А.М. Салецкий, А.И. Слепков - Лабораторный практикум по механике твёрдого тела, страница 7

В частности, для тела, состоящего из конечного числа элементарных (малых) масс miJ =∑ mi ρi2 ,(4.2)iгде ρi расстояние от элементарной массы до оси вращения. В общем случае, для сплошных тел, суммирование заменяется интегрированием:J = ∫ ρ 2 dm .Для некоторых тел простой формы, возможен прямой расчетмомента инерции. При сложной форме тела и неравномерном распределении его плотности аналитический расчет величины моментаинерции может стать достаточно сложной задачей.В данной работе применяются два способа экспериментальногоопределения момента инерции: с помощью анализа колебаний физического маятника, составной частью которого является исследуемое тело, и с помощью изучения вращательного движения этоготела.Определение момента инерции твердого тела на основе анализа его колебаний как физического маятника. Если закрепитьисследуемое тело А на горизонтальной оси О, проходящей черезцентр масс (рис.

12), то момент сил тяготения будет равен нулю, итело остается в состоянии безразличного равновесия. Если теперьзакрепить на исследуемом теле на некотором удалении L от оси малое тело В с известной массой m, торавновесие перестанет быть безразличным —при равновесии момент силы тяжести,действующий на тело В будет равен нулю.Такую систему тел можно рассматривать какфизический маятник.Уравнение движения такого маятникаРис.12.имеет вид(J + JB )d 2ϕ= −mgL sin ϕ ,dt 2(4.3)Схематическоепредставлениефизическогомаятникагде J , J B — моменты инерции твердого телаА и дополнительного грузика B относительно оси О, g — ускорениесвободного падения, ϕ — угол отклонения тела от положения равновесия,d 2ϕ— его угловое ускорение.dr 2Если углы отклонения малы (ϕ ≤ 10o ) , то sin ϕ ≈ ϕ и можно записатьd 2ϕ( J + J B ) 2 + mgLϕ = 0 .(4.4)dt48Лабораторный практикум по механике твердого телаДанное уравнение является уравнением собственных (свободных) гармонических колебаний, его решение имеет видϕ = ϕ 0 sin(ω 0t + θ 0 ) ,(4.5)где ω0 = 2π T — собственная циклическая частота, T — периодколебаний, ϕ 0 — амплитуда колебаний, θ 0 — начальная фаза колебаний.Дважды дифференцируя соотношение (4.5) по времени, получаемd 2ϕ= −ω0 2ϕ .(4.6)2dtСопоставляя (4.4) и (4.6), находим, чтоω02 =4π 2mgL=.2TJ + JBa =ε ⋅r ,(4.12)(5.7)В связи с тем, что размеры малого тела В во много раз меньшерасстояния до оси L, можно считать его материальной точкой и положитьJ B = mL2 .(4.8)Тогда из уравнений (4.7) и (4.8) получаем gT 2J = mL  2 − L  . 4πпроходящей через центр масс (рис.13).

Соосно с телом закреплен цилиндр С, на который наматывается нить с прикрепленнымк ней грузом В.Под действием силы тяжести груз будетопускаться, приводя исследуемое тело А вовращение. Уравнение движения груза В,уравнение вращательного движения тела Аи уравнение кинематической связи имеютвидma = mg − T ,(4.10)J ε = Tr − M тр ,(4.11)(4.9)Таким образом, для определения момента инерции твердого тела можно закрепить его на оси, проходящей через центр масс, установить на нем добавочное малое тело с известной массой, измеритьпериод колебаний и, зная расстояние L, по формуле (4.9) определить неизвестный момент инерции.Отметим, что при выводе соотношения (4.9) не учитывалосьвлияние момента сил трения ( M тр ) в оси.

Это приближение обусловлено тем, что при достаточно малом M тр его воздействие приводит прежде всего к постепенному уменьшению амплитуды колебаний и практически не влияет на их период.Определение момента инерции твердого тела на основе анализа его равноускоренного вращательного движения. Рассмотрим, как и в предыдущем случае, тело А, закрепленное на оси О,Рис. 13.

