А.М. Салецкий, А.И. Слепков - Лабораторный практикум по механике твёрдого тела, страница 3

Предположим, что твердое тело закрепленотаким образом, что оно может вращаться вокруг некоторой неподвижной точки О. Введем в лабораторной системе отсчета декартовусистему координат XYZ с началом в этой точке. Произвольная i-яточка твердого тела массы mi будет иметь скорость vi = ω × ri′ , гдеω — вектор угловой скорости вращения твердого тела, а ri — радиус-вектор, проведенный из начала координат в точку, где в данный момент времени находится i-я материальная точка.

Моментимпульса этой точки равен по определению2Li ≡ mi [ri × vi ] = mi ri × [ω × ri ] = mi ω ( ri ) − ri ( ri ω )  .Векторы L, ω , ri можно рассматривать как в лабораторной системе координат XYZ, так и в системе координат xyz, жестко связаннойс телом.Перепишем выражение для Li в проекциях на оси системы координат xyz, начало которой лежит в точке О.

Учитывая, что( ri )2 = xi2 + yi2 + zi2 ,получаема (ri ω) = xiω x + yiω y + ziω z ,()= mi ω x yi2 + zi2 − xi yiω y − xi ziω z )  ,− xi y i ω x − y i z i ω z )  ,(В.18)()Liz = mi ω z ( xi2 + yi2 ) − xi ziω x − yi ziω y )  .Момент импульcа вcего твердого тела pавен cумме моментовимпульcов вcеx элементаpныx маcc:L = ∑ mi ω ( ri ) − ri ( ri ω )  .i2(В.19)Учитывая (В.18), соотношение (В.19) можно пеpепиcать впpоекцияx на кооpдинатные оcиLx = J xxω x + J xyω y + J xzω z ,L y = J yxω x + J yy ω y + J yz ω z,(В.20)L z = J zxω x + J zyω y + J zz ω z.Совокупность девяти величин J xx , J xy , J xz , J yx , J yy , J yz , J zx , J zy , J zzопределяет тензор инерции J xx) J =  J yx J zxJ xyJ yyJ zyJ xz J yz  .J zz (В.21)Проекции момента импульса на оси координат (В.20) удобнозаписать в матричном виде.

В рассматриваемом случае начало декартовой системы координат совпадает с точкой О (центром вращения), поэтому из (В.18) и (В.20) получаем Lx   J xx   Ly  =  J yx L   J z   zxJ xyJ yyJ zyJ xz   ω x  J yz   ω y  =J zz   ω z Лабораторный практикум по механике твердого тела1422−∑ mi ( xi yi )−∑ mi ( xi zi )  ∑ mi yi + zi i  ωx ii 22=  −∑ mi ( yi xi ) ∑ mi xi + zi−∑ mi ( yi zi )  ω y  . (В.22)iii ω 22  z −∑ mi ( zi yi ) ∑ mi xi + yi  −∑ mi ( zi xi )iiiОтметим, что выражение (В.19) принимает точно такой же вид,если векторы L, ω, ri проецировать на оси лабораторной системыкоординат XYZ. Отличие заключается в том, что в покоящейся лабораторной системе координат постоянно меняются координатыxi , yi , zi каждого бесконечно малого элемента тела, поэтому и ком)поненты тензора J меняются со временем.

В выбранной системеrкоординат xyz радиус-вектор ri — неизменная величина, а проекции угловой скорости ω› , ω y , ω z меняются со временем.()()()Диагональные элементы тензора J xx , J yy , J zz называются осевымимоментамиинерции. НедиагональныеэлементыJ xy , J yx , J xz , J zx , J yz , J zy называются центробежными момента-ми инерции.Тензоринерцииявляетсясимметричным,такмассы dm в виде ri = di + ρi , где di ω , ρi ⊥ ω (вектор ω направлен вдоль оси в соответствии с правилом правого винта) (рис.1).Так как ось АА′ закреплена, то линейная скорость точки перпендикулярна этой оси и равна vi = ω × ρi . Предположим, что в жесткосвязанной с телом системе координат xyz ось АА′ (рис.1) лежит вплоскости xy, а тензор инерции имеет диагональный видJ00)  xJ =  0 Jy 0 . 00 J z Вектор угловой скорости будет иметь компонентыω = ω› , ω y ,0 .

