А.М. Салецкий, А.И. Слепков - Лабораторный практикум по механике твёрдого тела, страница 2

Моменты инерции тел, рассмотренныхв приложениях ...............................................................96Литература .................................................................................................98ПредисловиеНастоящее пособие содержит описания работ лаборатории механикитвердого тела раздела «Механика» практикума по общей физике физического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова. Подбор лабораторных работсоответствует программе курса общей физики и является логическим продолжением соответствующего теоретического курса, читаемого на физическом факультете МГУ.Включенные в пособие материалы достаточны для подготовки к выполнению работ без привлечения дополнительной литературы.

Однако вконце каждой задачи дан список литературы, позволяющий более глубокопознакомиться с теоретическим материалом, изучаемым в работе. В пособии выделено общее теоретическое введение, более подробное изложениетеории содержится в описании к каждой лабораторной работе. Описанияработ написаны в едином стиле: в каждой работе сформулированы цель иидея эксперимента, дано описание установки и подробное изложение последовательности проведения эксперимента и обработки результатов, вразделе «основные итоги работы» перечислены основные физические результаты, которые должны быть получены и проанализированы студентом.

Такой подход, по мнению авторов, приучает студентов к правильнойорганизации проведения эксперимента и вполне уместен в первом семестре 1-го курса.По объему отдельные задачи неодинаковы. На большинстве установок можно осуществить целый ряд опытов, выполнить которые за однозанятие затруднительно. В этих случаях преподаватель имеет возможностьопределить необходимый объем работы каждого студента.

Прежде всего,это замечание относится к работам 5 и 6. В работе 5 рекомендуется за одно занятие выполнить одно из двух упражнений. В работе 6 оптимальным,по-видимому, является выполнение трех упражнений из четырех.В постановке и модернизации отдельных работ совместно с авторамипособия принимали участие Е.И.Васильев (работа 6), А.В.Червяков (создание, изготовление и наладка электронных схем), Р.Н.Лазаренко,О.И.Старостина (наладка экспериментального оборудования).Авторы выражают благодарность Е.И. Васильеву, В.Ю.

Иванову,В.А.Караваеву, А.С. Нифанову, А.А.Якуте и другим сотрудникам кафедры, внимательно прочитавшим рукопись и сделавшим ряд важных замечаний. Мы выражаем искреннюю признательность М.В.Семенову иА.П. Штырковой, вложившим свой труд в неформальное рецензированиерукописи, способствующее существенному его улучшению.А.М.СалецкийА.И.Слепков8Лабораторный практикум по механике твердого телаВведениеИзучение движения твердого тела проводится в предположении, что тело является абсолютно твердым. Это означает, что расстояние между двумя любыми точками не изменяется со временем,т.е. твердое тело не деформируется.

В дальнейшем мы будем вместо термина "абсолютно твердое тело" использовать термин "твердое тело".Кинематика твердого тела. Любое произвольное движениетвердого тела можно представить как суперпозицию поступательного и вращательного движений. Поступательным называется такое движение, когда все точки тела движутся по одинаковым траекториям. В этом случае скорости всех точек тела в любой моментвремени одинаковы, и его движение можно характеризовать движением одной лишь точки тела. Анализ такого движения производится по законам, справедливым для движения материальной точки.Вращательным движением относительно оси называется такое движение, при котором траектории всех точек тела являютсяконцентрическими окружностями с центрами, лежащими на однойпрямой, называемой осью вращения.

При вращении твердого телапроекция радиуса-вектора каждой его точки на плоскость, перпендикулярную оси вращения, за малый промежуток времени dt поворачивается на один и тот же угол d ϕ . Здесь d ϕ – вектор, длина которого равна углу поворота d ϕ , а направление определяется в соответствии с правилом правого винта и совпадает с осью вращения.Скорость изменения углаdϕω=(B.1)dtназывается угловой скоростью и, так же как d ϕ , является вектором.Угловая скорость связана с линейной скоростью любой точкитела vi соотношениемv i = ω × ri ,(В.2)где ri – радиус-вектор любой указанной точки.Изменение ω со временем определяется величиной угловогоускоренияdω.(В.3)dtСовместим начало системы координат, движущейся поступательно, с какой-либо точкой A твердого тела (точкой отсчета).

Тогда скорость любой другой точки B тела можно представить каквекторную сумму скорости движения системы координат v 0 (скорость точки А) и v′ – относительной скорости точки В:v = v 0 + v′ .(В.4)В качестве точки отсчета может быть выбрана любая точкатвердого тела или пространства (если положение этой точки относительно твердого тела не меняется со временем), поэтому и разложение (В.4) будет неоднозначным. Однако угол поворота d ϕ замалый промежуток времени dt не зависит от выбора точки отсчетаи является одинаковым для всех точек твердого тела.С учетом (В.2) выражение (В.4) может быть представлено вследующем видеv = v0 + ω × r ,(В.5)где ω – угловая скорость вращения твердого тела (не зависящая отвыбора точки отсчета), r – радиус-вектор, начало которого лежит вточке А.