Схематическоепредставление твердоготела, закрепленногона оси и вращающегося под действиемгде m — масса груза В, J — момент инерцииисследуемого тела вместе с цилиндром C, g — ускорение силы тяжести, T — натяжение нити, r — радиус цилиндра, на который намотана нить, M тр — момент сил трения, a — ускорение тела В.Из уравнений (4.10)–(4.12) получаем g  M тр rJ = mr 2  − 1 −.aa (4.13)Таким образом, если известно ускорение груза В и момент силтрения в оси, то по формуле (4.13) мы можем определить моментинерции исследуемого тела.Предположим, что груз начинает опускаться с отметки x0 = 0, амы измеряем время ∆t прохождения его между двумя точками x1и x2 . Движение груза на участке x1 − x2 является равноускоренным, и можно записатьat 2x1 = x0 + 1 ,(4.14)2a (t + ∆t ) 2x2 = x0 + 1,(4.15)2где t1 — время прохождения участка x1 − x0 , ∆t — время прохождения участка x2 − x1 .50Лабораторный практикум по механике твердого телаЭкспериментальная установкаИз (4.14) и (4.15) следует:∆t =2a()x2 − x0 − x1 − x0 .(4.16)Решая это уравнение относительно ускорения a, находимa=2( x2 − x0 − x1 − x0 )2.∆t 2(4.17)Таким образом, для определения a нам нужно знать x0 , x1 , x2 ивремя ∆t прохождения грузика между точками с координатами x1и x2 .Рассмотрим соотношения, позволяющие определить момент силтрения.При опускания груза с отметки x0 на полную длину нити доотметки x3 его потенциальная энергия переходит в кинетическую ив некоторое количество тепловой энергии, по величине равное работе сил трения,mg ( x3 − x0 ) = Eк + Ф ⋅ M тр ,(4.18)Основной частью установки является сплошное колесо (рис.14), которое может вращаться вокруг горизонтальной оси.

К цилиндру, расположенному на оси колеса, с помощью нити прикреплен груз. Помещая груз в устройство для его крепления, получаемфизический маятник, который может колебаться около положенияравновесия. Угол отклонения может быть определен по угломернойшкале. В том случае, когда груз освобожден (при этом устройстводля его крепления снимается с колеса), под действием силы тяжести он начинает опускаться, приводя колесо во вращение.

Установка снабжена системами регистрации периода колебаний колеса ивремени опускания груза.где Φ — полный угол поворота тела при его опускании, Eк — кинетическая энергия системы в нижней точке. Предполагается, чтомомент силы трения при движении остается постоянным, т.е. независит от скорости.После того, как груз опустится на полную длину нити до отметки x3 , тело будет продолжать вращаться, и нить начнет наматываться на цилиндр. В результате груз поднимется до отметки x4 .Очевидно,Eк = mg ( x3 − x4 ) + Ф1 ⋅ M тр ,(4.19)где Φ1 — полный угол поворота тела при подъеме груза.Учитывая, что ( x3 − x0 ) = rФвеличину момента силы тренияM тр = mgrи( x3 − x4 ) = rФ1 ,x4 − x0.2 x3 − x0 − x4получаем(4.20)Рис.

14. Блок-схема установки для определения момента инерции колеса52Лабораторный практикум по механике твердого телаДля регистрации периода колебаний на колесе симметричнорасположены два легких одинаковых по массе тела C1 и C2 . Нателе C1 закреплен стержень, являющийся составной частью системы измерения периода колебаний. В исходном положении системазафиксирована с помощью фрикционной муфты, управляемойэлектромагнитом (при таком положении муфты светится лампа индикации на кнопке управления электромагнитом).

При выключенииэлектромагнита фрикционная муфта освобождает колесо, и оно начинает движение (колебательное или вращательное). Время колебаний колеса определяется с помощью электронного таймера. Время перемещения груза при вращательном движении колеса определяется с помощью того же таймера, включение и выключение которого в этом случае осуществляется оптическими датчиками. Этидатчики крепятся на кронштейнах и могут фиксироваться на различных высотах.