В соответствии с (В.20) Lx = J xω x , Ly = J yω y , Lz = 0.{}(Отсюда следует, что в общем случае J x ≠ J y) направление векто-ра момента импульса, даже при вращении вокруг закрепленной оси,не совпадает с направлением вектора угловой скорости. Кроме того(см. В.19), в рассматриваемом случае положение вектора L жесткосвязано с телом. Поэтому при вращении тела вектор момента импульса меняет свое направление в пространстве: конец этого вектора описывает окружность с центром, лежащим на оси АА′ . ВекторкакJ xy = J yx , J xz = J zx , J yz = J zy . Симметричный тензор всегда можнопривести к диагональному виду, т.е. выбрать такую систему координат, определяемую формой тела, в которой все недиагональныеэлементы будут равны нулю.

Соответствующие направления координатных осей называются главными осями инерции, а величиныJ x ≡ J xx , J y ≡ J yy , J z ≡ J zz — главными моментами инерции.Оси, проходящие через центр масс тела, будем называть центральными осями, а оси, проходящие через центр масс и одновременноявляющиеся главными, будем называть главными центральнымиосями.Связь между моментом инерции и компонентом тензораинерции. Рассмотрим вращение твердого тела относительно некоторой закрепленной оси АА′ , имеющей произвольное направлениев пространстве. Представим радиус-вектор i-й материальной точкиРис.1.Схематическоевокруг закрепленной осипредставлениевращениятелаL так же, как и радиус-вектор, удобно разложить на две составляющие — одну, совпадающую с вектором угловой скорости ω , идругую, перпендикулярную к нему, т.е.

L = L АА′ + L ⊥ . В этом случае векторное уравнение моментов (В.10) можно разбить на дваскалярных уравнения:16Лабораторный практикум по механике твердого телаdLAA′= M AA′ ,(В.23)dtdL⊥= M⊥.(В.24)dtВ уравнении (В.23) M AA′ — это проекция момента внешних сил наось AA′ (включая силы трения в оси). Это уравнение полностьюописывает вращательное движение твердого тела вокруг закрепленной оси. В уравнении (В.24) M ⊥ — это перпендикулярная проекция суммарного момента внешних сил, включая силы упругости,действующие на тело со стороны оси.

Наличие этого момента приводит к повороту вектора L вокруг AA′ . Уравнение (В.24) необходимо решать, если встает вопрос о деформациях, возникающих воси.Уравнение (В.23) совпадает с рассмотренным выше уравнением (В.11). Из него следует основное уравнение (В.15) вращательного движения твердого тела вокруг закрепленной оси.Значение момента инерции J твердого тела относительно некоторой оси, можно найти, зная направление этой оси в пространстве и значения компонент тензора инерции.Выразим момент инерции относительно закрепленной оси AA′ , проходящей через начало координат, через)компоненты тензора J .

Пусть система координат xyz расположена произвольным образом относительно телатак, что все компоненты тензора J€ Рис. 2. Положение оси АА′ относительно системы координатявляются ненулевыми.ВоспользуемсясоотношениемLAA′ = ω J .

С учетом (В.20) и того, чтоLAA′ = Lx ⋅ cos α + Ly ⋅ cos β + Lz ⋅ cos γ , ω x = ω ⋅ cos α , ω y = ω ⋅ cos β ,ω z = ω ⋅ cos γ , α , β , γ — углы, определяющие положение осиAA′ относительно осей координат (см. рис. 2), получимJ = J xx cos 2 α + J yy cos 2 β + J zz cos 2 γ + 2 J xy cos α cos β ++ 2 J xz cos α cos γ + 2 J yx cos β cos γ . (В.25)Уравнение (В.25) может быть использовано и для решения об)ратной задачи — определения компонент тензора инерции J черезизвестные значения моментов инерции J относительно несколькихразличных закрепленных осей.Литература1. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. 2-е изд.М: Высшая школа, 1986, гл. 8.2.

Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том I. Механика. 3-е изд.М: Наука, 1989.3. Алешкевич В.А., Деденко Л.Г., Караваев В.А. Механика:Учебн. для студ. вузов / Под ред. В.А. Алешкевича.— М.:Академия,2004. Разд. 3.181Лабораторный практикум по механике твердого телаИзучение вращательного движениятвердого тела вокруг закрепленной осиПренебрегая силами трения и считая нить невесомой и нерастяжимой,можем записать:уравнение вращательного движения маятникаJ ε = M ≡ RT ,Цель работыЭкспериментальная проверка основного уравнения вращательного движения твердого тела вокруг закрепленной оси.уравнение поступательного движения груза на нитиma = mg − T ,(1.3)уравнение кинематической связиa =ε R.Идея экспериментаВ эксперименте исследуется вращательное движение закрепленной на оси системы тел, у которой может меняться моментинерции под действием различных моментов внешних сил.ТеорияОсновное уравнение вращательного движения твердого тела смоментом инерции J вокруг неподвижной оси z имеет видJε = M ,(1.2)(1.1)dω— угловое ускорегде ε =dtние, M — момент внешних сил.Для экспериментального доказательства этого соотношенияв работе используется маятникОбербека (рис.

3). Он состоит изчетырех стержней A и двухшкивов различного радиуса R1 иR2, укрепленных на однойгоризонтальнойоси.Постержням могут перемещаться изакреплятьсявнужномположении четыре (по одномуна каждом стержне) грузаодинаковой массы m′. При Рис. 3. Устройство маятника Обербекапомощигрузамассыm,прикрепленного к концу намотанной на тот или иной шкив нити,маятник может приводиться во вращение.(1.4)Здесь R — радиус шкива, T — натяжение нити, a — линейноеускорение груза массы m, g — ускорение свободного падения.Из системы уравнений (1.2–1.4) следует, что груз m должендвигаться с постоянным ускорением, равнымa=mR 2g.(1.5)J + mR 2Основное уравнение вращательного движения (1.1) было записано без учета момента сил трения в оси маятника и момента силвязкого трения о воздух.

Для доказательства правомерности такогоподхода в процессе выполнения работы необходимо убедиться, чтосуммарный момент сил трения M тр много меньше момента силынатяжения нити M , который равен:M = RT = Rm( g − a ) = mgRJ.J + mR 2С учетом неравенства mR 2 << J можно записать, что M ≈ mgR .Оценить величину момента сил трения можно, если предположить, что он остается неизменным во время движения. При опускании груза m c отметки x0 на полную длину нити до отметки x3 ипри последующем подъеме до отметки x4 изменение его потенциальной энергии будет равно работе силы трения, т. е.mg ( x4 − x0 ) = M тр Φ,где Ф — полный угол поворота маятника Обербека.

При этомR Φ = ( x3 − x0 ) + ( x3 − x4 ) ,Лабораторный практикум по механике твердого тела20поэтомуx4 − x0.2 x3 − ( x0 + x4 )Таким образом, условие записи основного уравнения вращательного движения без учета момента сил трения окончательноимеет видM трx4 − x0(1.6)=<< 1 .mgR 2 x3 − ( x0 + x4 )M тр = mgRЭкспериментальная установкаУстановка для изучения вращательного движения (рис. 4) состоит из основания (1), вертикальной колонны (2) с закрепленнымина ней двумя подвижными кронштейнами (3, 4), на которых крепятся оптические датчики положения. На колонне закреплены дванеподвижных кронштейна (5, 6).На нижнем кронштейне (5) закреплен двухступенчатый вал (7).На верхнем кронштейне (6) закреплен подшипниковый узел (8) иблок (9). Через блок перекинута нить (10), один конец которой намотан на двухступенчатый вал (7), а на втором конце закрепленгруз (11).

На двухступенчатом валу крепится тело маятника (12).Кронштейны с фотодатчиками могут крепиться на разной высо-те. Расстояние между этими кронштейнами измеряется по шкале,нанесенной на колонне. Время движения грузов определяют с помощью электронного таймера. Запуск таймера осуществляется нажатием кнопки «Пуск», остановка — кнопкой «Стоп».

При подготовке к дальнейшим измерениям результаты предыдущих измерений убираются с табло таймера нажатием кнопки «Сброс».Проведение экспериментаУпражнение 1. Проверка закона движенияИз (1.2)–(1.4) следует, что вращение маятника Обербека происходит с постоянным угловым ускорением ε, при этом груз m опускается с постоянным линейным ускорением a. Координата x груза,отпущенного без начальной скорости с отметки x0 меняется позакону (ось х системы координат направлена вниз (см. рис.