взамен обычной фотографии, фиксирующеп определенное состояние равновесия.
В результате конструктор получает возможность гибко оценивать работоспособность конструкции и назначать рабочий режим по тем параметрам, которые оказываются решающими по существу. Иначе говоря, реализуется расчет на прочность по зависимости «внутренний — внешний параметры», т. е. именно то, о чем говорилось в главе 111. Очень существеннь-м является то, что в описанном подходе удается полностью избежать трудностей, связанных с нелинейностью. И дело заключается как раз в том, что пагружение системы рассматривается как процесс, протекающий во времени. В самом деле, если мы не будем вводить время ~ и перейдем к обычному анализу форм равновесия, то тогда уравнения (14) примут вид Е, ~Л„Л„...) = О, Е,(А,, Л„...) = О,... ~15) Мы получаем, таким образом, систему уравнений, которая должна быть решена относительно варьируемых параметров А ~, что при нелинейных соотношениях и, тем более, при больпюм числе неизвестных практически неосуществимо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