Положение датчиков определяется с помощьюлинейки (рис. 14).Запуск таймера в режиме измерения периодов колебаний осуществляется нажатием кнопки «Пуск», остановка — кнопкой«Стоп». При измерении времени опускания груза нажимают накнопку «Пуск», после чего на индикаторе электронного таймеравысвечивается время прохождения груза между двумя датчикамиположения.

Переключение таймера в тот или иной режим работыосуществляется тумблером «Колеб.–Вращ.». При подготовке кдальнейшим измерениям результаты предыдущих убираются с табло нажатием кнопки «Сброс».Проведение экспериментаУпражнение 1. Определение момента инерции колесаметодом колебанийИзмерения1. На краю колеса закрепляют устройство для крепления груза,в которое устанавливают груз. Колесо выводят из положения равновесия на угол, не превышающий 10°. С помощью секундомераопределяют время tn n полных колебаний (n = 10 ÷ 15) . Такое измерение проводят 3–5 раз. Результаты измерений времени заносятся в табл.

4.1.2. После этого не менее трех раз измеряют расстояние L от осивращения до центра масс груза (это есть расстояние от оси враще-ния до центра винта, закрепляющего устройство крепления груза наколесе). Результаты заносятся в табл. 4.1.3.

Взвешивают устройство для крепления груза и сам груз. Значение масс этих тел mк и mгр заносят в табл. 4.1.Таблица 4.1NntnTnTSTLNLSLmк, mгрJSJ12345Обработка результатов1. По экспериментальным данным вычислить выборочныесредние значения (средние арифметические значения) величин периода Т и расстояния L.2. Вычислить выборочные стандартные отклонения (среднеквадратичные ошибки среднего арифметического) для Т и L.3.

По полученным данным, пользуясь уравнением (4.9) и учитывая, что в этом уравнении m = mк + mгр , определить моментинерции колеса J .4. Оценить погрешности для J , используя следующую формулу для расчета погрешностей косвенных измерений:S J ( L , T , m, g ) =2222∂ J ∂ J ∂ J ∂ J= SL  + ST  + Sm  + S g  , (4.21)LTmg∂∂∂∂   где Sm дана в описании используемых весов, а S g находится изтаблиц физических постоянных.Упражнение 2. Определение момента инерции колесаметодом вращенияИзмерения1. Снять с колеса устройство для крепления груза.Лабораторный практикум по механике твердого тела542. Измерить время ∆t прохождения груза между отметками x1и x2 . Измерения провести не менее 5–7 раз для фиксированныхзначений x0 , x2 и разных x1 , каждый раз занося данные в табл.

4.2.Измеряют также координату x3 точки, до которой опускается грузпри полностью размотанной нити и координату x4 точки, до которой поднимается груз при дальнейшем наматывании нити на цилиндр, пока колесо продолжает свободно вращаться.3. Несколько раз измерить радиус r цилиндра, на который наматывается нить.Таблица 4.2N х1 x2 ∆t123аNaSax0x3x4M трM трSMтрl1 ; обода толщины l2 с внешним и внутренним радиусами R2 , R1 ;двух малых тел С1 , С2 , расположенных на расстоянии R3 от оси;цилиндра, имеющего радиус R4 итолщину l3 . Для всех этих телмомент инерции можно рассчитать.Известно, что момент инерциидиска массы m Д относительнооси равен (см. Приложение 4)1J Д = m Д R12 ,(4.22)2Рис.

15. Схематическоепредставление колеса в видесовокупности тел простой формы⋅⋅⋅⋅⋅Обработка результатов1. По формулам (4.17) и (4.20) определить ускорения an и моменты сил трения M тр для каждого измерения. Результаты измерений занести в табл. 4.2.2. Поскольку aN , M тр определяются для различных значенийx1 , то будем считать полученные значения ускорений и моментовсил трения независимыми. Найти выборочные средние значенияускорения и момента сил трения и выборочные стандартные отклонения этих величин.