Поступательная скорость тела v 0 зависит от выбора точкиотсчета. В частности, точку A можно выбрать таким образом, чтобыv 0 была равна нулю. Для плоского, движения твердого тела∗) осьвращения, проходящая через точку А, является мгновенной осьювращения∗∗). Поэтому плоское движение твердого тела в каждыймомент времени может быть представлено как вращательное движение вокруг некоторой мгновенной оси.Уравнение моментов.

Момент инерции относительно закрепленной оси. Рассмотрим твердое тело как систему жестко связанных между собой материальных точек. Уравнение движения дляi-й материальной точки массы mi , в лабораторной системе координат имеет вид:ε=∗) Плоским движением твердого тела называется движение, при котором траектории всех его точек лежат в параллельных плоскостях.**) Мгновенная ось вращения твердого тела – ось, относительно которой поступательная скорость тела в данный момент времени равна нулю.Лабораторный практикум по механике твердого тела10midv i= Fi + ∑ fij ,dtj ≠i(В.6)где Fi – сумма всех внешних сил, действующих на i-ю материальную точку, fij – сила, действующая на i-ю материальную точку состороны j-й материальной точки, т.е.

внутренняя сила. Будем полагать, что силы взаимодействия являются центральными, то естьвекторы fij и ( ri − r j ) коллинеарны.Умножим обе части уравнения движения (В.6) на радиусвектор ridvmi ri × i = ri × Fi + ∑ ri × fij .(В.7)dtj ≠idv drdvd( ri × vi ) = ri × i + i × vi = ri × i (так какdtdtdtdtС учетом того, чтоdridr= vi , то i × v i = 0 ), в результате суммирования по всем точкамdtdtсистемы получимd(В.8)∑ mi ri × vi = ∑ ri × Fi + ∑∑ ri + fij .dt iii j ≠iВеличина L = ∑ mi ri × v i = ∑ ri × pi ( pi – импульс i-й материiiальной точки) называется моментом импульса системы относительно некоторой неподвижной точки, выбранной за начало координат; M = ∑ ri × Fi – момент внешних сил относительно той жеiточки; величина∑∑ ri × fijiявляется моментом всех внутреннихj ≠iсил.

Выражение для момента внутренних сил можно преобразовать:11∑∑ ri × fij = 2 ∑∑ ( r j × f ji + ri × fij ) = 2 ∑∑ (ri − r j ) × fij .ij ≠iij ≠ii(В.9)j ≠iВ связи с тем, что для центральных сил ( ri − r j ) × fij = 0 , уравнение (В.8) (с учетом введенных выше обозначений) может быть записано в следующем виде:dL=M.(В.10)dtЭто уравнение называется уравнением моментов.Если твердое тело вращается вокруг закрепленной оси, то векторное уравнение (В.10) сведется к скалярному уравнению.

В частности, если ось вращения совпадает с осью координат z, тоdLz= Mz ,(В.11)dtгде Lz , M z – соответственно проекции L и M на ось z.При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью ω скорость каждой материальной точки mi телабудет равна, υi = ω ⋅ ρi где ρi – ее расстояние до оси z. Проекциимоментов импульса на ось z для этих точек будут равныLiz = ρi miυi = ω mi ρi2 .

В связи с тем, что ω одинакова для всех точектвердого тела момент импульса всего тела относительно оси z будет равенLz = ∑ Liz = ω ∑ mi ρi2 = ω J .i(В.12)iВеличинуJ = ∑ mi ρi2(В.13)iназывают моментом инерции твердого тела относительно закрепленной оси, который является мерой инертности тела при вращательном движении относительно этой оси.Подставляя (В.12) в (В.11), получаем основное уравнение вращательного движения тела вокруг закрепленной оси z:d (ω J )= Mz .(В.14)dtВ связи с тем, что взаимное расположение точек в твердом теле не изменяется со временем, то момент инерции является постоянной величиной. Поэтому уравнение (В.14) может быть представлено в следующем видеdωJ= Jε = M z .(В.15)dtПри непрерывном распределении массы по объему для вычисления момента инерции пользуются не суммированием, а интегри-Лабораторный практикум по механике твердого тела12()рованием по всему объему тела, и тогда (В.13) приводится к следующему виду:J = ∫ ρ 2 dm .(В.16)Lix = mi ω x xi2 + yi2 + zi2 − xi ( xiω x + yiω y + ziω z )  =Если известен момент инерции J0 относительно некоторой оси,проходящей через центр масс – точку с радиусом-вектором1R = ∑ mi ri , ( mi – масса точки тела, ri – ее радиус-вектор), то вmсоответствии с теоремой Гюйгенса–Штейнера момент инерциитела J относительно любой другой оси, параллельной первоначальной и находящейся на расстоянии а от нее, равенLiy = mi ω y xi2 + zi2J = J 0 + ma 2 ,(В.17)где т – масса тела.Тензор инерции.